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1、目 錄總體規(guī)劃課程實(shí)施第一節(jié) 有趣的數(shù)學(xué)謎語(yǔ)第二節(jié) 雞兔同籠問(wèn)題第三節(jié) 九宮圖的應(yīng)用第四節(jié) 大衍求一術(shù)第五節(jié) 讓梨游戲第六節(jié) 幻方與魔陣第七節(jié) 數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單邏輯推理問(wèn)題第八節(jié) 欺騙眼睛的幾何問(wèn)題第九節(jié) 抽屜原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用第十節(jié) 帕斯卡三角形與道路問(wèn)題第十一節(jié) 數(shù) 獨(dú)第二部分 課程實(shí)施實(shí)施對(duì)象：高二學(xué)生實(shí)施時(shí)間：校本選修課2實(shí)施步驟：分四步：1）自行研讀，思考 2）合作探究、推理 3）老師指導(dǎo)、解答 4）創(chuàng)新運(yùn)用、提高實(shí)施計(jì)劃：擬在高二實(shí)施，共需18課時(shí)。高二年級(jí)每周2課時(shí)。課時(shí)安排：第一節(jié) 有趣的數(shù)學(xué)謎語(yǔ)2課時(shí)第二節(jié) 雞兔同籠問(wèn)題1課時(shí)第三節(jié) 九宮圖的應(yīng)用1課時(shí)第四節(jié) 大衍求一術(shù)2課時(shí)第五節(jié)

2、讓梨游戲1課時(shí)第六節(jié) 幻方與魔陣2課時(shí)第七節(jié) 數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單邏輯推理問(wèn)題1課時(shí)第八節(jié) 欺騙眼睛的幾何問(wèn)題2課時(shí)第九節(jié) 抽屜原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用2課時(shí)第十節(jié) 帕斯卡三角形與道路問(wèn)題1課時(shí)第十一節(jié) 數(shù) 獨(dú)2課時(shí) 體會(huì)與反思1課時(shí)評(píng)價(jià)與考核本課程采用考核與考試相結(jié)合的評(píng)價(jià)方式。作業(yè)：結(jié)合課本知識(shí)及相關(guān)內(nèi)容，以作業(yè)形式，考查學(xué)生的解決問(wèn)題的能力，以了解學(xué)生對(duì)該校本課程的掌握。學(xué)習(xí)反思與體會(huì)：由學(xué)生撰寫(xiě)學(xué)習(xí)反思與體會(huì)，以評(píng)價(jià)學(xué)生的思辨能力和表達(dá)能力。了解學(xué)生對(duì)該校本課程的接受程度，對(duì)下期教學(xué)進(jìn)行必要的改進(jìn)。第一節(jié) 有趣的數(shù)學(xué)謎語(yǔ)猜謎是一種非常有趣有益的智力活動(dòng)，猜謎語(yǔ)也是鍛煉思維能力的一種好方法。聽(tīng)了謎語(yǔ)以后，

3、就會(huì)動(dòng)腦筋想：這說(shuō)的是什么東西呢？“思源于疑”，“疑”是思維的開(kāi)始,是創(chuàng)造的基礎(chǔ)，大家覺(jué)得是不是呢？今天我們就來(lái)猜謎語(yǔ)！先看幾個(gè)簡(jiǎn)單例子：1一加一不是二。（打一字）“一”字、加號(hào)“”、再來(lái)一個(gè)“一”字，組合在一起，得到的字不是“二”，而是“王”。謎底是王。2一減一不是零。（打一字）“一”字、減號(hào)“-”、再來(lái)一個(gè)“一”字，組合在一起，得到的字不是“零”，而是“三”。謎底是三。3八分之七。（打一成語(yǔ)）“八分之七”用數(shù)學(xué)符號(hào)寫(xiě)出來(lái)，把數(shù)字7寫(xiě)在分?jǐn)?shù)線(xiàn)上面，8寫(xiě)在分?jǐn)?shù)線(xiàn)下面，謎底是成語(yǔ)“七上八下”。在上面這些謎語(yǔ)里，用一些很簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)謎語(yǔ)的文字作出新的理解，可以幫助猜出答案。另外一類(lèi)謎語(yǔ)，謎底

4、是數(shù)學(xué)名詞。還是來(lái)看幾個(gè)例子：4七六五四三二一。（打一數(shù)學(xué)名詞）平常報(bào)數(shù)目，是從小到大順著數(shù)，就像流行歌曲里唱的，“一二三四五六七，我的朋友在哪里”。現(xiàn)在他說(shuō)“七六五四三二一”，是從大到小，倒過(guò)來(lái)數(shù)了，所以謎底是“倒數(shù)”。5討價(jià)還價(jià)。（打一數(shù)學(xué)名詞）買(mǎi)東西討價(jià)還價(jià)，要經(jīng)過(guò)反復(fù)協(xié)商，才能達(dá)成雙方都同意的錢(qián)數(shù)。這種協(xié)商錢(qián)數(shù)的過(guò)程，可以戲稱(chēng)為“商數(shù)”。謎底是商數(shù)。6你盼著我，我盼著你。（打一數(shù)學(xué)名詞）“你盼著我”，是你在等候我；“我盼著你”，是我在等候你。兩人互相等候，可謂“相等”。謎底是相等。7成績(jī)是多少？（打二數(shù)學(xué)名詞）學(xué)習(xí)成績(jī)是用得分的數(shù)目計(jì)算的。問(wèn)“多少”，可以換一個(gè)說(shuō)法，改問(wèn)“幾何？”在中

5、國(guó)古代數(shù)學(xué)書(shū)里，問(wèn)一種物品有多少個(gè)，總是問(wèn)“物有幾何？”直到現(xiàn)在，有些地區(qū)的方言里，買(mǎi)東西問(wèn)價(jià)錢(qián)，還是說(shuō)“幾何？”所以，問(wèn)“成績(jī)多少”，等于是問(wèn)“分?jǐn)?shù)，幾何？”謎底是兩個(gè)數(shù)學(xué)名詞：分?jǐn)?shù)、幾何。今天我們見(jiàn)到的謎語(yǔ)都與數(shù)學(xué)有關(guān)，被我們稱(chēng)為數(shù)學(xué)謎語(yǔ)，根據(jù)謎面和謎底的不同，數(shù)學(xué)謎語(yǔ)有不同的分類(lèi)。同學(xué)們不妨一猜，可在緊張學(xué)習(xí)之余博得一樂(lè)，還可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡f(shuō)謎底的時(shí)候，將你的猜謎思路和過(guò)程有條理地向大家展示。一、以數(shù)學(xué)用語(yǔ)為謎底的謎語(yǔ)1. 五角一趟 2. 兩羊打架 3. 完全合算 4. 勤點(diǎn)鈔票5. 兩邊清點(diǎn) 6. 有情人終成眷屬 7. 合法開(kāi)支 8. 打得鴛鴦各一方9. 垂釣 10.

