3、a=1;
當(dāng)a>1時,f(x)min=f=a+>2,a>1,
綜上,a的取值范圍是[1,+∞).
3.(2019·濰坊二模)已知函數(shù)f(x)=|ax-2|,不等式f(x)≤4的解集為{x|-2≤x≤6}.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)設(shè)g(x)=f(x)+f(x+3),若存在x∈R,使g(x)-tx≤2成立,求實數(shù)t的取值范圍.
[解] (1)由|ax-2|≤4得-4≤ax-2≤4,即-2≤ax≤6,
當(dāng)a>0時,-≤x≤,所以解得a=1;
當(dāng)a<0時,≤x≤-,所以無解,
所以實數(shù)a的值為1.
(2)由已知g(x)=f(x)+f(x+3)=|x+1|+|x-2|=
不等
4、式g(x)-tx≤2,即g(x)≤tx+2,
由題意知y=g(x)的圖象有一部分在直線y=tx+2的下方,作出對應(yīng)圖象:
由圖可知,當(dāng)t<0時,t≤kEM;當(dāng)t>0時,t≥kFM,
又因為kEM=-1,kFM=,
所以t≤-1或t≥,
即t∈(-∞,-1]∪.
4.(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥成立,證明:a≤-3或a≥-1.
[解] (1)因為[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2
=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2
5、[(x-1)(y+1)+(y+1)·(z+1)+(z+1)(x-1)]
≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],
所以由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥,
當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=-,z=-時等號成立.
所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為.
(2)證明:因為[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2
=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]
≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],
所以由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥,
當(dāng)且僅當(dāng)x=,y
6、=,z=時等號成立.
所以(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值為.
由題設(shè)知≥,解得a≤-3或a≥-1.
題號
內(nèi)容
押題依據(jù)
1
絕對值不等式的解法、不等式的證明
本題考查考生絕對值不等式的解法及用分析法證明不等式問題,考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)
2
絕對值不等式的解法與絕對值有關(guān)的函數(shù)最值問題
本題考查了絕對值不等式的解法及函數(shù)最值問題,考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)
【押題1】 已知函數(shù)f(x)=|x+|-|2x+|+,M為不等式f(x)<0的解集.
(1)求M;
(2)證明:當(dāng)m,n∈M時,|mn+2|>|m+n|
7、.
[解] (1)∵f(x)<0,∴|x+|-|2x+|+<0.
當(dāng)x<-時,不等式可化為-x-+(2x+)+<0,解得x<-,∴x<-;
當(dāng)-≤x≤-時,不等式可化為x++(2x+)+<0,解得x<-,無解;
當(dāng)x>-時,不等式可化為x+-(2x+)+<0,解得x>,∴x>.
綜上所述,M={x|x<-或x>}.
(2)要證|mn+2|>|m+n|,即證|mn+2|2>2|m+n|2,
即證m2n2-2m2-2n2+4>0,即證(m2-2)(n2-2)>0.
由(1)知,M={x|x<-或x>},且m,n∈M,∴m2>2,n2>2,
∴(m2-2)(n2-2)>0成立,故|mn+2|>|m+n|得證.
【押題2】 設(shè)函數(shù)f(x)=|ax+1|.
(1)當(dāng)a=1時,解不等式f(x)+2x>2;
(2)當(dāng)a>1時,設(shè)g(x)=f(x)+|x+1|,若g(x)的最小值為,求實數(shù)a的值.
[解] (1)當(dāng)a=1時,f(x)+2x>2,即|x+1|>2-2x,所以或解得x>,
故原不等式的解集為.
(2)當(dāng)a>1時,-1<-,
g(x)=f(x)+|x+1|=
由于函數(shù)g(x)在上遞減,在上遞增,則g(x)min=g=1-,從而1-=,得a=2.
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