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第1章命題邏輯基本概念,離散數(shù)學(xué),計(jì)算機(jī)系張順淼,本章說明,本章的主要內(nèi)容命題、聯(lián)結(jié)詞、復(fù)合命題命題公式、賦值、命題公式的分類本章與后續(xù)各章的關(guān)系本章是后續(xù)各章的準(zhǔn)備或前提,1.1命題與聯(lián)結(jié)詞,數(shù)理邏輯研究的中心問題是推理。推理的前提和結(jié)論都是表達(dá)判斷的陳述句。表達(dá)判斷的陳述句構(gòu)成了推理的基本單位。,1.1命題與聯(lián)結(jié)詞,稱能判斷真假而不是可真可假的陳述句為命題（proposition）。作為命題的陳述句所表達(dá)得的判斷結(jié)果稱為命題的真值。真值只取兩個(gè)：真與假。真值為真的命題稱為真命題。真值為假的命題稱為假命題。,感嘆句、疑問句、祈使句都不能稱為命題。判斷結(jié)果不唯一確定的陳述句不是命題。陳述句中的悖論不是命題。,說明,4是素?cái)?shù)。x大于y。充分大的偶數(shù)等于兩個(gè)素?cái)?shù)之和。今天是星期二。請(qǐng)不要吸煙！這朵花真美麗??！我正在說假話。,例1.1判斷下列句子是否為命題。,是，假命題是，真命題不是，無確定的真值是，真值客觀存在是，真值根據(jù)具體情況而定。不是，疑問句不是，祈使句不是，感嘆句不是，悖論,命題和真值的符號(hào)化,用小寫英文字母p,q,r…,pi,qi,ri…表示命題用“1”表示真，用“0”表示假,不能被分解成更簡單的陳述句，稱這樣的命題為簡單命題或原子命題。由簡單陳述句通過聯(lián)結(jié)詞而成的陳述句，稱這樣的命題為復(fù)合命題。,例1.2,將下面這段陳述中所出現(xiàn)的原子命題符號(hào)化，并指出它們的真值，然后再寫出這段陳述。,是有理數(shù)是不對(duì)的；2是偶素?cái)?shù)；2或4是素?cái)?shù)；如果2是素?cái)?shù)，則3也是素?cái)?shù)；2是素?cái)?shù)當(dāng)且僅當(dāng)3也是素?cái)?shù)。,p：是有理數(shù)q：2是素?cái)?shù)；r：2是偶數(shù)s：3是素?cái)?shù)；t：4是素?cái)?shù),01110,非p；q并且(與)r；q或t；如果q，則s；q當(dāng)且僅當(dāng)s。,例1.2的討論,半形式化形式數(shù)理邏輯研究方法的主要特征是將論述或推理中的各種要素都符號(hào)化。即構(gòu)造各種符號(hào)語言來代替自然語言。形式化語言：完全由符號(hào)所構(gòu)成的語言。將聯(lián)結(jié)詞（connective）符號(hào)化，消除其二義性，對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格定義。例如：他是100米或400米賽跑的冠軍。魚香肉絲或鍋包肉，加一碗湯。,定義1.1否定(negation),設(shè)p為命題，復(fù)合命題“非p”(或“p的否定”)稱為p的否定式,記作┐p，符號(hào)┐稱作否定聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定┐p為真當(dāng)且僅當(dāng)p為假。,例如：p：上海是一個(gè)大城市。┐p：上海是一個(gè)不大城市。┐p：上海不是一個(gè)大城市。,定義1.2合取(conjunction),設(shè)p,q為二命題，復(fù)合命題“p并且q”(或“p與q”)稱為p與q的合取式，記作p∧q，∧稱作合取聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定p∧q為真當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時(shí)為真。