6、 馬術(shù) 11. 戽 12. 歲歲重陽(yáng)今又重陽(yáng)13. 追本溯源 14. 對(duì)癥下藥 15. 多十分 16. 集體釣魚(yú)17. 協(xié)議離婚 18. 打成和局 19. 團(tuán)體賽 20. 刮胡子21. 摩拳擦掌 22. 誰(shuí)押林沖去滄州（打兩個(gè)數(shù)學(xué)用語(yǔ)）二、以數(shù)字為謎面的謎語(yǔ)23. 一（打一成語(yǔ)） 24. 十百千（打一成語(yǔ)）25. 一二三四五六七九十（打一字） 26. 壹貳叁肆伍陸柒捌玖（打一古書(shū)名）27. 三八二十四（打一體育用語(yǔ)） 28. 79（打一古軍事書(shū)名，卷簾格）三、以方程為謎面的謎語(yǔ)29. x=只-吾（打一工業(yè)用語(yǔ)） 30. x=旭3（打一化學(xué)用語(yǔ)）四、以數(shù)學(xué)家為謎底的謎語(yǔ)31. 東坡游春 32.

7、回眸一笑百媚生五、以數(shù)學(xué)科目為謎面的謎語(yǔ)33. 解析幾何（打一口頭用語(yǔ)）六、以運(yùn)算符號(hào)為謎面的謎語(yǔ)34. +-（打一成語(yǔ)）謎底：1.一元二次（推算法） 2.對(duì)頂角 3.絕對(duì)值 4.常數(shù)（通假法） 5.分?jǐn)?shù) 6.同心圓 7.有理數(shù) 8.公分母 9.等于（通假法） 10.乘法 11.內(nèi)角（分解法） 12.循環(huán)節(jié) 13.求根 14.開(kāi)方 15.余角（換算、通假） 16.公垂線(xiàn) 17.約分 18.平角 19.公共角 20.平角（詞性通假） 21.等角22.兩個(gè)解、差（問(wèn)答法。答曰：兩個(gè)解差，分開(kāi)即是） 23.大有人在 24.萬(wàn)無(wú)一失（別解為沒(méi)有“一”和“萬(wàn)”） 25.口（謎面意為“只”少“八”） 26

8、.拾遺記（意為忘記寫(xiě)“拾”） 27.女子雙打（雙打即兩打，二十四） 28.三十六計(jì)（79計(jì)六十三，反序讀之即得） 29.成品（八口減五口為三口，三口即成“品”字） 30.結(jié)晶（九日除以3得3日，結(jié)合為“晶”） 31.蘇步青 32.楊樂(lè) 33.十八斤（謎面別解為把“析”分解開(kāi)是多少？） 34.支離破碎（把支分解開(kāi)即為“+、-、”） 你能總結(jié)出猜數(shù)學(xué)謎語(yǔ)的基本方法嗎？【猜一猜，練一練】第一組：1.群策群力 2.裁判職責(zé) 3.批準(zhǔn)法規(guī) 4.彈簧彈性5.人人富裕 6.啦叭套子 7.主動(dòng)爭(zhēng)取 8.聽(tīng)候下令9.財(cái)政赤字 10.偽造賬目 11.追問(wèn)到底 12.準(zhǔn)備參賽13.交換賽場(chǎng) 14.熱身賽 15.團(tuán)體

9、賽 16.互相呼喊17.中秋明月 18.平原鐵道 19.貨真價(jià)實(shí) 20.提弦調(diào)音謎底：1.公理 2.定理 3.定律 4.有限5.無(wú)窮 6.大于號(hào) 7.不等號(hào) 8.等號(hào)9.負(fù)數(shù) 10.無(wú)理數(shù) 11.求根 12.等比13.更比 14.相似 15.合比 16.對(duì)稱(chēng)17.圓 18.直徑 19.絕對(duì)值 20.正弦第二組：1.斷紗接頭 （打一數(shù)學(xué)名詞）2.抬頭望月 正好初八 （打一三角函數(shù)名）3.一筆債務(wù) （打一數(shù)學(xué)名詞） 4.兩牛打架 （打一數(shù)學(xué)名詞）5.大甩賣(mài) （打一數(shù)學(xué)名同） 6.再見(jiàn)吧媽媽 （打一數(shù)學(xué)名詞）7.醫(yī)生提筆 （打一數(shù)學(xué)名詞） 8.99 （打一成語(yǔ)）9.110 （打一成語(yǔ)） 10.103

10、與1002 （打一成語(yǔ)）11.大同小異 （打一數(shù)學(xué)名詞） 12.并駕齊驅(qū) （打一數(shù)學(xué)名詞）13.周而復(fù)始 （打一數(shù)學(xué)名詞） 14.考試不作弊 （打一數(shù)學(xué)名詞）15.夏周之間 （打一數(shù)學(xué)名詞） 16.捷道 （打一數(shù)學(xué)名詞）17.算盤(pán)珠 （打一數(shù)學(xué)名詞） 18.聯(lián)合國(guó)憲章 （打一數(shù)學(xué)名詞）19.歲歲重陽(yáng)，今又重陽(yáng) （打一數(shù)學(xué)名詞）謎底：1.延長(zhǎng)線(xiàn)；2.正弦；3.負(fù)數(shù)；4.對(duì)頂角；5.絕對(duì)值；6.分子分母；7.開(kāi)方；8.百無(wú)一是；9.一成不變； 10.千變?nèi)f化；11.近似；12.平行；13.循環(huán)；14.真分?jǐn)?shù)； 15.商； 16.直徑； 17.代數(shù)；18.最大公約數(shù)； 19.循環(huán)節(jié)。【數(shù)學(xué)謎語(yǔ)集錦】

