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1、第1講 集合與常用邏輯用語
1. (2018·高考全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數為 ( )
A．9 B．8
C．5 D．4
解析：將滿足x2＋y2≤3的整數x，y全部列舉出來，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9個．故選A.
答案：A
2．(2017·高考全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，則 ( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D
2、．A∩B＝?
解析：集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，
∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故選A.
答案：A
3．(2017·高考全國卷Ⅱ)設集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝ ( )
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
解析：因為A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程為x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，故選C.
答案：C
4．(2018·高考北京卷)設a，b均為單位向量，則
3、“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的 ( )
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，
∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，
又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0，∴a⊥b；
反之也成立．故選C.
答案：C
1. 設集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝ ( )
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
答案：B
4、
2．設P，Q為兩個非空實數集合，定義集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1,2}，Q＝{－1,0,1}，則集合P*Q中元素的個數是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：當b＝0時，無論a取何值，z＝ab＝1；當a＝1時，無論b取何值，ab＝1；當a＝2，b＝－1時，z＝2－1＝；當a＝2，b＝1時，z＝21＝2.
故P*Q＝{1，，2}，該集合中共有3個元素．
答案：B
3．已知命題p：對任意x∈R，總有2x>x2；q：“ab>1”是“a>1，b>1”的充分不必要條件．則下列命題為真命題的是 ( )
A．p∧q B．綈p∧q
5、
C．p∧綈q D．綈p∧綈q
解析：命題p：x＝－1時，2－1＝，(－1)2＝1，顯然<1，即2x1，b>1，則由不等式的性質可得ab>1，所以“ab>1”是“a>1，b>1”的必要條件；
反之，當a＝4，b＝時，ab＝2>1，所以“ab>1”?/ “a>1，b>1”，即“ab>1”是“a>1，b>1”的不充分條件．
綜上，“ab>1”是“a>1，b>1”的必要不充分條件．故該命題為假命題．
由含邏輯聯結詞的命題判斷可知，p∧q為假命題，綈p∧q為假命題，p∧綈q為假命題，綈p∧綈q為真命題．故選D.
答案：D
4．在△ABC中，邊
6、a，b，c所對的角分別為A，B，C，則“A>B”是“cos 2AB?a>b；由正弦定理可得a>b?sin A>sin B，所以A>B?sin A>sin B.
而cos 2A＝1－2sin2A，cos 2B＝1－2sin2B，而sin A>0，sin B>0，
故cos 2Asin B.
綜上，A>B?cos 2A
7、,1]，a≥2x；命題q：?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0.若命題“p∨q”是真命題，“綈p∧q”是假命題，則實數a的取值范圍為________．
解析：命題p為真，則a≥2x(x∈[0,1])恒成立，
因為y＝2x在[0,1]上單調遞增，所以2x≤21＝2，
故a≥2，即命題p為真時，實數a的取值集合為P＝{a|a≥2}．
若命題q為真，則方程x2＋4x＋a＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a≥0，解得a≤4.
若命題q為真時，實數a的取值集合為Q＝{a|a≤4}．
若命題“p∨q”是真命題，那么命題p，q至少有一個是真命題；
由“綈p∧q”是假命題，可得綈p與q至少有一個是假命題．
①若p為真命題，則綈p為假命題，q可真可假，此時實數a的取值范圍為[2，＋∞)；
②若p為假命題，則q必為真命題，此時，“綈p∧q”為真命題，不合題意．
綜上，實數a的取值范圍為[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
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