《（全國通用）高考數(shù)學(xué) 考前三個月復(fù)習(xí)沖刺 專題7 第32練 與拋物線有關(guān)的熱點問題 理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用）高考數(shù)學(xué) 考前三個月復(fù)習(xí)沖刺 專題7 第32練 與拋物線有關(guān)的熱點問題 理.doc（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第32練與拋物線有關(guān)的熱點問題題型分析高考展望拋物線是三種圓錐曲線之一，應(yīng)用廣泛，是高考的重點考查對象，拋物線方程、幾何性質(zhì)、直線與拋物線結(jié)合的問題都是高考熱點.考查形式有選擇題、填空題也有解答題，小題難度一般為低中檔層次，解答題難度為中檔偏上.?？碱}型精析題型一拋物線的定義及其應(yīng)用例1設(shè)P是拋物線y24x上的一動點，(1)求點P到A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，拋物線的焦點為F，求|PB|PF|的最小值.點評與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度.“看到準(zhǔn)線想焦點，

2、看到焦點想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑.變式訓(xùn)練1已知拋物線C：y2x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0等于()A.1 B.2C.4 D.8題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)例2拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，它與圓x2y29相交，公共弦MN的長為2，求該拋物線的方程，并寫出它的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.點評(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以首先確定拋物線的開口方向、焦點的位置及p的值，再進一步確定拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，

3、只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式訓(xùn)練2(2015福建)如圖，已知點F為拋物線E：y22px(p0)的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且|AF|3.(1)求拋物線E的方程；(2)已知點G(1,0)，延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.題型三直線和拋物線的位置關(guān)系例3(2015課標(biāo)全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a0)交于M，N兩點，(1)當(dāng)k0時，分別求C在點M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有OPMOPN？說明理由.點評(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系

4、類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.變式訓(xùn)練3(2015長春模擬)已知拋物線C：ymx2(m0)，焦點為F，直線2xy20交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q.(1)求拋物線C的焦點坐標(biāo)；(2)若拋物線C上有一點R(xR,2)到焦點F的距離為3，求此時m的值；

5、(3)是否存在實數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.高考題型精練1.(2014遼寧)已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為()A. B.C. D.2.(2015浙江)如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A. B. C. D.3.已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，P、Q是拋物線上的兩個點，若PQF是邊長為2的正三角形，則p的值是()A.2 B.2C.

6、1 D.14.(2014課標(biāo)全國)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則OAB的面積為()A. B. C. D.5.已知拋物線y28x的準(zhǔn)線為l，點Q在圓C：x2y22x8y130上，記拋物線上任意一點P到直線l的距離為d，則d|PQ|的最小值等于()A.3 B.2 C.4 D.56.已知拋物線y22px(p0)的焦點弦AB的兩端點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于()A.4 B.4 C.p2 D.p27.(2014湖南)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點，則_.8.已知拋物

7、線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B，若AM，則p_.9.過拋物線y22x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|，|AF|0)和E2：y22p2x(p20)，過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點.(1)證明：A1B1A2B2；(2)過O作直線l(異于l1，l2)與E1，E2分別交于C1，C2兩點.記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.12.(2015湖南)已知拋物線C1 ：x24y的焦點F也是橢圓C2：1(ab0)的一個焦點.C1

8、與C2的公共弦的長為2.過點F的直線l與C1相交于A，B兩點，與C2相交于C，D兩點，且與同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直線l的斜率.答案精析第32練與拋物線有關(guān)的熱點問題常考題型精析例1解(1)由于A(1,1)，F(xiàn)(1,0)，P是拋物線上的任意一點，則|AP|PF|AF|，從而知點P到A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和的最小值為，所以點P到A(1,1)的距離與P到直線x1的距離之和的最小值也為.(2)如圖所示，自點B作BQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點Q，交拋物線于點P1，此時|P1Q|P1F|，那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值

9、為4.變式訓(xùn)練1A解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x.因為|AF|x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0|AF|x0，解得x01.例2解由題意，得拋物線方程為x22ay (a0).設(shè)公共弦MN交y軸于A，N在y軸右側(cè)，則|MA|AN|，而|AN|.|ON|3，|OA|2，N(，2).N點在拋物線上，52a(2)，即2a，故拋物線的方程為x2y或x2y.拋物線x2y的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.拋物線x2y的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.變式訓(xùn)練2解方法一(1)由拋物線的定義得|AF|2.因為|AF|3，即23，解得p2，所以拋物線E的方程為y24x.(2)因為點A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m2，由拋物

10、線的對稱性，不妨設(shè)A(2,2).由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1).由得2x25x20，解得x2或x，從而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，從而AGFBGF，這表明點F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.方法二(1)同方法一.(2)設(shè)以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因為點A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m2，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2,2).由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1).由得2x25x20.解得x2或x，從而B.又G(1,0)，故直線GA的方程為

11、2x3y20.從而r.又直線GB的方程為2x3y20.所以點F到直線GB的距離dr.這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.例3解(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.

