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1、淮陰師范學(xué)院畢業(yè)論文畢 業(yè) 論 文學(xué)生姓名XXX學(xué) 號(hào)1610010XXX學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專(zhuān) 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)題 目淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法指導(dǎo)教師 XXX 副教授/博士2014年5月摘 要: 反證法是從反面的角度來(lái)思考問(wèn)題的證明方法.在此文章中主要闡明了反證法的概念、證明的一般步驟、反證法的種類(lèi)及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：反證法，適用范圍，假設(shè)Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In this article, we mainl

2、y dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps ofit. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school.Keyword:Proofbycontradiction, scope of application, hypothesis目 錄1引言42反證法的概述43 反證法的適用范圍54運(yùn)用反證法應(yīng)該注意的問(wèn)題10總結(jié)11參考文獻(xiàn)12致謝131 引言1589年，意大利的科學(xué)家伽利略登上了比薩斜塔，同時(shí)丟了兩個(gè)不同質(zhì)量的鐵球.用

3、實(shí)驗(yàn)推翻了古希臘科學(xué)家亞里士多德的“不同重量的物體從高處下落的速度與其重量成正比”的論斷.而在此之前伽利略做了如下的推理論證：假設(shè)假設(shè)亞里士多德的斷言是正確的.設(shè)物體比物體的重量重很多，則應(yīng)比先落地.現(xiàn)在把物體和綁在一起成為物體，則=+.一方面，由于比要重，它應(yīng)該比先落地.另一方面，由于比落得快，、一起的時(shí)候，應(yīng)該是“拉了的后腿”迫使的下落速度減慢，所以，物體應(yīng)該比后落地.這樣一來(lái)，應(yīng)比先落地又應(yīng)比后落地，這樣產(chǎn)生了矛盾，所以假設(shè)是不成立的.因此亞里士多德的斷言是錯(cuò)誤的.伽利略的論證是有力的，邏輯性極強(qiáng)的，而伽利略的這種方法就是我們現(xiàn)在將要介紹的反證法.反證法在初中高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很多的運(yùn)用，

4、乃至大學(xué)或者更高的學(xué)習(xí)中都會(huì)用到反證法.它不僅是一種解題方法，更是一種鍛煉學(xué)生逆向思維的手段.本文重點(diǎn)總結(jié)了反證法的概念，反證法的一般步驟，以及反證法的種類(lèi)和適用范圍等方面，同時(shí)指出了使用反證法時(shí)應(yīng)該注意的問(wèn)題.2 反證法的概述2.1 反證法的概念反證法就是指“證明某個(gè)命題時(shí)，先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā).根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過(guò)推理論證得出與已知事實(shí)（條件，公理，定義，定理，法則，公式等）相矛盾的結(jié)果.這樣就證明了結(jié)論的否定是不成立的，從而間接的肯定了原命題的結(jié)論成立.”這種證明方法叫做反證法.還有人將反證法總結(jié)為證明逆否命題的方法.他們認(rèn)為證明原命題的真假，就是證

5、明原命題的逆否命題是否成立.若一個(gè)命題為“若則”,當(dāng)為真，則（其中表示命題的否定）為真，當(dāng)為假，則為假.2.2 運(yùn)用反證法的步驟運(yùn)用反證法證題一般分為三個(gè)步驟：1）假設(shè)原命題不成立；2）從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證得出矛盾；3）由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論正確.即先提出假設(shè)，然后推出矛盾，最后肯定結(jié)論.2.3 反證法的種類(lèi)應(yīng)用反證法的關(guān)鍵在于歸謬，因此，反證法又稱(chēng)為歸謬法.按照反設(shè)所涉及到的情況多少，反證法可以分為歸謬反證法和窮舉反證法兩種.1）若結(jié)論的反面只有一種情況，那么，反設(shè)單一只須駁倒這種情況便可以達(dá)到反設(shè)的目的，這叫歸謬反證法.2）若結(jié)論的反面不止一種情況，那么，要將各