,使用合取聯(lián)結(jié)詞時(shí)要注意的兩點(diǎn)：描述合取式的靈活性與多樣性。自然語言中的“既……又……”、“不但……而且……”、“雖然……但是……”、“一面……一面……”等聯(lián)結(jié)詞都可以符號(hào)化為∧。分清簡單命題與復(fù)合命題。不要見到“與”或“和”就使用聯(lián)結(jié)詞∧。,例1.3將下列命題符號(hào)化,吳穎既用功又聰明。吳穎不僅用功而且聰明。吳穎雖然聰明，但不用功。張輝與王麗都是三好學(xué)生。張輝與王麗是同學(xué)。,p:吳穎用功。q:吳穎聰明。r:張輝是三好學(xué)生。s:王麗是三好學(xué)生。t:張輝與王麗是同學(xué)。,(1)p∧q(2)p∧q(3)q∧┐p(4)r∧s(5)t,解題要點(diǎn)：正確理解命題含義。找出原子命題并符號(hào)化。選擇恰當(dāng)?shù)穆?lián)結(jié)詞。,合取舉例,p：我們?nèi)タ措娪?。q：房間里有十張桌子。p∧q：我們?nèi)タ措娪安⑶曳块g里有十張桌子。,在數(shù)理邏輯中，關(guān)心的只是復(fù)合命題與構(gòu)成復(fù)合命題的各原子命題之間的真值關(guān)系，即抽象的邏輯關(guān)系，并不關(guān)心各語句的具體內(nèi)容。,說明,定義1.3析取(disjunction),設(shè)p，q為二命題，復(fù)合命題“p或q”稱作p與q的析取式，記作p∨q，∨稱作析取聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定p∨q為假當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時(shí)為假。,自然語言中的“或”具有二義性，用它聯(lián)結(jié)的命題有時(shí)具有相容性，有時(shí)具有排斥性，對(duì)應(yīng)的聯(lián)結(jié)詞分別稱為相容或和排斥或(排異或)。,說明,例1.4將下列命題符號(hào)化,張曉靜愛唱歌或愛聽音樂。張曉靜只能挑選202或203房間。張曉靜是江西人或安徽人。他昨天做了二十或三十道習(xí)題。,設(shè)p：張曉靜愛唱歌，q：張曉靜愛聽音樂。相容或，符號(hào)化為p∨q設(shè)t：張曉靜挑選202房間，u：張曉靜挑選203房間。排斥或，符號(hào)化為：(t∧┐u)∨(┐t∧u)設(shè)r：張曉靜是江西人，s：張曉靜是安徽人。排斥或，符號(hào)化為：r∨s。(排斥或聯(lián)結(jié)的兩個(gè)命題事實(shí)上不可能同時(shí)為真)或符號(hào)化為：(r∧┐s)∨(┐r∧s)原子命題，因?yàn)椤盎颉敝槐硎玖肆?xí)題的近似數(shù)目。,定義1.4蘊(yùn)涵(implication),設(shè)p，q為二命題，復(fù)合命題“如果p，則q”稱作p與q的蘊(yùn)涵式，記作p→q，并稱p是蘊(yùn)涵式的前件，q為蘊(yùn)涵式的后件，→稱作蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞,并規(guī)定p→q為假當(dāng)且僅當(dāng)p為真q為假。,說明,p→q的邏輯關(guān)系表示q是p的必要條件。q是p的必要條件有許多不同的敘述方式只要p，就q因?yàn)閜，所以qp僅當(dāng)q只有q才p除非q才p除非q，否則非p,例1.5將下列命題符號(hào)化，并指出其真值,如果3+3＝6，則雪是白的。如果3+3≠6，則雪是白的。如果3+3＝6，則雪不是白的。如果3+3≠6，則雪不是白的。,解：令p：3+3＝6，p的真值為1。q：雪是白色的，q的真值也為1。p→q┐p→qp→┐q┐p→┐q,1101,例1.5將下列命題符號(hào)化，并指出其真值,以下命題中出現(xiàn)的a是一個(gè)給定的正整數(shù)：(5)只要a能被4整除，則a一定能被2整除。(6)a能被4整除，僅當(dāng)a能被2整除。