11、（一）、打數(shù)學(xué)名詞方面的1.五四三二一； 2.缺了會(huì)計(jì)； 3.郵寄賬本； 4.信件統(tǒng)計(jì)； 5.替人查賬； 6.查賬； 7.開(kāi)獎(jiǎng)； 8.算術(shù)老師的教鞭； 9.一筆債務(wù)； 10.商店盤(pán)貨； 11.用； 12.同室操戈；13.團(tuán)體賽； 14.兵對(duì)兵，將對(duì)將； 15.左右?jiàn)A攻； 16.重判；17.輕判； 18.車(chē)站告示； 19.背著喇叭； 20.待命沖鋒；21.朱元璋登基； 22.婚姻法； 23.演員招考制度； 24.五角；25.員；26.刀口； 27.海峽兩岸盼統(tǒng)一； 28.有情人終成眷屬；29.馬路沒(méi)彎兒；30.兩個(gè)寨子隔條崗，南寨沒(méi)有北寨強(qiáng)；南寨好漢有五條，不及北寨人一雙。31.健全法制； 32

12、.兒童儲(chǔ)蓄； 33.聚散無(wú)常； 34.千絲萬(wàn)縷；35.身高； 36.會(huì)談； 37.欲言又止； 38.保持距離，同時(shí)起飛；39.五角錢(qián)一趟； 40.浮萍； 41.互盼； 42.合家歡；43.恰如其分； 44.一望無(wú)際； 45.一模一樣； 46.哨聲響了；47.減法沒(méi)算對(duì)； 48.垂釣； 49.走致富之路； 50.北；51.抬頭望月，正好初八； 52.二胡調(diào)音； 53.時(shí)刻盼望上戰(zhàn)場(chǎng)（打數(shù)學(xué)二名詞）； 54.丞（打數(shù)學(xué)三名同）； 55.一個(gè)郵遞員掀起了信箱的蓋子，在清點(diǎn)有多少信件。你能根據(jù)這一情況猜出三個(gè)數(shù)學(xué)名詞嗎？（二）、打數(shù)學(xué)家名字方面的1.虎丘游春； 2.博覽群書(shū)。（三）、打其它方面的1.八

13、十五（打一影片名）； 2.三八二十四（打一體育名詞）；3.四加四（打一字）；4.+-（打一政治名詞）； 5.圓規(guī)畫(huà)雞蛋（打一城市名稱(chēng)）； 6.力（打一珠算口訣）；7.千古興亡多少事（打三學(xué)科名稱(chēng)）；8.向陽(yáng)村和青松村比賽籃球。向陽(yáng)隊(duì)是東方鄉(xiāng)的冠軍，而青松隊(duì)是長(zhǎng)豐鄉(xiāng)的冠軍，這場(chǎng)兩個(gè)冠軍隊(duì)的比賽打得非常激烈、精彩，每球必爭(zhēng)，比分不相上下，直到最后一分鐘，向陽(yáng)隊(duì)罰進(jìn)一球才分出勝負(fù)。當(dāng)有人問(wèn)起勝負(fù)情況和比分時(shí)，向陽(yáng)隊(duì)的球員說(shuō)，這次比賽是“白”字比“雜”字，我們只贏(yíng)了一分。你知道兩個(gè)隊(duì)各得幾分？謎底：（一）、1.倒數(shù)：2.無(wú)理數(shù)；3.函數(shù)；4.函數(shù)；5.代數(shù)；6.對(duì)數(shù)；7.對(duì)數(shù)；8.指數(shù)：9.負(fù)數(shù)；10

14、.復(fù)數(shù)； 11.半角； 12. 內(nèi)角； 13.公共角；14.同位角；15.兩面角；16.加法（謎面意即“加罰”，“罰”與“法”諧音）；17.減法；18.乘法（乘車(chē)方法，取乘法）；19.負(fù)號(hào)；20.等號(hào)；21.消元；22.結(jié)合律；23.優(yōu)選法；24.半圓；25.圓心；26.切點(diǎn)；27.同心圓；28.同心圓；29.直徑；30.算盤(pán)；31.圓規(guī)；32.微積分；33.不定積分；34.繁分式；35.立體幾何；36.集合論；37.控制論；38.平行；39.一元二次；40.不定根；41.相等；42.共圓；43.精確值；44.無(wú)窮大；45.全等；46.集合；47.誤差；48.等于（“于”與“魚(yú)”諧音）；49.

15、趨向無(wú)窮；50.反比（反扣法，“北”反為“比”）；51.正弦（假借法，因?yàn)槌醢嗽铝潦巧舷?，“上”含“正”，故為“正弦”）?2.正弦；53.等角、正切；54.大于、小于、分子（用增損法猜測(cè)）；55.開(kāi)立方、函數(shù)、幾何。（二）、1.蘇步青；2.張廣厚。（三）、1.月到中秋；2.女子雙打（“三八”扣“女子”，“二十四”扣“雙打”，因?yàn)槭橐淮颍?.積（“四加四”和是八，再由“和八”拼成“積”字）；4.分裂主義；5.太原（“原”與“圓”諧音）；6.二一添作五；7.歷史、代數(shù)、幾何；9.九十九比九十八（“白”是“百”減“一”：“雜”是“九”、“十”、“八”的組合）。注：1、不同的謎面有時(shí)有相同的謎

16、底；2、同一個(gè)謎面它的謎底有時(shí)是由幾部分組成的，且這幾部分都是并列的，必須都猜出來(lái)才算全對(duì)；3、第五十五個(gè)謎語(yǔ)屬啞謎，最后一個(gè)謎語(yǔ)屬故事謎。猜數(shù)學(xué)謎語(yǔ)可鍛煉思維能力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在猜謎的過(guò)程中，有時(shí)需要一步步地深入，前面猜測(cè)的結(jié)果可能成為下一步的前提。因此，算法思想始終滲透在數(shù)學(xué)謎語(yǔ)中，條理清晰，理由充分，推理正確，才能一步步地貼近謎面。同時(shí)，請(qǐng)學(xué)生表述答案的過(guò)程是提高表達(dá)能力的過(guò)程。第二節(jié) 雞兔同籠問(wèn)題 雞兔同籠，這個(gè)問(wèn)題，是我國(guó)古代著名趣題之一。大約在1500年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。書(shū)中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”這四句

17、話(huà)的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？第一類(lèi)：列表舉例法。方法1：根據(jù)雞和兔共20只的條件，假設(shè)雞只有1只，那么兔有19只，腿共有78條。在這樣的逐一舉例中，直至尋求到所求的答案。方法2：先作一些分析，比較后再試。方法3：先假設(shè)雞和兔各占一半，再列表。6054，說(shuō)明兔子多了，應(yīng)減少兔子的只數(shù)。 上面三種方法中，第一張表格是常規(guī)的逐一列舉法，即根據(jù)雞與兔共20只的條件，假設(shè)雞只有1只，那么兔就有19只，腿共有78條；假設(shè)雞有2只，那么兔就有18只，腿共有76條。，再這樣的逐一舉例中，直至找到所求的答案。第二類(lèi)：作圖分析法。方法1