6、個(gè)反面情形都一一駁倒，最終才能肯定原命題正確，這叫窮舉反證法.3 反證法的適用范圍我們知道，若一個(gè)數(shù)學(xué)命題形如“若A則B”式，一般都能夠用反證法來(lái)證明.證題的實(shí)踐告訴我們，下面幾種命題用反證法來(lái)證明時(shí)，顯得更加方便、有效.3.1 否定性命題否定性命題即結(jié)論以“沒(méi)有”、“不是”、“不能”等形式出現(xiàn)的命題.這樣的命題在用直接證法時(shí)一般不易入手，而此時(shí)使用反證法則能另辟蹊徑，有望成功.例1 設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列.，證明數(shù)列不是等比數(shù)列.證明 假設(shè)是等比數(shù)列.則 ,即,整理得到 . 因?yàn)?，是等比數(shù)列，所以 , .由式可得 .設(shè) , ，則 .因?yàn)?，所以 .即 ，所以 與已知條件兩個(gè)等比數(shù)列

7、公比不相等矛盾.所以不是等比數(shù)列.分析 在這題中要求證明不是等比數(shù)列，而直接證明一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列并沒(méi)有條件可尋，因此，在此時(shí)使用反證法，假設(shè)是等比數(shù)列，一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列是有條件的，這使得證明變得有跡可循.3.2 限定性命題限定性命題即結(jié)論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語(yǔ)的命題.這類(lèi)命題在證明時(shí)巧妙運(yùn)用反證法會(huì)給證明帶來(lái)意想不到的簡(jiǎn)便效果.例2 把44位同學(xué)分成若干小組，使每組至少有1人，且任意兩組的人數(shù)不相等，則證明至多分成8組.證明 假設(shè)44位同學(xué)分成組，且 .因?yàn)槿我鈨山M人數(shù)不相等，所以 個(gè)小組的同學(xué)總共至少有人數(shù)為.因?yàn)椋钥偣踩藬?shù)人，超過(guò)了已知的44人，與已

8、知矛盾.所以 至多分成8組.例3 設(shè),則，至少有一個(gè)不大于.證明 假設(shè)，都大于.即 , , .將三個(gè)式子相加，得+. （1）又因?yàn)?, ,.將三個(gè)式子相加，得+. （2）結(jié)合（1）（2）兩式，發(fā)現(xiàn)相互矛盾,則假設(shè)是錯(cuò)誤的.所以，至少有一個(gè)不大于.3.3 無(wú)窮性命題無(wú)窮性命題即涉及到各種“無(wú)限”結(jié)論的命題.證明無(wú)窮性命題時(shí)，直接證明故然能夠得到結(jié)論，但運(yùn)用反證法來(lái)證明可以簡(jiǎn)易很多.例4證明 質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的.證明 假設(shè)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的.不妨設(shè)有個(gè)質(zhì)數(shù)，則可以將全體質(zhì)數(shù)列舉如下.令，其中，是自然數(shù).且不能被中任何一數(shù)整除，所以是質(zhì)數(shù).這與假設(shè)只有個(gè)質(zhì)數(shù)矛盾，因此質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的.3.4 唯一

9、性命題唯一性命題即結(jié)論有“有且僅有”，“只有一個(gè)”等詞語(yǔ)的論題.由做題的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們，在證明唯一性命題時(shí)，使用反證法最為直接有效.例5 證明 過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和這條直線平行.已知點(diǎn)，直線.求證過(guò)點(diǎn)和直線平行的直線有且只有一條.證明 假設(shè)過(guò)點(diǎn)還有一條直線與直線平行. 因?yàn)?點(diǎn)在直線外,所以 點(diǎn)和直線確定一個(gè)平面.在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)能作出一條直線與直線平行.（由平面幾何知識(shí)得）所以直線存在.因?yàn)橹本€/ /,所以直線/.這與直線，共過(guò)點(diǎn)矛盾，故假設(shè)不成立,所以直線是唯一的.故，過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和這條直線平行.3.5 整除性命題 整除性命題即結(jié)論有“能夠整除”或者“能夠被整除