(7)除非a能被2整除，a才能被4整除。(8)除非a能被2整除，否則a不能被4整除。(9)只有a能被2整除，a才能被4整除。(10)只有a能被4整除，a才能被2整除。,解：令r：a能被4整除s：a能被2整除(5)至(9)五個(gè)命題均敘述的是a能被2整除是a能被4整除的必要條件，因而都符號(hào)化為r→s。其真值為1在(10)中，將a能被4整除看成了a能被2整除的必要條件，因而應(yīng)符號(hào)化為s→r。a值不定時(shí)，真值未知。,關(guān)于蘊(yùn)含的進(jìn)一步說明,作為一種規(guī)定，當(dāng)p為假時(shí)，無論q是真是假，p→q均為真。也就是說，只有p為真q為假這一種情況使得復(fù)合命題p→q為假。稱為實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含。例：如果x>5，則x>2。(1)x=6如果6>5，則6>2。(2)x=3如果3>5，則3>2。(3)x=1如果1>5，則1>2。例：如果我有車，那么我去接你常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，沒有分清充分條件與必要條件。,定義1.5等價(jià)(two-way-implication),設(shè)p，q為二命題，復(fù)合命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”稱作p與q的等價(jià)式，記作p?q，稱作等價(jià)聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定p?q為真當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時(shí)為真或同時(shí)為假。,說明,“當(dāng)且僅當(dāng)”（ifandonlyif）p?q的邏輯關(guān)系為p與q互為充分必要條件。(p→q)∧(q→p)與p?q的邏輯關(guān)系完全一致。,例1.6將下列命題符號(hào)化，并討論它們的真值,π是無理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)加拿大位于亞洲。2+3＝5的充要條件是π是無理數(shù)。若兩圓A，B的面積相等，則它們的半徑相等；反之亦然。當(dāng)王小紅心情愉快時(shí)，她就唱歌；反之，當(dāng)她唱歌時(shí)，一定心情愉快。,設(shè)p：π是無理數(shù)，q：加拿大位于亞洲。符號(hào)化為p?q，真值為0。設(shè)p：2+3＝5，q：π是無理數(shù)。符號(hào)化為p?q，真值為1。設(shè)p：兩圓A，B的面積相等，q：兩圓A，B的半徑相等。符號(hào)化為p?q，真值為1。設(shè)p：王小紅心情愉快，q：王小紅唱歌。符號(hào)化為p?q，真值由具體情況而定。,關(guān)于基本聯(lián)結(jié)詞的說明,{┐,∧,∨,→,?}，稱為一個(gè)聯(lián)結(jié)詞集。由聯(lián)結(jié)詞集{┐,∧,∨,→,?}中的一個(gè)聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)一個(gè)或兩個(gè)原子命題組成的復(fù)合命題是最簡單的復(fù)合命題，可以稱它們?yōu)榛镜膹?fù)合命題?；緩?fù)合命題的真值見下表：,關(guān)于基本聯(lián)結(jié)詞的說明,多次使用聯(lián)結(jié)詞集中的聯(lián)結(jié)詞，可以組成更為復(fù)雜的復(fù)合命題。求復(fù)雜復(fù)合命題的真值時(shí)，除依據(jù)上表外，還要規(guī)定聯(lián)結(jié)詞的優(yōu)先順序，將括號(hào)也算在內(nèi)。本書規(guī)定的聯(lián)結(jié)詞優(yōu)先順序?yàn)椋?)