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1、每日一題　規(guī)范練(第六周) [題目1] f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值． 解：(1)因為f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝ sin 2x＋cos 2x＝2sin， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π. 又x∈，所以2x＋∈， 所以sin∈， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為－1. (2)因為f(x0)＝2sin＝， 所以sin＝， 又x0∈，知2x0＋∈， 所以cos＝－＝－， 所

2、以cos 2x0＝cos＝coscos＋ sinsin＝－×＋×＝. [題目2] 有一正項等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，滿足a2a4＝64，S3＝14.設bn＝log2an(n∈N*)． (1)求a1，a2的值，并求出數(shù)列{an}的通項公式； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由； (3)記cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 解：(1)由a2a4＝64，得a＝64. 又an＞0，所以a3＝8. 由S3＝a1＋a2＋a3＝14，得a1＋a1q＝6. 所以a1(1＋q)＝6?(1＋q)＝6，則3q2－4q－4＝0. 解之得q＝2或q＝－(q＞0

3、，舍去)． 所以a1＝2，從而an＝2×2n－1＝2n(n∈N*)． (2)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，理由如下： 因為由(1)知an＝2n，所以bn＝log2an＝log22n＝n， 所以bn＋1＝n＋1，所以bn＋1－bn＝1，b1＝1， 所以{bn}是以為1為首項，1為公差的等差數(shù)列． (3)由(2)知bn＝n， 則cn＝＝＝－. 所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋＝1－＝. [題目3] 如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝2，作BE⊥CD，E為垂足，將△CBE沿BE折到PBE位置，如圖2所示． (1)證明：平面PBE⊥平面

4、PDE； (2)當PE⊥DE時，平面PBE與平面PAD所成角的余弦值為時，求直線PB與平面PAD所成角的正弦值． 　 (1)證明：在圖1中，因為BE⊥CE，BE⊥DE， 所以在圖2中有，BE⊥PE，BE⊥DE. 又因為DE∩PE＝E，所以BE⊥平面PDE， 因為BE?平面PBE， 故平面PBE⊥平面PDE. (2)解：因為PE⊥DE，PE⊥BE，DE∩BE＝E， 所以PE⊥平面ABED. 又BE⊥ED，以E為原點，分別以ED，EB，EP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系． 設PE＝a，D(2，0，0)，P(0，0，a)，A(2，2，0)， 則＝

5、(2，0，－a)，＝(2，2，－a)． 設平面PAD的法向量為n＝(x，y，z)， 由? 取x＝a，y＝0，z＝2，則n＝(a，0，2)． 取平面PBE的法向量為＝(2，0，0)， 又平面PBE與平面PAD所成角的余弦值為， 所以＝，即＝，解得a＝4. 故n＝(4，0，2)，＝(0，2，－4)． 設直線PB與平面PAD所成角為α， 所以sin α＝|cos〈，n〉|＝. [題目4] 按照國際乒聯(lián)的規(guī)定，標準的乒乓球在直徑符合條件下，重量為2.7克，其重量的誤差在區(qū)間[－0.081，0.081]內(nèi)就認為是合格產(chǎn)品，在正常情況下樣本的重量誤差x服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一

6、批產(chǎn)品中隨機抽取10件樣本，其重量如下： 2．72　2.68　2.7　2.75　2.66　2.7　2.6　2.69　2.7　2.8 (1)計算上述10件產(chǎn)品的誤差的平均數(shù)及標準差s； (2)①利用(1)中求的平均數(shù)，標準差s，估計這批產(chǎn)品的合格率能否達到96%； ②如果產(chǎn)品的誤差服從正態(tài)分布N(0，0.04052)，那么從這批產(chǎn)品中隨機抽取10件產(chǎn)品，則有不合格產(chǎn)品的概率為多少． 附：若隨機變量x服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜x≤μ＋σ)≈0.683；P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ＜x≤μ＋3σ)≈0.997，0.95410用0.6277，0.99

7、710用0.9743分別代替計算． 解：(1)＝(0.02－0.02＋0＋0.05－0.04＋0－0.1－0.01＋0＋0.1)＝0. s2＝(0.022×2＋0.052＋0.042＋0.012＋0.12×2)＝0.0025， 所以s＝0.05. (2)①由(1)中計算得μ＝0，σ＝0.05， 所以P(μ－2σ＜x＜μ＋2σ)＝P(0－2×0.05＜x＜0＋2×0.05)＝P(－0.1＜x＜0.1)． 因為在－0.1＜x＜0.1內(nèi)包括了所有的合格產(chǎn)品，也包括了不合格的產(chǎn)品， 而P(－0.1＜x＜0.1)≈0.954＜0.96， 所以這批抽查的產(chǎn)品的合格率不能達到96%. (2