12、故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當(dāng)ba時，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故OPMOPN，所以點P(0，a)符合題意.變式訓(xùn)練3解(1)拋物線C：x2y，它的焦點F(0，).(2)|RF|yR，23，得m.(3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx22x20，依題意，有(2)24m(2)0m.設(shè)A(x1，mx)，B(x2，mx)，則(*)P是線段AB的中點，P(，)，即P(，yP)，Q(，).得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在實數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形，則0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，結(jié)合(*)化簡得40，即2m23m20，m2或m

13、，而2(，)，(，).存在實數(shù)m2，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形.高考題型精練1.D 拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，而點A(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而C：y28x，焦點為F(2,0).設(shè)切線方程為y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因為切點在第一象限，所以k.將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點B的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線BF的斜率為.2.A 由圖形可知，BCF與ACF有公共的頂點F，且A，B，C三點共線，易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點F(1，0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x1.點

14、A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點K，H，且與y軸分別交于點N，M.由拋物線定義，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.3.A 依題意得F，設(shè)P，Q(y1y2).由拋物線定義及|PF|QF|，得，yy，y1y2.又|PQ|2，因此|y1|y2|1，點P.又點P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得|PF|2，由此解得p2，故選A.4.D 由已知得焦點坐標(biāo)為F(，0)，因此直線AB的方程為y(x)，即4x4y30.方法一聯(lián)立拋物線方程化簡得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二聯(lián)立方程得x2x0，故xAx

15、B.根據(jù)拋物線的定義有|AB|xAxBp12，同時原點到直線AB的距離為h，因此SOAB|AB|h.5.A 如圖所示，由題意，知拋物線y28x的焦點為F(2,0)，連接PF，則d|PF|.圓C的方程配方，得(x1)2(y4)24，圓心為C(1,4)，半徑r2.d|PQ|PF|PQ|，顯然，|PF|PQ|FQ|(當(dāng)且僅當(dāng)F，P，Q三點共線時取等號).而|FQ|為圓C上的動點Q到定點F的距離，顯然當(dāng)F，Q，C三點共線時取得最小值，最小值為|CF|r2523.6.A 若焦點弦ABx軸，則x1x2，則x1x2；若焦點弦AB不垂直于x軸，可設(shè)AB：yk(x)，聯(lián)立y22px得k2x2(k2p2p)x0，

16、則x1x2.則y1y2p2.故4.7.1解析正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b，O為AD的中點，C(，a)，F(xiàn)(b，b).又點C，F(xiàn)在拋物線y22px(p0)上，解得1.8.2解析如圖，由AB的斜率為，知60，又AM，M為AB的中點.過點B作BP垂直準(zhǔn)線l于點P，則ABP60，BAP30.M為焦點，即1，p2.9.解析2，|AB|AF|BF|，|AF|0，再由y10，y20，則0，故1k0.又線段ST的中點坐標(biāo)為，所以線段ST的垂直平分線方程為y.令y0，得Q點的橫坐標(biāo)為xQ26，故Q點橫坐標(biāo)的取值范圍為(，6).11.(1)證明設(shè)直線l1，l2的方程分別為yk1x，yk2x(k

17、1，k20)，由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1.(，)2p2(，)故，所以A1B1A2B2.(2)解由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2，所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知，故.12.解(1)由C1：x24y知其焦點F的坐標(biāo)為(0,1).因為F也是橢圓C2的一個焦點，所以a2b21.又C1與C2的公共弦的長為2，C1與C2都關(guān)于y軸對稱，且C1的方程為x24y，由此易知C1與C2的公共點的坐標(biāo)為，所以1.聯(lián)立，得a29，b28.故C2的方程為1.(2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).因與同向，且|AC|BD|，所以，從而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是這個方程的兩根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是這個方程的兩根，所以x3x4，x3x4，將，代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直線l的斜率為.15