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1、 86第五章 相似矩陣及二次型 1. 試用施密特法把下列向量組正交化: (1); 解 根據(jù)施密特正交化方法, , , . (2). 解 根據(jù)施密特正交化方法, , , . 2. 下列矩陣是不是正交陣: (1); 解 此矩陣的第一個行向量非單位向量, 故不是正交陣. (2). 解 該方陣每一個行向量均是單位向量, 且兩兩正交, 故為正交陣. 3. 設(shè)x為n維列向量, xTx=1, 令H=E-2xxT, 證明H是對稱的正交陣. 證明 因為 HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T =E-2(xT)TxT=E-2xxT, 所以H是對稱矩陣. 因為 HTH=HH=(E-2xxT

2、)(E-2xxT) =E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT) =E-4xxT+4x(xTx)xT =E-4xxT+4xxT =E, 所以H是正交矩陣. 4. 設(shè)A與B都是n階正交陣, 證明AB也是正交陣. 證明 因為A, B是n階正交陣, 故A-1=AT, B-1=BT, (AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,故AB也是正交陣. 5. 求下列矩陣的特征值和特征向量: (1); 解 , 故A的特征值為l=-1(三重). 對于特征值l=-1, 由,得方程(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系p1=(1, 1, -1)T, 向量p1就是對應(yīng)于特征值l=-1的特征值向量. (2); 解

3、 , 故A的特征值為l1=0, l2=-1, l3=9. 對于特征值l1=0, 由,得方程Ax=0的基礎(chǔ)解系p1=(-1, -1, 1)T, 向量p1是對應(yīng)于特征值l1=0的特征值向量. 對于特征值l2=-1, 由,得方程(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系p2=(-1, 1, 0)T, 向量p2就是對應(yīng)于特征值l2=-1的特征值向量. 對于特征值l3=9, 由,得方程(A-9E)x=0的基礎(chǔ)解系p3=(1/2, 1/2, 1)T, 向量p3就是對應(yīng)于特征值l3=9的特征值向量. (3). 解 , 故A的特征值為l1=l2=-1, l3=l4=1. 對于特征值l1=l2=-1, 由,得方程(A+E)x=

4、0的基礎(chǔ)解系p1=(1, 0, 0, -1)T, p2=(0, 1, -1, 0)T, 向量p1和p2是對應(yīng)于特征值l1=l2=-1的線性無關(guān)特征值向量. 對于特征值l3=l4=1, 由,得方程(A-E)x=0的基礎(chǔ)解系p3=(1, 0, 0, 1)T, p4=(0, 1, 1, 0)T, 向量p3和p4是對應(yīng)于特征值l3=l4=1的線性無關(guān)特征值向量. 6. 設(shè)A為n階矩陣, 證明AT與A的特征值相同. 證明 因為|AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT與A的特征多項式相同, 從而AT與A的特征值相同. 7. 設(shè)n階矩陣A、B滿足R(A)+R(B)n, 證明

5、A與B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 證明 設(shè)R(A)=r, R(B)=t, 則r+tn, 故a1, a2, , an-r, b1, b2, , bn-t必線性相關(guān). 于是有不全為0的數(shù)k1, k2, , kn-r, l1, l2, , ln-t, 使k1a1+k2a2+ +kn-ran-r+l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r=0.記 g=k1a1+k2a2+ +kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r), 則k1, k2, , kn-r不全為0, 否則l1, l2, , ln-t不全為0, 而l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r=0, 與b1, b2,

6、, bn-t線性無關(guān)相矛盾. 因此, g0, g是A的也是B的關(guān)于l=0的特征向量, 所以A與B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 8. 設(shè)A2-3A+2E=O, 證明A的特征值只能取1或2. 證明 設(shè)l是A的任意一個特征值, x是A的對應(yīng)于l的特征向量, 則 (A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0. 因為x0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是說l=1或l=2. 9. 設(shè)A為正交陣, 且|A|=-1, 證明l=-1是A的特征值. 證明 因為A為正交矩陣, 所以A的特征值為-1或1. 因為|A|等于所有特征值之積, 又|A|

7、=-1, 所以必有奇數(shù)個特征值為-1, 即l=-1是A的特征值. 10. 設(shè)l0是m階矩陣AmnBnm的特征值, 證明l也是n階矩陣BA的特征值. 證明 設(shè)x是AB的對應(yīng)于l0的特征向量, 則有 (AB)x=lx, 于是 B(AB)x=B(lx), 或 BA(B x)=l(Bx), 從而l是BA的特征值, 且Bx是BA的對應(yīng)于l的特征向量. 11. 已知3階矩陣A的特征值為1, 2, 3, 求|A3-5A2+7A|. 解 令j(l)=l3-5l2+7l, 則j(1)=3, j(2)=2, j(3)=3是j(A)的特征值, 故 |A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(1)j(2)j(3)=32