18、：先畫(huà)20個(gè)圓圈表示20個(gè)頭。再為每個(gè)動(dòng)物畫(huà)兩條腿，20只動(dòng)物只用完40條腿，還多出了14條腿。把剩下的14條腿用完，要給其中的7只動(dòng)物加2條腿，這7只就是兔子，另外的13只就是雞。方法2：先畫(huà)20個(gè)頭，接著假設(shè)全部是兔，共畫(huà)80條腿，多出了26條腿，要給其中的13只動(dòng)物去掉2條腿，這13只就是雞，另外的7只就是兔了。第三類(lèi)：方程解答法。解法1：設(shè)其中有X只兔，有Y只雞。列式為：XY20，4X+2Y=54。最后算出X=7，Y=13。解法2：設(shè)其中有X只兔，有（20X）只雞。列式為：2X+4x（20X）=54,最 后算出X7，得出兔的只數(shù)是7只，那么20X13就是雞的只數(shù)。第四類(lèi)：假設(shè)推理法。方

19、法1： 假設(shè)這20只全部是兔子，那么就應(yīng)該有80條腿，而題目只告訴我們 有54條腿，我們算的80與實(shí)際相比多算了26條腿，這是為什么呢？因?yàn)橐恢浑u是兩條腿，而我們把它當(dāng)成四條腿算了，如果用一只雞來(lái)?yè)Q一只兔，就要減少2條腿，也就是我們把多少只雞當(dāng)成了兔子，顯然26213(只），所以雞有13只，兔子有7只?？梢粤惺綖椋海?0X4-54)(4-2)=13（只），20-13=7(只）。方法2：假設(shè)這20只全部是雞，那么就應(yīng)該有40條腿，比實(shí)際少了14條腿，是因?yàn)槊恐煌米由偎懔?條腿，這樣共有兔子是7只，雞則是13只。列式如下：（54-20 x4)(42）=13(只），20137（只）。 解決雞兔同籠問(wèn)

20、題通常使用假設(shè)法，可以假設(shè)所有的動(dòng)物都是兔子，并求出在假設(shè)情況下的總腿數(shù)，再把實(shí)際的腿數(shù)和假設(shè)情況下的腿數(shù)相比較，看看多出了多少，每多2只腿說(shuō)明有一只雞，將多出的腿數(shù)除以2就算出共有多少只雞。也可以假設(shè)全部是兔子來(lái)解。方法3：把一只雞和一只兔看做一個(gè)整體，一個(gè)整體中就有（42=6）條腿，54條腿應(yīng)該是幾個(gè)這樣的整體呢？5469(個(gè)），在9個(gè)這樣的整體里兔子的只數(shù)應(yīng)該不是9只，因?yàn)?只兔和11只雞的腿的條數(shù)超過(guò)了總條數(shù)54。那么就把兔看成8只，還是偏大，最后把兔的只數(shù)看成7只，雞是13只，腿的總條數(shù)就正好是54了。列式為：426（只），5469(個(gè)），918（只），927（只），20713（只）

21、，7X428（條），13X226（條）28+26=54(條）第五類(lèi)：“金雞獨(dú)立”法此方法是：每只雞都用一只腳站著，而每只兔子都用后腳站起來(lái)”。顯然，在這種情況下，總腳數(shù)出現(xiàn)了一半，是27，此時(shí)，雞的腳數(shù)與雞的頭數(shù)是相等的，兔子的腳數(shù)是兔子的頭數(shù)的2倍。所以，從27中減去總的頭數(shù)20得7，就是兔子的頭數(shù)。當(dāng)然，20-7=13，雞就是13只了。雞兔同籠問(wèn)題早在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)中就出現(xiàn)過(guò)，社會(huì)發(fā)展到今天，雞和兔同裝一籠的此類(lèi)事件應(yīng)該不多見(jiàn)了。但學(xué)生可以借助“雞兔同籠”這個(gè)載體經(jīng)歷嘗試、創(chuàng)新的過(guò)程， 讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用與解決實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值。作業(yè)：設(shè)計(jì)一個(gè)算法，輸入雞兔

22、的頭和腳數(shù)，輸出雞和兔的數(shù)量。第三節(jié) 九宮圖的應(yīng)用一、數(shù)學(xué)故事：任意寫(xiě)一個(gè)三位數(shù) 做幾次簡(jiǎn)單運(yùn)算，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)小小規(guī)律。任意寫(xiě)一個(gè)三位數(shù)，例如135。把它的數(shù)字倒過(guò)來(lái)寫(xiě)，成為531。用其中較大的減去較小的，得到531-135=396。換幾個(gè)另外的三位數(shù)，也做同樣的計(jì)算，分別得到876-678=198，995-599=396，963-369=594。以上4個(gè)式子里得到的差，有一個(gè)明顯的共同點(diǎn)：差的中間一位數(shù)字都是9。再仔細(xì)看看，還發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn)：差的首、尾兩位數(shù)字的和等于9。這樣，通過(guò)觀(guān)察和歸納，就發(fā)現(xiàn)了三位數(shù)顛倒相減的規(guī)律。還可以再隨意寫(xiě)很多三位數(shù)顛倒相減的例子，來(lái)驗(yàn)證上面得到的規(guī)律，結(jié)果大部

23、分都完全符合，只有兩種例外情形。第一種例外，如594-495=99，差是兩位數(shù)99，不是三位數(shù)。第二種例外，如323-323=0，這時(shí)的差是0。由此可見(jiàn)，剛才初步歸納出來(lái)的規(guī)律，需要作兩點(diǎn)小補(bǔ)充：第一，如果差的末位數(shù)字是9，這個(gè)差一定是99；第二，如果差的末位數(shù)字是0，這個(gè)差一定是0。在其他情形下，差都是三位數(shù)。這樣一來(lái)，規(guī)律就完整了。你可以讓你的朋友轉(zhuǎn)過(guò)身去，在紙上任意寫(xiě)三位數(shù)，然后顛倒相減，只要把差的末位數(shù)字告訴你，就能猜出差是多少。無(wú)論哪種情形，只要掌握規(guī)律，總能應(yīng)答如流，一猜就準(zhǔn)。二、九宮圖的應(yīng)用 歷史古老而悠久的中華文化的寶殿中，有兩顆璀璨奪目的明珠-河圖洛書(shū)，至今吸引著眾多學(xué)者的研