，┐，∧，∨，→，?，對(duì)于同一優(yōu)先級(jí)的聯(lián)結(jié)詞，先出現(xiàn)者先運(yùn)算。,例1.7,令p：北京比天津人口多。q：2+2＝4.r：烏鴉是白色的。求下列復(fù)合命題的真值：(1)((┐p∧q)∨(p∧┐q))→r(2)(q∨r)→(p→┐r)(3)(┐p∨r)?(p∧┐r),解：p、q、r的真值分別為1、1、0(1)1(2)1(3)0,我們關(guān)心的是復(fù)合命題中命題之間的真值關(guān)系，而不關(guān)心命題的內(nèi)容。,說明,1.2命題公式及其賦值,簡單命題是真值唯一確定的命題邏輯中最基本的研究單位，所以也稱簡單命題為命題常項(xiàng)或命題常元。(propositionconstant)稱真值可以變化的陳述句為命題變項(xiàng)或命題變?cè)?propositionvariable)。也用p,q,r,…表示命題變項(xiàng)。當(dāng)p,q,r,…表示命題變項(xiàng)時(shí)，它們就成了取值0或1的變項(xiàng)，因而命題變項(xiàng)已不是命題。這樣一來，p,q,r,…既可以表示命題常項(xiàng)，也可以表示命題變項(xiàng)。在使用中，需要由上下文確定它們表示的是常項(xiàng)還是變項(xiàng)。將命題變項(xiàng)用聯(lián)結(jié)詞和圓括號(hào)按一定的邏輯關(guān)系聯(lián)結(jié)起來的符號(hào)串稱為合式公式或命題公式。,定義1.6合式公式(wff),(1)單個(gè)命題變項(xiàng)是合式公式，并稱為原子命題公式。(2)若A是合式公式，則(┐A)也是合式公式。(3)若A，B是合式公式，則(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(A?B)也是合式公式。(4)只有有限次地應(yīng)用(1)～(3)形式的符號(hào)串才是合式公式。合式公式也稱為命題公式或命題形式，并簡稱為公式。設(shè)A為合式公式，B為A中一部分，若B也是合式公式，則稱B為A的子公式。合式公式：WellFormedFormula,關(guān)于合式公式的說明,定義1.6給出的合式公式的定義方式稱為歸納定義或遞歸定義方式。定義中引進(jìn)了A,B等符號(hào)，用它們表示任意的合式公式，而不是某個(gè)具體的公式，這與p,p∧q,(p∧q)→r等具體的公式是有所不同的。A,B等符號(hào)被稱作元語言符號(hào)。p,q等被稱作對(duì)象語言符號(hào)。所謂對(duì)象語言是指用來描述研究對(duì)象的語言，而元語言是指用來描述對(duì)象的語言，這兩種語言是不同層次的語言。例如中國人學(xué)習(xí)英語時(shí)，英語為對(duì)象語言，而用來學(xué)習(xí)英語的漢語則是元語言。,關(guān)于合式公式的說明,(┐A)、(A∧B)等公式單獨(dú)出現(xiàn)時(shí)，外層括號(hào)可以省去，寫成┐A、A∧B等。公式中不影響運(yùn)算次序的括號(hào)可以省去，如公式(p∨q)∨(┐r)可以寫成p∨q∨┐r。合式公式的例子：(p→q)∧(q?r)(p∧q)∧┐rp∧(q∧┐r)不是合式公式的例子pq→r(p→(r→q),定義1.7公式層次,(1)若公式A是單個(gè)的命題變項(xiàng)，則稱A為0層合式。(2)稱A是n+1(n≥0)層公式是指下面情況之一：(a)A＝┐B，B是n層公式；(b)A＝B∧C，其中B,C分別為i層和j層公式，且n=max(i,j)；(c)A＝B∨C，其中B,C的層次及n同(b)；(d)A＝B→C，其中B,C的層次及n同(b)；(e)A＝B?C，其中B,C的層次及n同(b)。(3)若公式A的層次為k，則稱A是k層公式。例如：(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)?