8、3=18. 12. 已知3階矩陣A的特征值為1, 2, -3, 求|A*+3A+2E|. 解 因為|A|=12(-3)=-60, 所以A可逆, 故 A*=|A|A-1=-6A-1, A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E. 令j(l)=-6l-1+3l2+2, 則j(1)=-1, j(2)=5, j(-3)=-5是j(A)的特征值, 故 |A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|j(A)| =j(1)j(2)j(-3)=-15(-5)=25. 13. 設(shè)A、B都是n階矩陣, 且A可逆, 證明AB與BA相似. 證明 取P=A, 則P-1ABP=A-1ABA=BA,即AB與BA相似.

9、14. 設(shè)矩陣可相似對角化, 求x. 解 由,得A的特征值為l1=6, l2=l3=1. 因為A可相似對角化, 所以對于l2=l3=1, 齊次線性方程組(A-E)x=0有兩個線性無關(guān)的解, 因此R(A-E)=1. 由知當(dāng)x=3時R(A-E)=1, 即x=3為所求. 15. 已知p=(1, 1, -1)T是矩陣的一個特征向量. (1)求參數(shù)a, b及特征向量p所對應(yīng)的特征值; 解 設(shè)l是特征向量p所對應(yīng)的特征值, 則 (A-lE)p=0, 即, 解之得l=-1, a=-3, b=0. (2)問A能不能相似對角化？并說明理由. 解 由,得A的特征值為l1=l2=l3=1. 由知R(A-E)=2,

10、所以齊次線性方程組(A-E)x=0的基礎(chǔ)解系只有一個解向量. 因此A不能相似對角化. 16. 試求一個正交的相似變換矩陣, 將下列對稱陣化為對角陣: (1); 解 將所給矩陣記為A. 由=(1-l)(l-4)(l+2),得矩陣A的特征值為l1=-2, l2=1, l3=4. 對于l1=-2, 解方程(A+2E)x=0, 即,得特征向量(1, 2, 2)T , 單位化得. 對于l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即, 得特征向量(2, 1, -2)T , 單位化得. 對于l3=4, 解方程(A-4E)x=0, 即,得特征向量(2, -2, 1)T , 單位化得. 于是有正交陣P=(p1, p2

11、, p3), 使P-1AP=diag(-2, 1, 4). (2). 解 將所給矩陣記為A. 由=-(l-1)2(l-10),得矩陣A的特征值為l1=l2=1, l3=10. 對于l1=l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即,得線性無關(guān)特征向量(-2, 1, 0)T和(2, 0, 1)T , 將它們正交化、單位化得 , . 對于l3=10, 解方程(A-10E)x=0, 即,得特征向量(-1, -2, 2)T , 單位化得. 于是有正交陣P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(1, 1, 10). 17. 設(shè)矩陣與相似, 求x, y; 并求一個正交陣P, 使P-1AP=L.

12、解 已知相似矩陣有相同的特征值, 顯然l=5, l=-4, l=y是L的特征值, 故它們也是A的特征值. 因為l=-4是A的特征值, 所以,解之得x=4. 已知相似矩陣的行列式相同, 因為, ,所以-20y=-100, y=5. 對于l=5, 解方程(A-5E)x=0, 得兩個線性無關(guān)的特征向量(1, 0, -1)T, (1, -2, 0)T. 將它們正交化、單位化得, . 對于l=-4, 解方程(A+4E)x=0, 得特征向量(2, 1, 2)T, 單位化得. 于是有正交矩陣, 使P-1AP=L. 18. 設(shè)3階方陣A的特征值為l1=2, l2=-2, l3=1; 對應(yīng)的特征向量依次為p1=

13、(0, 1, 1)T, p2=(1, 1, 1)T, p3=(1, 1, 0)T, 求A. 解 令P=(p1, p2, p3), 則P-1AP=diag(2, -2, 1)=L, A=PLP-1. 因為,所以 . 19. 設(shè)3階對稱陣A的特征值為l1=1, l2=-1, l3=0; 對應(yīng)l1、l2的特征向量依次為p1=(1, 2, 2)T, p2=(2, 1, -2)T, 求A. 解 設(shè), 則Ap1=2p1, Ap2=-2p2, 即, -. -再由特征值的性質(zhì), 有x1+x4+x6=l1+l2+l3=0. -由解得 , , , , .令x6=0, 得, x2=0, , , . 因此 . 20.