24、究熱情，人們?yōu)楹訄D洛書(shū)的神話(huà)般的傳說(shuō)，高深的奧義，豐富的內(nèi)容，簡(jiǎn)潔的形式萬(wàn)分驚訝，對(duì)河圖洛書(shū)與中國(guó)的思想文化、社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)的密切聯(lián)系更是迷惑不解。種種論述表明，河圖洛書(shū)是中華文化的總源頭，對(duì)中國(guó)及世界文化的發(fā)展，都有過(guò)深刻的影響。然而，令我們每個(gè)人吃驚和迷惑不解的是，河圖洛書(shū)只是兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字圖。 龍馬載河圖，神龜背洛書(shū)河圖洛書(shū)是我們祖先創(chuàng)造出來(lái)的，翻遍祖國(guó)的各種古典著作，我們根本找不到這位創(chuàng)始人。河圖洛書(shū)的產(chǎn)生，至少要追溯到四千五百多年以前，那時(shí)，人類(lèi)尚處于無(wú)文字時(shí)代，人類(lèi)的認(rèn)識(shí)水平還十分低，很難想象那時(shí)就有人能夠制造出如此高深莫測(cè)的圖書(shū)。在我國(guó)各種古籍中，對(duì)河圖洛書(shū)的起源，僅有兩個(gè)龍

25、馬載河圖，神龜背洛書(shū)的傳說(shuō)。 （一）龍馬載河圖相傳遠(yuǎn)古時(shí)期的孟津河邊，一天河水忽然大漲，波浪滔天，水中有一巨獸，似龍非龍，似馬非馬，浪里飛騰。當(dāng)時(shí)的伏羲黃帝與眾臣聽(tīng)到有人報(bào)告，立即去河邊觀(guān)看，只見(jiàn)河中洪濤巨浪，波浪中一巨獸踏水如登平地，大體象馬卻身有魚(yú)鱗，高八九尺，有兩翼，形體象駱駝，身上負(fù)有由花點(diǎn)構(gòu)成的圖案，黃帝命人走近河邊，將圖案記錄下來(lái)，剛剛記下，怪獸即沒(méi)而不見(jiàn)。后伏羲皇帝認(rèn)真研究了這副圖發(fā)現(xiàn)它正是由十種花點(diǎn)組成，這十種花點(diǎn)代表1-10這10個(gè)數(shù)，兩種花點(diǎn)構(gòu)成一組，布局在東西南北中五個(gè)位置上，每組花點(diǎn)所表示的數(shù)，其差均是5.這種和諧統(tǒng)一，四方對(duì)稱(chēng)的特征，黃帝越研究越感到奇妙無(wú)比，后來(lái)他就

26、依此畫(huà)八卦，建甲歷，定時(shí)辰，治理國(guó)家。由于此幅圖是在孟津河中發(fā)現(xiàn)的，故稱(chēng)此圖為河圖。 （二）神龜背洛書(shū)公元前23世紀(jì)，大禹治水的時(shí)候，在黃河支流洛水中，有一天突然浮規(guī)出一個(gè)大烏龜，當(dāng)時(shí)，大禹與治水士兵正在河邊現(xiàn)察洛河水情，商議治理黃河大計(jì)，遇到烏龜在河里上下翻騰就十分奇怪，只見(jiàn)此龜行走水面，游來(lái)游去，其身形龐大，甲背平圓。近處仔細(xì)觀(guān)看，發(fā)現(xiàn)甲上載有9種花點(diǎn)的圖案，大禹令士兵們將圖案中的花點(diǎn)布局記了下來(lái)，帶回去作了深入的研究，他驚奇地發(fā)現(xiàn)，9種花點(diǎn)數(shù)正好是1-9這9個(gè)數(shù)，各數(shù)的位置排列也相當(dāng)奇巧，縱橫六線(xiàn)及兩條對(duì)角線(xiàn)上三數(shù)之和都為15，既均衡對(duì)稱(chēng)，又深?yuàn)W有趣，在奇偶數(shù)的交替變化之中似有一種旋轉(zhuǎn)運(yùn)

27、動(dòng)之妙。大禹受到啟發(fā)，他參照九數(shù)而劃分天下雨九別，并且把一般政事也區(qū)分為九奧。據(jù)史記夏本紀(jì)寫(xiě)道：夏禹治水時(shí)，“左準(zhǔn)通、右規(guī)矩，載四時(shí)，以開(kāi)九州，通九道，陂九澤”大禹治水以九宮為據(jù)，應(yīng)用到測(cè)量、氣象、地理與交通運(yùn)輸之中，從而治理黃河，大獲成功，受到黃河兩岸人們的擁戴。由于神龜所背圖是在黃河支流洛水中發(fā)現(xiàn)，且圖中內(nèi)容如書(shū)一樣深?yuàn)W，故人們稱(chēng)此為洛書(shū)。應(yīng)用：如何分班？為師各班成績(jī)均勻，我們給先學(xué)生排序，然后按照一定的規(guī)律將學(xué)生分組。如分3個(gè)班，將學(xué)生排序后，按照?qǐng)D1的行（或列）從上到下一次編號(hào)132321213為一組，向下重復(fù)。所有編號(hào)為1的一個(gè)班，編號(hào)為2的一個(gè)班，編號(hào)為3的一個(gè)班。如分4個(gè)班則按圖

28、2處理；5個(gè)班按圖3處理；6個(gè)班按圖4處理。1323212131432321423414123 圖1 圖2 1345224513523413512441235316524625341541236163452452163234615 圖3 圖4 作業(yè)：按照示例4圖，請(qǐng)與同學(xué)合作，編制一張分7個(gè)班的分班表。第四節(jié) 大衍求一術(shù)第五節(jié) 讓梨游戲第六節(jié) 幻方與魔陣第七節(jié) 數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單邏輯推理問(wèn)題一、“被墨水蓋住”的算式如果要想具備福爾摩斯那樣神奇的破譯密碼的本領(lǐng)，不但應(yīng)具有非凡的推理能力，還要懂得大量的其他知識(shí)。然而，只要你有心，也可以破譯一些簡(jiǎn)單的密碼。 現(xiàn)在我們來(lái)看一個(gè)例子：據(jù)傳說(shuō)，英國(guó)物理學(xué)家牛頓