┐p)分別為3層和4層公式,公式的解釋,在命題公式中，由于有命題符號(hào)的出現(xiàn)，因而真值是不確定的。當(dāng)將公式中出現(xiàn)的全部命題符號(hào)都解釋成具體的命題之后，公式就成了真值確定的命題了。(p∨q)→r若p：2是素?cái)?shù)，q：3是偶數(shù)，r：π是無理數(shù)，則p與r被解釋成真命題，q被解釋成假命題，此時(shí)公式(p∨q)→r被解釋成：若2是素?cái)?shù)或3是偶數(shù)，則π是無理數(shù)。（真命題）r被解釋為：π是有理數(shù)，則(p∨q)→r被解釋成：若2是素?cái)?shù)或3是偶數(shù)，則π是有理數(shù)。（假命題）將命題變項(xiàng)p解釋成真命題，相當(dāng)于指定p的真值為1，解釋成假命題，相當(dāng)于指定p的真值為0。,定義1.8賦值或解釋,設(shè)p1,p2,…,pn是出現(xiàn)在公式A中的全部命題變項(xiàng)，給p1,p2,…,pn各指定一個(gè)真值，稱為對(duì)A的一個(gè)賦值或解釋。若指定的一組值使A的真值為1，則稱這組值為A的成真賦值；若使A的真值為0，則稱這組值為A的成假賦值。對(duì)含n個(gè)命題變項(xiàng)的公式A的賦值情況做如下規(guī)定：(1)若A中出現(xiàn)的命題符號(hào)為p1,p2,…,pn，給定A的賦值α1,α2,…,αn是指p1＝α1，p2＝α2,…，pn＝αn。(2)若A中出現(xiàn)的命題符號(hào)為p，q，r...,給定A的賦值α1,α2,…,αn是指p＝α1，q＝α2,…，最后一個(gè)字母賦值αn。上述αi取值為0或1，i＝1,2,…,n。,賦值舉例,在公式(┐p1∧┐p2∧┐p3)∨(p1∧p2)中，000(p1＝0，p2＝0，p3＝0)，110(p1＝1，p2＝1，p3＝0)都是成真賦值，001(p1＝0，p2＝0，p3＝1)，011(p1＝0，p2＝1，p3＝1)都是成假賦值。在(p∧┐q)→r中，011(p1＝0，p2＝1，p3＝1)為成真賦值，100(p1＝1，p2＝0，p3＝0)為成假賦值。重要結(jié)論：含n(n≥1)個(gè)命題變項(xiàng)的公式共有2n個(gè)不同的賦值。,定義1.9真值表,將命題公式A在所有賦值下取值情況列成表，稱作A的真值表。,構(gòu)造真值表的具體步驟如下：(1)找出公式中所含的全體命題變項(xiàng)p1,p2,…,pn(若無下角標(biāo)就按字典順序排列)，列出2n個(gè)賦值。本書規(guī)定，賦值從00…0開始，然后按二進(jìn)制加法依次寫出各賦值，直到11…1為止。(2)按從低到高的順序?qū)懗龉降母鱾€(gè)層次。(3)對(duì)應(yīng)各個(gè)賦值計(jì)算出各層次的真值，直到最后計(jì)算出公式的真值。,公式A與B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最后一列是否相同，而不考慮構(gòu)造真值表的中間過程。,說明,例1.8,求下列公式的真值表，并求成真賦值和成假賦值。(1)(┐p∧q)→┐r(2)(p∧┐p)?(q∧┐q)(3)┐(p→q)∧q∧r,定義1.10重言式、永真式、可滿足式,設(shè)A為任一命題公式(1)若A在它的各種賦值下取值均為真,則稱A是重言式(tautology)或永真式。(2)若A在它的各種賦值下取值均為假,則稱A是矛盾式(contradiction)或永假式。(3)若A不是矛盾式,則稱A是可滿足式（satisfactableformula）。,定義1.10的進(jìn)一步說明,A是可滿足式的等價(jià)定義是：A至少存在一個(gè)成真賦值。重言式一定是可滿足式，但反之不真。因而，若公式A是可滿足式，且它至少存在一個(gè)成假賦值，則稱A為非重言式的可滿足式。真值表可用來判斷公式的類型:若真值表最后一列全為1，則公式為重言式。若真值表最后一列全為0，則公式為矛盾式。若真值表最后一列中至少有一個(gè)1，則公式為可滿足式。