8、)因為產(chǎn)品重量的誤差服從正態(tài)分布N(0，0.04052)，所以μ＝0，σ＝0.0405， 又μ－2σ＜x＜μ＋2σ為－0.081＜x＜0.081， 所以每件產(chǎn)品合格的概率為P(μ－2σ＜x＜μ＋2σ)≈0.954， 所以隨機抽取10件產(chǎn)品中有不合格產(chǎn)品的概率為P＝1－0.95410≈1－0.6244＝0.3756. [題目5] 已知O為坐標原點，拋物線E：x2＝2py(p＞0)與直線l：y＝x＋1交于點A，B兩點，且·＝－3. (1)求拋物線E的方程； (2)線段AB的中點為Q，過點Q且斜率為k的直線交拋物線E于C，D兩點，若直線OC，OD分別與直線y＝－2交于M，N兩點，當|

9、MN|＝時，求斜率k的值． 解：(1)聯(lián)立方程?x2－2px－2p＝0， Δ＝4p2＋8p＞0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2＝－2p， y1y2＝·＝＝＝1， 因為·＝x1x2＋y1y2，所以－2p＋1＝－3， 所以p＝2，故拋物線方程為x2＝4y. (2)由(1)得x2－4x－4＝0， 所以x1＋x2＝4，x1x2＝－4， 所以y1＋y2＝x1＋1＋x2＋1＝(x1＋x2)＋2＝6， 所以AB的中點為Q(2，3)． 設過點Q(2，3)斜率為k的直線方程為y－3＝k(x－2)，即kx－2k＋3＝y(tǒng). 聯(lián)立方程?x2－4kx＋8k－12＝0， 由

10、Δ＞0，得k∈R. 設C，D， 則x3＋x4＝4k，x3x4＝8k－12， 直線OC的方程為y＝x，令y＝－2，得x＝－， 所以M，同理得N， 所以|MN|＝＝8 ＝8 ＝8＝， 解得k＝－3，所以斜率k的值為－3. [題目6] 已知函數(shù)f(x)＝x2－ln x的圖象在點處的切線斜率為0. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若g(x)＝f(x)＋mx在區(qū)間(1，＋∞)上沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)f(x)的定義域(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－. 因為f′＝1－a＝0，所以a＝1. 所以f(x)＝x2－ln x， f′(x)＝2x－＝.

11、 令f′(x)＞0，得x＞；令f′(x)＜0，得0＜x＜. 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. (2)g(x)＝x2－ln x＋mx， 由g′(x)＝2x－＋＝＝0， 得x＝，設x0＝， 所以g(x)在(0，x0)上是減函數(shù)，在(x0，＋∞)上為增函數(shù)． 因為g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上沒有零點，所以g(x)＞0在(1，＋∞)上恒成立， 由g(x)＞0，得m＞－x. 令h(x)＝－x，則h′(x)＝. 當x＞1時，h′(x)＜0，所以h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減； 所以當x＝1時，h(x)的最大值為－1，所以≥－1， 即m≥－2. 所以實數(shù)m的取值范圍

12、是[－2，＋∞)． [題目7] 1.[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] 在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以質(zhì)點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線E的極坐標方程為ρ2＝. (1)求曲線E的直角坐標方程； (2)設直線l與曲線E交于A，B兩點，求線段AB的長． 解：(1)E的方程可化為ρ2＋2ρ2sin2θ＝3， 將ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入得x2＋3y2＝3. 所以曲線E的直角坐標方程為＋y2＝1. (2)直線l過定點P(1，0)，將直線l的參數(shù)方程代入曲線E的方程得3t2＋2t－4＝0.t1＋t2＝－，t1t2＝－. 所以|AB|＝

13、|t1－t2|＝＝. 2．[選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x|，g(x)＝m|x－3|. (1)若m＝2，且f(x)－g(x)≥0在[a，a＋1]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； (2)若當x＞5時，函數(shù)g(x)的圖象恒在函數(shù)f(x)圖象的上方，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)當m＝2時，f(x)－g(x)＝|x|－2|x－3|＝ 若f(x)－g(x)≥0，解得2≤x≤6， 要使得函數(shù)f(x)－g(x)≥0在[a，a＋1]上恒成立，必須滿足[a，a＋1]?[2，6]，所以解得2≤a≤5. 所以實數(shù)a的取值范圍是[2，5]． (2)當x＞5時，若函數(shù)g(x)的圖象恒在函數(shù)f(x)圖象的上方， 即g(x)－f(x)＞0在(5，＋∞)上恒成立， 所以m|x－3|－|x|＞0，即m＞恒成立． 當x＞5時，因為＝＝＝1＋＜1＋＝，所以m的取值范圍為. - 8 -