29、（16421727）小的時(shí)候，學(xué)習(xí)成績(jī)幾乎在學(xué)校是倒數(shù)第一。后來(lái)他下決心改變這一令人沮喪的狀況。有一次，他把自己的作業(yè)做得干凈整齊，沒(méi)有任何錯(cuò)誤，但正當(dāng)他把筆和本子收起來(lái)時(shí)，糟糕的事情發(fā)生了：墨水灑了，正好在他的一道算術(shù)題上留下了一塊墨跡。下圖顯示了這個(gè)令人不快的結(jié)果。2 8 ？+？4？式中只剩下了3個(gè)數(shù)字較為清晰。小牛頓盡了一切努力，最后終于記起來(lái)整道題湊巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10個(gè)數(shù)字，一樣一個(gè)。如果這是一種從0到9這10個(gè)數(shù)字編制的密碼，你能破譯出被墨水蓋住的都是哪些數(shù)字嗎？由于被墨水蓋住的是10個(gè)數(shù)字，所以原式應(yīng)為：我們可以把這個(gè)算式寫(xiě)成：28A+CB4GFE

30、D其中每個(gè)英文字母分別表示數(shù)字0、1、3、5、6、7、9中的某一個(gè)。我們先考慮千位上的G。兩個(gè)三位數(shù)相加，和是四位數(shù)，由于兩個(gè)百位上的數(shù)相加，和最多向千位進(jìn)1，所以，G只能是1，這時(shí)，算式就成了：28A+CB41FED再看百位上的C和F。如果要保證向千位進(jìn)1，C不能小于7，即C只可能是7或9中的一個(gè)。設(shè)C=9，那么如果十位不進(jìn)位到百位，F(xiàn)=1；如果十位進(jìn)位到百位，F(xiàn)=2。這都和已知的數(shù)字重復(fù)。所以C9。所以C=7，F(xiàn)=0。即28A+7B410ED這時(shí)，B可能是3、5、6、7中的某一個(gè)。如果B=3，那么應(yīng)有E=1或2，但這不可能；如果B=5，那么E=3，但6+49，9+46；如果B=6，那么E=

31、5，這時(shí)令A(yù)=9，則有D=3。整理出來(lái)就是：A=9，B=6，C=7，D=3，E=5，F(xiàn)=0，G=1。于是，小牛頓的算式應(yīng)為：289+7641053二、問(wèn)路問(wèn)題有這樣一個(gè)故事：在太平洋中有AB兩個(gè)相鄰的小島。A島居民都是誠(chéng)實(shí)的人，B島的居民都是騙子。當(dāng)你問(wèn)一個(gè)問(wèn)題時(shí)，A島的居民會(huì)告訴你正確的答案，而B(niǎo)島的居民給你的答案都是錯(cuò)誤的。一天，一個(gè)旅游者獨(dú)自登上了兩島中的某個(gè)島。他分辨不清這個(gè)島是A島還是B島，只知道這個(gè)島上的人既有本島的居民又有另一島的來(lái)客。他想問(wèn)島上的人“這是A島還是B島？”卻又無(wú)法判斷被問(wèn)者的答案是否正確。旅游者動(dòng)腦筋想了會(huì)一兒，終于想出一個(gè)辦法，他只需要問(wèn)他所遇到的任意一人一句話(huà)

32、，就能從對(duì)方的回答中準(zhǔn)確無(wú)誤地?cái)喽ㄟ@里是哪個(gè)島。你能猜出旅游者所問(wèn)的問(wèn)題嗎？如果旅游者直接問(wèn)“這是A島還是B島？”那么當(dāng)被問(wèn)者是A島人時(shí)，他會(huì)得到正確的回答；當(dāng)被問(wèn)者是B島人時(shí)，他會(huì)得到錯(cuò)誤的回答。兩種回答截然相反，而旅游者又無(wú)法知道他得到的答案對(duì)不對(duì)，因此這樣問(wèn)話(huà)達(dá)不到問(wèn)路的目的。聰明的旅游者的問(wèn)話(huà)是，“你是這個(gè)島的居民嗎？”如果對(duì)方回答“是”，那么這個(gè)島一定是A島；如果對(duì)方回答“不是”，那么這個(gè)島一定是B島。你能說(shuō)出這是為什么嗎？下面我們就對(duì)上面的問(wèn)題進(jìn)行分析：我們知道，旅游者提出問(wèn)題時(shí)并不知道提問(wèn)地是何島，也不知道被問(wèn)者是何島居民。他要從所聽(tīng)到的第一句回答來(lái)判斷問(wèn)話(huà)地是何島。因此，所提問(wèn)

33、題的答案必須是因提問(wèn)地而異，而不由被問(wèn)者是A島居民或是B島居民發(fā)生變化。根據(jù)上述特點(diǎn)，我們?cè)O(shè)法找到這樣的問(wèn)題：1、使得在A(yíng)島提問(wèn)時(shí)，被問(wèn)者（不論是何島居民）都回答同樣的一種答案；2、在B島提問(wèn)時(shí)，被問(wèn)者都回答另一種答案。于是，我們就可以根據(jù)任一人的回答來(lái)判斷提問(wèn)地為何島了。顯然，這樣的問(wèn)題必須與提問(wèn)地相關(guān)，并且還要與被問(wèn)者有關(guān)，如果在A(yíng)島提出這樣的問(wèn)題時(shí)，A島居民應(yīng)作肯定回答（B島居民也會(huì)作肯定回答，但這種回答與客觀(guān)實(shí)際相反），那么在B島提出同一問(wèn)題時(shí)，A島居民應(yīng)作否定回答（B島居民也會(huì)做否定回答，但回答與實(shí)際情況相反）?！澳闶沁@個(gè)島的居民嗎？”這一問(wèn)題就是一個(gè)滿(mǎn)足以上要求的問(wèn)題，我們通過(guò)下表

34、表示在不同的提問(wèn)地的不同的被問(wèn)者對(duì)問(wèn)題的相應(yīng)回答。問(wèn)題：你是這個(gè)島的居民嗎？問(wèn)話(huà)地被問(wèn)者A島居民B島居民A島回答是是B島不是不是由上表可以一目了然地發(fā)現(xiàn)：在A(yíng)島提問(wèn)時(shí)，回答總為“是”；在B島提問(wèn)時(shí)，回答總為“不是”。這就為旅游者判斷提問(wèn)地是哪個(gè)島提供了依據(jù)，于是“問(wèn)路問(wèn)題”得以解決。請(qǐng)想一想，如果旅游者的問(wèn)題為“你是相鄰的另一島上的居民嗎？”，那么能根據(jù)任一人的回答來(lái)判斷提問(wèn)地是何島嗎？為什么？試通過(guò)列表的方式說(shuō)明理由。數(shù)學(xué)中有個(gè)分支叫做數(shù)理邏輯，它通過(guò)數(shù)學(xué)方法來(lái)研究邏輯規(guī)律。在數(shù)理邏輯中，列表法是一種基本的研究方法，只是其中表的形式與本文中的表有許多不同，使用了一些有關(guān)命題、真值的抽象符號(hào)，

