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1、計(jì)算題一1. 下列線性規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)型。(10分) 滿足 2. 寫出下列問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題 (10分)滿足 3. 用最小元素法求下列運(yùn)輸問(wèn)題的一個(gè)初始基本可行解(10分) 4某公司有資金10萬(wàn)元，若投資用于項(xiàng)目問(wèn)應(yīng)如何分配投資數(shù)額才能使總收益最大？(15分)5 求圖中所示網(wǎng)絡(luò)中的最短路。（15分） 計(jì)算題二1、某工廠擁有A,B,C三種類型的設(shè)備，生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品在生產(chǎn)中需要使用的機(jī)時(shí)數(shù)，每件產(chǎn)品可以獲得的利潤(rùn)，以及三種設(shè)備可利用的機(jī)時(shí)數(shù)見(jiàn)下表：求：（1）線性規(guī)劃模型；（5分）（2）利用單純形法求最優(yōu)解；（15分）4. 如圖所示的單行線交通網(wǎng)，每個(gè)弧旁邊的數(shù)字表示這條單行線的長(zhǎng)度。現(xiàn)在

2、有一個(gè)人要從出發(fā)，經(jīng)過(guò)這個(gè)交通網(wǎng)到達(dá)，要尋求使總路程最短的線路。（15分）5. 某項(xiàng)工程有三個(gè)設(shè)計(jì)方案。據(jù)現(xiàn)有條件，這些方案不能按期完成的概率分別為0.5,0.7,0.9,即三個(gè)方案均完不成的概率為0.50.70.9=0.315。為使這三個(gè)方案中至少完成一個(gè)的概率盡可能大，決定追加2萬(wàn)元資金。當(dāng)使用追加投資后，上述方案完不成的概率見(jiàn)下表，問(wèn)應(yīng)如何分配追加投資，才能使其中至少一個(gè)方案完成的概率為最大。(15分) 追加投資（萬(wàn)元）各方案完不成的概率1230120.500.300.250.700.500.300.900.700.40計(jì)算題三1、某工廠要制作100套專用鋼架，每套鋼架需要用長(zhǎng)為2.9m

3、 , 2.1m , 1.5m的圓鋼各一根。已知原料每根長(zhǎng)7.4m ，現(xiàn)考慮應(yīng)如何下料，可使所用的材料最?。?產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙設(shè)備能力/h設(shè)備A3265設(shè)備B2140設(shè)備C0375利潤(rùn)/(元/件)15002500求：（1）寫出線性規(guī)劃模型（10分） （2）將上述模型化為標(biāo)準(zhǔn)型（5分）2、求解下列線性規(guī)劃問(wèn)題，并根據(jù)最優(yōu)單純形法表中的檢驗(yàn)數(shù)，給出其對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解。（15分） 滿足 3 斷下表中方案是否可作為運(yùn)輸問(wèn)題的初始方案，為什么？（10分） 4. 用Dijkstra算法計(jì)算下列有向圖的最短路。（15分）5某集團(tuán)公司擬將6千萬(wàn)資金用于改造擴(kuò)建所屬的A、B、C三個(gè)企業(yè)。每個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)增長(zhǎng)額與所分配到

4、的投資額有關(guān)，各企業(yè)在獲得不同的投資額時(shí)所能增加的利潤(rùn)如下表所示。集團(tuán)公司考慮要給各企業(yè)都投資。問(wèn)應(yīng)如何分配這些資金可使公司總的利潤(rùn)增長(zhǎng)額最大？（15分） 計(jì)算題答案一1、 max(-z)= 2、 寫出對(duì)偶問(wèn)題maxW= 3、解： 4解：狀態(tài)變量為第k階段初擁有的可以分配給第k到底3個(gè)項(xiàng)目的資金額；決策變量為決定給第k個(gè)項(xiàng)目的資金額；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為；最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)表示第k階段初始狀態(tài)為時(shí)，從第k到第3個(gè)項(xiàng)目所獲得的最大收益，即為所求的總收益。遞推方程為： 當(dāng)k=3時(shí)有 當(dāng)時(shí)，取得極大值2，即： 當(dāng)k=2時(shí)有：令 用經(jīng)典解析方法求其極值點(diǎn)。由 解得： 而 所以 是極小值點(diǎn)。極大值點(diǎn)可能在0，端點(diǎn)取

5、得： ， 當(dāng)時(shí)，解得 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)k=1時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 但此時(shí) ，與矛盾，所以舍去。當(dāng)時(shí)，令 由 解得： 而 所以 是極小值點(diǎn)。比較0,10兩個(gè)端點(diǎn) 時(shí)， 時(shí)， 所以再由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程順推： 因?yàn)?所以 ，因此 最優(yōu)投資方案為全部資金用于第3個(gè)項(xiàng)目，可獲得最大收益200萬(wàn)元。5. 解：用Dijkstra算法的步驟如下，P（）0T（）（2，37）第一步：因?yàn)椋?，是T標(biāo)號(hào)，則修改上個(gè)點(diǎn)的T標(biāo)號(hào)分別為： = =所有T標(biāo)號(hào)中，T（）最小，令P（）2第二步：是剛得到的P標(biāo)號(hào)，考察，且，是T標(biāo)號(hào) =所有T標(biāo)號(hào)中，T（）最小，令P（）5第三步：是剛得到的P標(biāo)號(hào)，考察= 所有T標(biāo)號(hào)中，T（）最小