,說明,n個(gè)命題變項(xiàng)共產(chǎn)生2n個(gè)不同賦值含n個(gè)命題變項(xiàng)的公式的真值表只有種不同情況,例題,例題1.9下列各公式均含兩個(gè)命題變項(xiàng)p與q，它們中哪些具有相同的真值表?(1)p→q(4)(p→q)∧(q→p)(2)p?q(5)┐q∨p(3)┐(p∧┐q),啞元,設(shè)公式A,B中共含有命題變項(xiàng)p1,p2,…,pn，，而A或B不全含有這些命題變項(xiàng)，比如A中不含pi,pi+1,…,pn,稱這些命題變項(xiàng)為A的啞元，A的取值與啞元的變化無關(guān)，因而在討論A與B是否有相等的真值表時(shí)，將A,B都看成p1,p2,…,pn的命題公式。,例題,例1.10下列公式中,哪些具有相同的真值表?(1)p→q(2)┐q∨r(3)(┐p∨q)∧((p∧r)→p)(4)(q→r)∧(p→p),本章主要內(nèi)容,命題與真值（或真假值）。簡單命題與復(fù)合命題。聯(lián)結(jié)詞：┐，∧，∨，→，?。命題公式（簡稱公式）。命題公式的層次和公式的賦值。真值表。公式的類型：重言式（永真式），矛盾式（永假式），可滿足式。,本章學(xué)習(xí)要求,在5種聯(lián)結(jié)詞中，要特別注意蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)的應(yīng)用，要弄清三個(gè)問題：p→q的邏輯關(guān)系p→q的真值p→q的靈活的敘述方法寫真值表要特別仔細(xì)認(rèn)真，否則會(huì)出錯(cuò)誤。深刻理解各聯(lián)結(jié)詞的邏輯含義。熟練地將復(fù)合命題符號(hào)化。會(huì)用真值表求公式的成真賦值和成假賦值。,本章典型習(xí)題,命題符號(hào)化求復(fù)合命題的真值與命題公式的賦值判斷公式的類型,例題：命題符號(hào)化,(1)我和他既是兄弟又是同學(xué)p：我和他是兄弟，q：我和他是同學(xué)。故命題可符號(hào)化為：p∧q。(2)張三或李四都可以做這件事。p：張三可以做這件事。q：李四可以做這件事。故命題可符號(hào)化為：p∧q。(3)僅當(dāng)我有時(shí)間且天不下雨，我將去鎮(zhèn)上。對(duì)于“僅當(dāng)”，實(shí)質(zhì)上是“當(dāng)”的逆命題?！爱?dāng)A則B”是A→B，而“僅當(dāng)A則B”是B→A。p：我有時(shí)間。q：天不下雨。r：我將去鎮(zhèn)上。故命題可符號(hào)化為：r→(p∧q)。,例題：命題符號(hào)化,(4)張剛總是在圖書館看書，除非圖書館不開門或張剛生病。對(duì)于“除非”，只要記住，“除非”是條件。p：張剛在圖書館看書，q：圖書館不開門，r：張剛生病。故命題可符號(hào)化為：﹁(q∨r)→p。(5)風(fēng)雨無阻，我去上學(xué)?？衫斫鉃椤安还苁欠窆物L(fēng)、是否下雨，我都去上學(xué)”。p：天刮風(fēng)，q：天下雨，r：我去上學(xué)。故命題可符號(hào)化為：(p∧q→r)∧(p∧┐q→r)∧(┐p∧q→r)∧(┐p∧┐q→r)或(p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧r)理解為“四種情況必居其一,而每種情況下我都去上學(xué)”,命題符號(hào)化的要點(diǎn),要準(zhǔn)確確定原子命題，并將其形式化。要選用恰當(dāng)?shù)穆?lián)結(jié)詞，尤其要善于識(shí)別自然語言中的聯(lián)結(jié)詞（有時(shí)它們被省略）。否定詞的位置要放準(zhǔn)確。需要的括號(hào)不能省略，而可以省略的括號(hào)，在需要提高公式可讀性時(shí)亦可不省略。要注意的是,語句的形式化未必是唯一的。,例題：求公式┐(p→(q∧r))的真值表。,本章作業(yè),習(xí)題一1、9、14、15、18、19,