35、但其基本思想與我們用表討論問(wèn)題的思想是大體一致的，都是通過(guò)列表來(lái)分析和說(shuō)明問(wèn)題。數(shù)學(xué)是以邏輯推理為重要研究方法的學(xué)科。所謂邏輯推理，就是合乎事理的、有根有據(jù)的推導(dǎo)判斷。上面的兩個(gè)問(wèn)題正是運(yùn)用到邏輯推理的問(wèn)題，同學(xué)們應(yīng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注意提高自己的邏輯推理能力，使自己勤于思考并且善于思考，成為聰明人。第八節(jié) 欺騙眼睛的幾何問(wèn)題生活中我們常常相信親眼所見(jiàn)，但又常常為自己的眼睛所騙，魔術(shù)就是一個(gè)很好的例子。數(shù)學(xué)中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數(shù)學(xué)魔術(shù)，我們先看一個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：在下面的兩個(gè)圖形中，如果將圖1中的四塊幾何圖形裁剪開(kāi)來(lái)重新拼接成圖2，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，與圖1相比，圖2多出了一個(gè)洞！這怎么可能呢？我們

36、自然會(huì)提出這樣的疑問(wèn)。奧妙何在我們姑且按下不表，讓同學(xué)們先動(dòng)動(dòng)腦子！上面的題目有些復(fù)雜，下面我們來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單一些的問(wèn)題。問(wèn)題2：將圖3中面積為1313=169的正方形裁剪成圖中標(biāo)出的四塊幾何圖形，然后重新拼接成圖4，計(jì)算可知長(zhǎng)方形的面積為821168，比正方形少了一個(gè)單位的面積，非常不可思議，這是為什么呢？這兩個(gè)問(wèn)題是這樣的令人驚奇和難以理解，值得我們花費(fèi)一些時(shí)間動(dòng)手按照所說(shuō)的剪裁方法做一做。我們先來(lái)分析一下問(wèn)題2：我們?cè)诎准埳蠈⒄叫瘟亢卯?huà)出，剪成四塊，重新安排后拼成長(zhǎng)方形，除非圖形做得很大并且作圖和剪裁都十分精確，我們一般是不會(huì)發(fā)現(xiàn)拼接成的長(zhǎng)方形在對(duì)角線(xiàn)附近發(fā)生了微小的重疊，正是沿對(duì)角線(xiàn)的

37、微小重疊導(dǎo)致了一個(gè)單位面積的丟失。要證實(shí)這一點(diǎn)我們只要計(jì)算一下長(zhǎng)方形對(duì)角線(xiàn)的斜率和正方形拼接各片相應(yīng)邊的斜率，比較一下就會(huì)清楚了。問(wèn)題2中涉及到四個(gè)數(shù)據(jù)5、8、13和21，有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同學(xué)會(huì)認(rèn)出這是著名的斐波那契數(shù)列中的四項(xiàng)，斐波那契數(shù)列的特征是它的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，。我們還可以使用這個(gè)數(shù)列中的其他相鄰四項(xiàng)來(lái)試驗(yàn)這個(gè)過(guò)程，無(wú)論選取哪四項(xiàng)，都可以發(fā)現(xiàn)正方形和長(zhǎng)方形的面積是不會(huì)相等的，有時(shí)正方形的面積比長(zhǎng)方形多一個(gè)單位面積，有時(shí)則正好相反。多做幾次上述實(shí)驗(yàn)，我們就會(huì)得出斐波那契數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)：這個(gè)數(shù)列任意一項(xiàng)的平方等于它前后相鄰兩項(xiàng)之積加1或減

38、1。用公式表示就是：。其中表示正方形的面積，表示長(zhǎng)方形的面積。知道了這個(gè)事實(shí)，我們就可以自己構(gòu)造類(lèi)似于問(wèn)題2的幾何趣題。上面的這個(gè)斐波那契數(shù)列是以1，1兩數(shù)開(kāi)始的，廣義的斐波那契數(shù)列可以從任意兩數(shù)開(kāi)始。比如說(shuō)，用廣義斐波那契數(shù)列2，2，4，6，10，16，做上述試驗(yàn)，就會(huì)多得或丟失四個(gè)單位的面積。如果用a、b、c表示廣義斐波那契數(shù)列的相鄰三項(xiàng)，以x表示“得”或“失”的數(shù)字，則下列兩式成立： 。我們還可以來(lái)研究這樣一個(gè)有趣的問(wèn)題：把正方形按上述方法剪成四塊，是否會(huì)拼接成一個(gè)與它面積相等的長(zhǎng)方形？要回答這個(gè)問(wèn)題，可以令方程組中的x等于零，再解之得唯一正解是：。其中恰是著名的黃金分割比，通常用 來(lái)表

39、示，它是一個(gè)無(wú)理數(shù)，等于1.618033。這就是說(shuō)，唯一的每項(xiàng)平方等于前后相鄰兩項(xiàng)之積的斐波那契數(shù)列是：1，。要證明它的確是斐波那契數(shù)列，只要證明它等價(jià)于數(shù)列1，+1，2+1，3+2，就可以了。只有用這個(gè)數(shù)列相鄰項(xiàng)數(shù)表示的長(zhǎng)度來(lái)分割正方形，才可以拼出面積不變的長(zhǎng)方形。我們?cè)倩氐絾?wèn)題1，題中涉及到的數(shù)據(jù)1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契數(shù)列的前七項(xiàng)，因此問(wèn)題1實(shí)際上是問(wèn)題2的一個(gè)復(fù)雜化版本，計(jì)算一下圖中兩個(gè)大小三角形斜邊的斜率，那么一開(kāi)始的疑問(wèn)已不講自明。 最后再給喜歡思考的同學(xué)提出一個(gè)與前兩個(gè)問(wèn)題略有不同的問(wèn)題 3，圖5這個(gè)正方形按圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)分割成了五塊幾何圖形，剪開(kāi)后重新拼接成圖6