6、，令P（）6第四步：是剛得到的P標(biāo)號(hào)，考察= 所有T標(biāo)號(hào)中，T（），T（）同時(shí)標(biāo)號(hào)，令P（）=P（）7第五步：同各標(biāo)號(hào)點(diǎn)相鄰的未標(biāo)號(hào)只有 至此：所有的T標(biāo)號(hào)全部變?yōu)镻標(biāo)號(hào)，計(jì)算結(jié)束。故至的最短路為10。計(jì)算題答案二1. 解：（1） 滿足 （2）150025000000653210032.5040210104007503001250150025000000153010-2/350152001-1/37.525002501001/3_-625001500000-2500/3-15005101/30-2/9_0500-2/311/9_25002501001/3_-7000000-5000-500最優(yōu)

7、解 最優(yōu)目標(biāo)值 = 70000元2. 解：此規(guī)劃存在可行解，其對(duì)偶規(guī)劃 滿足： 對(duì)偶規(guī)劃也存在可行解，因此原規(guī)劃存在最優(yōu)解。3、解：可以作為初始方案。理由如下： （1）滿足產(chǎn)銷平衡（2）有m+n-1個(gè)數(shù)值格（3）不存在以數(shù)值格為頂點(diǎn)的避回路4.解： 5.解：此題目等價(jià)于求使各方案均完不成的概率最小的策略。把對(duì)第k個(gè)方案追加投資看著決策過(guò)程的第k個(gè)階段，k1，2，3。-第k個(gè)階段，可給第k, k+1，3個(gè)方案追加的投資額。-對(duì)第k個(gè)方案的投資額階段指標(biāo)函數(shù),這里的是表中已知的概率值。過(guò)程指標(biāo)函數(shù)以上的k1，2，3用逆序算法求解k3時(shí)， 得表： 最優(yōu)策略：1，=1, =0或0，=2, =0，至少有

8、一個(gè)方案完成的最大概率為1-0.135=0.865計(jì)算題答案三1. 解 分析：利用7.4m 長(zhǎng)的圓鋼截成2.9m , 2.1 m ,1.5m 的圓鋼共有如下表所示的8中下料方案。方案毛胚/m方案1方案2方案3方案4方案5方案6方案7方案82.9211100002.1021032101.510130234合計(jì)7.37.16.57.46.37.26.66.0剩余料頭0.10.30.901.10.20.81.4設(shè)，分別為上面8中方案下料的原材料根數(shù)。 2. 解 ：引入松弛變量將模型化為標(biāo)準(zhǔn)型，經(jīng)求解后得到其最優(yōu)單純型表： 最優(yōu)單純型表基變量 25253/4 1 0 3/4 1/2 5/4 0 1 1

9、/4 1/2-25010/4 0 0 1/2 2由此表可知，原問(wèn)題的最優(yōu)解，最優(yōu)值為250.表中兩個(gè)松弛變量的檢驗(yàn)數(shù)分別為1/2 , 2 ,由上面的分析可知，對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解為。3.解：不能作為初始方案，因?yàn)閼?yīng)該有n+m-1=5+4-1=8有數(shù)值的格。 4.解：P（）0T（）（2，37）第一步：因?yàn)?，且，是T標(biāo)號(hào)，則修改上個(gè)點(diǎn)的T標(biāo)號(hào)分別為： = = =所有T標(biāo)號(hào)中，T（）最小，令P（）2第二步：是剛得到的P標(biāo)號(hào)，考察，且，是T標(biāo)號(hào) =所有T標(biāo)號(hào)中，T（）最小，令P（）3第三步：是剛得到的P標(biāo)號(hào)，考察 所有T標(biāo)號(hào)中，T（）最小，令P（）4第四步：是剛得到的P標(biāo)號(hào)，考察 所有T標(biāo)號(hào)中，T（）最小

10、，令P（）7第五步：是剛得到的P標(biāo)號(hào)，考察 所有T標(biāo)號(hào)中，T（）最小，令P（）8第6步：是剛得到的P標(biāo)號(hào)，考察 T（）P（）13至此：所有的T標(biāo)號(hào)全部變?yōu)镻標(biāo)號(hào)，計(jì)算結(jié)束。故至的最短路為13。5. 解：第一步：構(gòu)造求對(duì)三個(gè)企業(yè)的最有投資分配，使總利潤(rùn)額最大的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。（1） 階段k ：按A、B、C的順序，每投資一個(gè)企業(yè)作為一個(gè)階段，k1，2，3，4（2） 狀態(tài)變量：投資第k個(gè)企業(yè)前的資金數(shù)。（3） 決策變量：對(duì)第k個(gè)企業(yè)的投資。（4） 決策允許集合：。（5） 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：。（6） 階段指標(biāo)：見(jiàn)表中所示。（7） 動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程： （終端條件） 第二步：解動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程，求最有值。 k=

11、4, k=3, 計(jì)算結(jié)果（一）11044044121044+04722077+0731244+04932177073099+094134404144227707319909401414014k=2, , 計(jì)算結(jié)果（二）21133+477131233+71010121554941333+9121432255+71231310+41451433+1417171，3，42355+914321010+717411313+417k=1, , 計(jì)算結(jié)果（三）61522+17192242466+1420331111+1021421515+722第三步：回溯求得最優(yōu)策略最有解即最優(yōu)策略?。?，；，；，；返回原問(wèn)題的解，即企業(yè)A投資4千萬(wàn)元，企業(yè)B投資1千萬(wàn)元，企業(yè)C投資1千萬(wàn)元，最大效益為22千萬(wàn)元。14