14、 設(shè)3階對稱矩陣A的特征值l1=6, l2=3, l3=3, 與特征值l1=6對應(yīng)的特征向量為p1=(1, 1, 1)T, 求A. 解 設(shè). 因為l1=6對應(yīng)的特征向量為p1=(1, 1, 1)T, 所以有, 即 -. l2=l3=3是A的二重特征值, 根據(jù)實對稱矩陣的性質(zhì)定理知R(A-3E)=1. 利用可推出. 因為R(A-3E)=1, 所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3, 解之得x2=x3=x5=1, x1=x4=x6=4.因此 . 21. 設(shè)a=(a1, a2, , an)T , a10, A=aaT. (1)證明l=0是A的n-1重特征值; 證明 設(shè)l是A的任意一個特征值,

15、 x是A的對應(yīng)于l的特征向量, 則有 Ax=lx, l2x=A2x=aaTaaTx=aTaAx=laTax, 于是可得l2=laTa, 從而l=0或l=aTa. 設(shè)l1, l2, , ln是A的所有特征值, 因為A=aaT的主對角線性上的元素為a12, a22, , an2, 所以a12+a22+ +an2=aTa=l1+l2+ +ln,這說明在l1, l2, , ln中有且只有一個等于aTa, 而其余n-1個全為0, 即l=0是A的n-1重特征值. (2)求A的非零特征值及n個線性無關(guān)的特征向量. 解 設(shè)l1=aTa, l2= =ln=0. 因為Aa=aaTa=(aTa)a=l1a, 所以p

16、1=a是對應(yīng)于l1=aTa的特征向量. 對于l2= =ln=0, 解方程Ax=0, 即aaTx=0. 因為a0, 所以aTx=0, 即a1x1+a2x2+ +anxn=0, 其線性無關(guān)解為p2=(-a2, a1, 0, , 0)T,p3=(-a3, 0, a1, , 0)T, ,pn=(-an, 0, 0, , a1)T.因此n個線性無關(guān)特征向量構(gòu)成的矩陣為. 22. 設(shè), 求A100. 解 由 , 得A的特征值為l1=1, l2=5, l3=-5. 對于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)T. 對于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(

17、2, 1, 2)T. 對于l1=-5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1, -2, 1)T. 令P=(p1, p2, p3), 則 P-1AP=diag(1, 5, -5)=L, A=PLP-1, A100=PL100P-1. 因為 L100=diag(1, 5100, 5100), , 所以 . 23. 在某國, 每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn), 有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村, 假設(shè)該國總?cè)丝跀?shù)不變, 且上述人口遷移的規(guī)律也不變. 把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖閤n和yn(xn+yn=1). (1)求關(guān)系式中的矩陣A; 解 由題意知 xn+1=xn+qyn

18、-pxn=(1-p)xn+qyn, yn+1=yn+pxn-qyn= pxn+(1-q)yn,可用矩陣表示為 , 因此 . (2)設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等, 即, 求. 解 由可知. 由,得A的特征值為l1=1, l2=r, 其中r=1-p-q. 對于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(q, p)T. 對于l1=r, 解方程(A-rE)x=0, 得特征向量p2=(-1, 1)T. 令, 則 P-1AP=diag(1, r)=L, A=PLP-1, An=PLnP-1. 于是 , . 24. (1)設(shè), 求j(A)=A10-5A9; 解 由,得A的特征值為l1=1, l2

19、=5. 對于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得單位特征向量. 對于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得單位特征向量. 于是有正交矩陣, 使得P-1AP=diag(1, 5)=L,從而A=PLP-1, Ak=PLkP-1. 因此 j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-5L9)P-1 =Pdiag(1, 510)-5diag(1, 59)P-1 =Pdiag(-4, 0)P-1 . (2)設(shè), 求j(A)=A10-6A9+5A8. 解 求得正交矩陣為,使得P-1AP=diag(-1, 1, 5)=L, A=PLP-1. 于是 j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-6L9+5L8)P

20、-1 =PL8(L-E)(L-5E)P-1 =Pdiag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P-1 =Pdiag(12, 0, 0)P-1 . 25. 用矩陣記號表示下列二次型: (1) f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz; 解 . (2) f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz; 解 . (3) f=x12+x22+x32+x42-2x1x2+4x1x3-2x1x4+6x2x3-4x2x4. 解 . 26. 寫出下列二次型的矩陣: (1); 解 二次型的矩陣為. (2). 解 二次型的矩陣為. 27. 求一個正交變換將下列二次型化