10、”等相近詞語(yǔ)的論題.例6 設(shè)，都是整數(shù)，能被整除，證明 和都能被整除.證明 分三種情況： ，都不能被整除.因?yàn)椴荒鼙徽?，故不能被整?同理 不能被整除.所以 不能被整除，與已知相矛盾. 能被整除，不能被整除.由此可知，能被整除，不能被整除,所以不能被整除，與已知相矛盾. 不能被整除，能被整除,與同理，不能被整除，與已知相矛盾.由、與已知矛盾可知，假設(shè)不成立.所以原命題成立.3.6 某些存在性命題某些存在性命題即某些結(jié)論有“存在使、“存在滿(mǎn)足條件的”等詞語(yǔ)的論題.這些命題在證明時(shí)需要更加靈活的運(yùn)用反證法.例7設(shè)，求證：對(duì)于，存在有滿(mǎn)足條件的，使得成立.證明 假設(shè)對(duì)于一切的，使恒成立.令 ，則

11、.令 ，則 .令 ,得 .而 , 則產(chǎn)生矛盾.所以假設(shè)不成立，原命題成立.3.7 不等性命題不等性命題即如不等式等形式的論題. 在使用反證法時(shí)要注意結(jié)論的反面情況，若結(jié)論的反面情況有無(wú)窮多種，那么就不能夠使用反證法.例8 當(dāng)，證明 .證明 假設(shè)則，即,因?yàn)?，?于是.又因?yàn)椋?所以，即, 此式不成立.所以假設(shè)不成立，當(dāng)時(shí).例9 已知，且，證明.證明 假設(shè).把代入前式可得,即 .因?yàn)椋?因?yàn)?，則與矛盾.所以假設(shè)不成立，原命題成立.3.8 起始性命題學(xué)科中的起始性命題即是基本的定理、公理.此類(lèi)命題因?yàn)橐阎獥l件和能應(yīng)用的定理、公式、法則較少，或能推論出的結(jié)論很少，故用直接證明法較難，應(yīng)用反證法

12、來(lái)證明.例10 證明 兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).已知直線，相交于點(diǎn)，證明 ，只有一個(gè)交點(diǎn).證明 假設(shè)直線，相交不止一個(gè)交點(diǎn).則至少有兩個(gè)交點(diǎn)，.則直線是由，兩點(diǎn)確定的直線，直線是由，兩點(diǎn)確定的直線.即由，兩點(diǎn)確定了兩條直線，.與已知公理“兩點(diǎn)只確定一條直線”矛盾.所以 假設(shè)不成立，則兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).例11 證明在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)鈍角.已知是的三個(gè)內(nèi)角，求證 中不能有兩個(gè)鈍角.證明 假設(shè)中有兩個(gè)鈍角.不妨設(shè).則,.則 .與已知公理“三角形的內(nèi)角和為”矛盾.故假設(shè)不成立，即在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)鈍角.例12直線與平面相交于，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)引直線、，證明 . （圖1）證明

13、 假設(shè)不垂直于平面.如圖1所示，作并與平面相交于點(diǎn)，此時(shí)、不重合，連接.由作于，于，根據(jù)三垂線定理知：,.因?yàn)? 是公共邊，所以 .因此=.又=，所以 .所以 .因此，是的平分線.同理，是的平分線.而和是兩條不重合的直線，不可能同時(shí)作為和的平分線.產(chǎn)生矛盾.所以假設(shè)不正確.所以原命題成立，.分析 在證明此類(lèi)基本命題時(shí)，使用反證法證明比起直接證明有的好處是不必要再結(jié)合另外太多的定理，給論題的證明縮小了范圍，同時(shí)也帶來(lái)了方便和新的開(kāi)拓思路.4 運(yùn)用反證法應(yīng)該注意的問(wèn)題 4.1 必須正確否定結(jié)論運(yùn)用反證法證明命題的第一步就是：假設(shè)命題的結(jié)論不成立.即假設(shè)結(jié)論的反面成立.在這一步驟中，須注意反設(shè)的正確