21、成標(biāo)準(zhǔn)形: (1) f=2x12+3x22+3x33+4x2x3; 解 二次型的矩陣為. 由,得A的特征值為l1=2, l2=5, l3=1. 當(dāng)l1=2時, 解方程(A-2E)x=0, 由,得特征向量(1, 0, 0)T. 取p1=(1, 0, 0)T. 當(dāng)l2=5時, 解方程(A-5E)x=0, 由,得特征向量(0, 1, 1)T. 取. 當(dāng)l3=1時, 解方程(A-E)x=0, 由,得特征向量(0, -1, 1)T. 取. 于是有正交矩陣T=(p1, p2, p3)和正交變換x=Ty, 使f=2y12+5y22+y32. (2) f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4

22、-2x2x3+2x3x4. 解 二次型矩陣為. 由,得A的特征值為l1=-1, l2=3, l3=l4=1. 當(dāng)l1=-1時, 可得單位特征向量. 當(dāng)l2=3時, 可得單位特征向量. 當(dāng)l3=l4=1時, 可得線性無關(guān)的單位特征向量, . 于是有正交矩陣T=( p1, p2, p3, p4)和正交變換x=Ty, 使f=-y12+3y22+y32+y42. 28. 求一個正交變換把二次曲面的方程3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1化成標(biāo)準(zhǔn)方程. 解 二次型的矩陣為. 由, 得A的特征值為l1=2, l2=11, l3=0, . 對于l1=2, 解方程(A-2E)x=0, 得特征向

23、量(4, -1, 1)T, 單位化得. 對于l2=11, 解方程(A-11E)x=0, 得特征向量(1, 2, -2)T, 單位化得. 對于l3=0, 解方程Ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)T, 單位化得. 于是有正交矩陣P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(2, 11, 0), 從而有正交變換, 使原二次方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程2u2+11v2=1. 29. 明: 二次型f=xTAx在|x|=1時的最大值為矩陣A的最大特征值. 證明 A為實對稱矩陣, 則有一正交矩陣T, 使得TAT-1=diag(l1, l2, , ln)=L成立, 其中l(wèi)1, l2, , ln為A的特征值

24、, 不妨設(shè)l1最大. 作正交變換y=Tx, 即x=TTy, 注意到T-1=TT, 有 f=xTAx=yTTATTy=yTLy=l1y12+l2y22+ +lnyn2. 因為y=Tx正交變換, 所以當(dāng)|x|=1時, 有|y|=|x|=1, 即y12+y22+ +yn2=1.因此f =l1y12+l2y22+ +lnyn2l1,又當(dāng)y1=1, y2=y3= =yn=0時f =l1, 所以f max =l1. 30. 用配方法化下列二次形成規(guī)范形, 并寫出所用變換的矩陣. (1) f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3; 解 f(x1, x2, x3)=x12

25、+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3 =(x1+x2-2x3)2+4x2x3+2x22+x32 =(x1+x2-2x3)2-2x22+(2x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12-y22+y32,所用的變換矩陣為. (2) f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3; 解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3; =(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12-y22+y32,所用的變換矩陣為. (3) f(x1, x2, x3)=

26、2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3. 解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3. . 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12+y22+y32,所用的變換矩陣為. 31. 設(shè)f=x12+x22+5x32+2ax1x2-2x1x3+4x2x3為正定二次型, 求a. 解 二次型的矩陣為, 其主子式為 a11=1, , . 因為f為正主二次型, 所以必有1-a20且-a(5a+4)0, 解之得. 32. 判別下列二次型的正定性: (1) f=-2x12-6x22-4x32+2x1x2+2x1x3; 解 二次型的矩陣為. 因為, , ,所以f為負(fù)定. (2) f=x12+3x22+9x32+19x42-2x1x2+4x1x3+2x1x4-6x2x4-12x3x4. 解 二次型的矩陣為. 因為, , , ,所以f為正定. 33. 證明對稱陣A為正定的充分必要條件是: 存在可逆矩陣U, 使A=U TU, 即A與單位陣E合同. 證明 因為對稱陣A為正定的, 所以存在正交矩陣P使PTAP=diag(l1, l2, , ln)=L, 即A=PLPT,其中l(wèi)1, l2, , ln均為正數(shù). 令, 則L=L1L1, A=PL1L1TPT. 再令U=L1TPT, 則U可逆, 且A=UTU.