14、，如果錯(cuò)誤的“否定結(jié)論”，即使推理再好也會(huì)前功盡棄.要做出正確的反設(shè)，必須注意以下幾點(diǎn)：1）分清命題的條件與結(jié)論、結(jié)論與反設(shè)間的邏輯關(guān)系.2）結(jié)論的反面常常不止一種，則需要反設(shè)后，分別就各種情況歸謬，做到無(wú)一遺漏.3）一些常用詞的否定形式列表詞語(yǔ)詞語(yǔ)的否定詞語(yǔ)詞語(yǔ)的否定是不是必有1個(gè)1個(gè)也沒(méi)有一定是一定不是至少有個(gè)至多個(gè)都是不都是至多有1個(gè)至少有2個(gè)大于小于或等于至多有個(gè)至少有個(gè)小于大于或等于所有都成立存在一個(gè)不成立且或所有不成立存在一個(gè)成立4.2 必須明確推理特點(diǎn)否定結(jié)論從而導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù).但何時(shí)出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么矛盾是不可預(yù)測(cè)的，也沒(méi)有一個(gè)機(jī)械標(biāo)準(zhǔn).但一般總是在相關(guān)領(lǐng)域里考慮（相關(guān)

15、的公理、定義、定理等），這是反證法的推理特點(diǎn).因此，在推理前不必要先規(guī)定好要得出什么矛盾，只要正確的否定結(jié)論，嚴(yán)格遵循推理規(guī)則進(jìn)行每一步有理有據(jù)的推理，總會(huì)出現(xiàn)矛盾.而矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結(jié)束.4.3 了解矛盾種類(lèi)反證法推理過(guò)程中，出現(xiàn)的矛盾是多樣的，推理導(dǎo)出的結(jié)果可能與題設(shè)或部分題設(shè)矛盾，也可能與已知的定義或公理，定理或性質(zhì)相矛盾，可能與臨時(shí)假設(shè)矛盾，也可能是推出一對(duì)相互矛盾的結(jié)果.總 結(jié)反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，是一種重要的證明方法.反證法在數(shù)學(xué)命題的證明中有著直接證明所起不到的作用，若恰當(dāng)?shù)氖褂梅醋C法，就可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化不可能為可能.反證法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的很多方面有著特殊

16、的、不可替代的作用.它用其獨(dú)特的思維方式和證明方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯性思維能力和創(chuàng)造性思維能力有著重要意義.數(shù)學(xué)的證明時(shí)千變?nèi)f化的，然而不變的是證明的步驟和證明的方法，反證法這種證明方法不僅可以在證明論題時(shí)單獨(dú)使用，也可以結(jié)合其他的證明方法一起使用，在證明論題時(shí)靈活多變.而在證明較為復(fù)雜的論題時(shí)，反證法可以多次使用，只要我們熟練的掌握了反證法，在證明時(shí)能夠正確又靈活的運(yùn)用反證法，就能夠做到精巧、有力、方便直接、論證嚴(yán)謹(jǐn)、有理有據(jù)、巧解難題，提高我們解數(shù)學(xué)題的能力.然而，反證法卻是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中比較難教和難學(xué)的內(nèi)容.如何有效的提高和改良反證法的教學(xué)，是擺在中學(xué)數(shù)學(xué)教師面前的一個(gè)重要課題.我們要進(jìn)行有效

17、的數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生真正的理解它、掌握它，從而能夠熟練而靈活的運(yùn)用它.參 考 文 獻(xiàn)1 藍(lán)澗，南秀全，初中數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽全真試題M，武漢：湖北教育出版社，2012.2 曲一線. 五年高考三年模擬高考理數(shù)M，北京：首都師范大學(xué)出版社，2013.3 高瓏瓏. 反證法例說(shuō)J，中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1997,4:19-21.4 龍朝陽(yáng). 反證法的理論基礎(chǔ)與適用范圍J. 安順師專(zhuān)學(xué)報(bào)，1999,2:3-4.5 程里春，張慶毓. 反證法M.廣州：廣東人民出版社，2001.6 趙刊. 常見(jiàn)反證法解題的幾種類(lèi)型J. 中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2002,12:16-19.7 曹金敏. 淺談數(shù)學(xué)證明中的反證法J.現(xiàn)代交際，2010

18、，12:40-43.致 謝在論文即將完成之際，我的心情十分激動(dòng)，從論文的選題、資料的收集、內(nèi)容的排版到格式的規(guī)范，我得到了來(lái)自身邊的老師、朋友、同學(xué)以及前輩們的熱情幫助.首先，我要感謝我的論文指導(dǎo)老師，張新建老師，她是我見(jiàn)過(guò)最耐心最溫柔最令人折服的老師，一開(kāi)始我對(duì)于論文很是不知所措，選題還是收集資料都很迷茫，是張老師給我指點(diǎn)迷津，幫助我選出適合我的論文題，又為我開(kāi)拓研究思路，在初期填寫(xiě)論文任務(wù)書(shū)時(shí)，我的填寫(xiě)格式總是不符合要求，已經(jīng)晚上十一點(diǎn)了，是張老師守在電腦那頭悉心幫我指出問(wèn)題，并為我改正，也因此加長(zhǎng)了張老師的工作時(shí)間，也影響了她的休息，可是張老師并沒(méi)有任何怨言，她的耐心和對(duì)工作的一絲不茍給

19、了我很大的啟發(fā)和感動(dòng).在修改論文的過(guò)程中，張老師精心點(diǎn)撥、熱忱鼓勵(lì)我，就算是再細(xì)小的問(wèn)題，她也及時(shí)指出并告訴我怎樣改正，張老師用她嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度和踏踏實(shí)實(shí)的精神再一次教給了我什么是老師，什么才叫為人師表，我要向張老師學(xué)習(xí)，雖然只有短短的幾個(gè)月，可張老師教會(huì)我的遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止寫(xiě)論文那么簡(jiǎn)單，她給了我終生受益之道，對(duì)張老師的感激之情是我無(wú)法用任何語(yǔ)言來(lái)表達(dá)的.其次，我要感謝我的朋友們，是他們?cè)谖矣龅诫y題和寫(xiě)作瓶頸的時(shí)候給我?guī)椭凸膭?lì).我想我不會(huì)忘記我們一起寫(xiě)論文，一起討論問(wèn)題，一起相互監(jiān)督、相互加油打氣的日子，在我寫(xiě)作論文的日子里，感謝有你們的陪伴和幫助.在此，我還要感謝已經(jīng)畢業(yè)的學(xué)長(zhǎng)學(xué)姐們，雖然我并不認(rèn)識(shí)他們，也和他們不是同校畢業(yè)的，但是他們還是通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)給了我許多建議和意見(jiàn)，告訴我寫(xiě)論文常出現(xiàn)的問(wèn)題，同時(shí)也幫助我規(guī)范了論文的格式.最后，我還要感謝我的母校，淮陰師范學(xué)院，在這四年里，我離開(kāi)了家，離開(kāi)了父母親，來(lái)到了淮師，母校就是我這四年里的母親，它養(yǎng)育了我，教育了我，相處四年，母校的教室、母校的操場(chǎng)、母校的一草一木我都會(huì)記在心間，在母校里是我一生中最美的時(shí)光，別了，淮師.由于我的學(xué)術(shù)水平有限，此篇論文難免有不足之處，懇請(qǐng)各位老師和學(xué)友們批評(píng)指正.13