40、，奇怪，又多出了一個(gè)洞！這次斜線(xiàn)處并無(wú)疊合，少掉的一個(gè)單位面積哪里去了呢？這個(gè)問(wèn)題最初是由美國(guó)魔術(shù)師保羅卡瑞提出的，雖然它曾經(jīng)難倒了許多美國(guó)人，但相信它難不倒聰明的中國(guó)學(xué)生。為幫助大家思考，提示一下：不要忘了計(jì)算！最后送給大家一句華羅庚教授的話(huà)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微”。第九節(jié) 抽屜原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 “任意367個(gè)人中，必有生日相同的人?！薄皬娜我?雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套?！薄皬臄?shù)1，2，10中任取6個(gè)數(shù)，其中至少有2個(gè)數(shù)為奇偶性不同?！贝蠹叶紩?huì)認(rèn)為上面所述結(jié)論是正確的。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢？這個(gè)原理叫做抽屜原理。抽屜原理又稱(chēng)鴿籠原理或狄利克雷原理，它是

41、數(shù)學(xué)中證明存在性的一種特殊方法。它的內(nèi)容可以用形象的語(yǔ)言表述為：“把m個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜里（mn），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)東西?！迸e個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，把3個(gè)蘋(píng)果按任意的方式放入兩個(gè)抽屜中，那么一定有一個(gè)抽屜里放有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋(píng)果。這是因?yàn)槿绻恳粋€(gè)抽屜里最多放有一個(gè)蘋(píng)果，那么兩個(gè)抽屜里最多只放有兩個(gè)蘋(píng)果。運(yùn)用同樣的推理可以得到：原理1 把多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或2個(gè)以上的物體。原理2 把多于mn個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有m+1個(gè)或多于m+l個(gè)的物體。下面我們用抽屜原理來(lái)分析前面的例子：第一個(gè)結(jié)論中，由于一年最多有366天，

42、因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當(dāng)于把367個(gè)東西放入366個(gè)抽屜，至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。在第二個(gè)結(jié)論中，不妨想象將5雙手套分別編號(hào)，即號(hào)碼為1，2，5的手套各有兩只，同號(hào)的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號(hào)至多有5種，因此其中至少有兩只的號(hào)碼相同。這相當(dāng)于把6個(gè)東西放入5個(gè)抽屜，至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。例：利用上述原理證明：“任意7個(gè)整數(shù)中，至少有3個(gè)數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)?！狈治觯阂?yàn)槿我徽麛?shù)除以3時(shí)余數(shù)只有0、1、2三種可能，所以7個(gè)整數(shù)中至少有3個(gè)數(shù)除以3所得余數(shù)相同，即它們兩兩之差是3的倍數(shù)。如果問(wèn)題所討論的對(duì)象有無(wú)限多個(gè)，抽屜原理還有另一種表述：“把無(wú)限多

43、個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜（n是自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了無(wú)限多個(gè)東西。”抽屜原理的內(nèi)容簡(jiǎn)明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來(lái)解決。一、抽屜原理和六人集會(huì)問(wèn)題1958年6/7月號(hào)的美國(guó)數(shù)學(xué)月刊上有這樣一道題目：“證明在任意6個(gè)人的集會(huì)上，或者有3個(gè)人以前彼此相識(shí)，或者有三個(gè)人以前彼此不相識(shí)?！边@個(gè)問(wèn)題可以用如下方法簡(jiǎn)單明了地證出：在平面上用6個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、F分別代表參加集會(huì)的任意6個(gè)人。如果兩人以前彼此認(rèn)識(shí)，那么就在代表他們的兩點(diǎn)間連成一條紅線(xiàn)；否則連一條藍(lán)線(xiàn)。考慮A點(diǎn)與其余各點(diǎn)間的5條連線(xiàn)AB，AC，.，AF，它們的顏色不超過(guò)2種。

44、根據(jù)抽屜原理可知其中至少有3條連線(xiàn)同色，不妨設(shè)AB，AC，AD同為紅色。如果BC，BD，CD3條連線(xiàn)中有一條（不妨設(shè)為BC）也為紅色，那么三角形ABC即一個(gè)紅色三角形，A、B、C代表的3個(gè)人以前彼此相識(shí)：如果BC、BD、CD3條連線(xiàn)全為藍(lán)色，那么三角形BCD即一個(gè)藍(lán)色三角形，B、C、D代表的3個(gè)人以前彼此不相識(shí)。不論哪種情形發(fā)生，都符合問(wèn)題的結(jié)論。圖1六人集會(huì)問(wèn)題是組合數(shù)學(xué)中著名的拉姆塞定理的一個(gè)最簡(jiǎn)單的特例，這個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的證明思想可用來(lái)得出另外一些深入的結(jié)論。這些結(jié)論構(gòu)成了組合數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容-拉姆塞理論。從六人集會(huì)問(wèn)題的證明中，我們又一次看到了抽屜原理的應(yīng)用。二、抽屜原理與“電腦算命”“電

45、腦算命”看起來(lái)挺玄乎，只要你報(bào)出自己出生的年、月、日和性別，一按按鍵，屏幕上就會(huì)出現(xiàn)所謂性格、命運(yùn)的句子，據(jù)說(shuō)這就是你的“命”。其實(shí)這充其量不過(guò)是一種電腦游戲而已。我們用數(shù)學(xué)上的抽屜原理很容易說(shuō)明它的荒謬。如果以70年計(jì)算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數(shù)應(yīng)為70365251100，我們把它作為“抽屜”數(shù)。我國(guó)現(xiàn)有人口11億，我們把它作為“物體”數(shù)。由于1.1=2152651100+21400，根據(jù)原理2，存在21526個(gè)以上的人，盡管他們的出身、經(jīng)歷、天資、機(jī)遇各不相同，但他們卻具有完全相同的“命”，這真是荒謬絕倫！在我國(guó)古代，早就有人懂得用抽屜原理來(lái)揭露生辰八字之謬。如清代陳其元在庸閑

46、齋筆記中就寫(xiě)道：“余最不信星命推步之說(shuō)，以為一時(shí)（注：指一個(gè)時(shí)辰，合兩小時(shí)）生一人，一日生十二人，以歲計(jì)之則有四千三百二十人，以一甲子（注：指六十年）計(jì)之，止有二十五萬(wàn)九千二百人而已，今只以一大郡計(jì)，其戶(hù)口之?dāng)?shù)已不下數(shù)十萬(wàn)人（如咸豐十年杭州府一城八十萬(wàn)人），則舉天下之大，自王公大人以至小民，何啻億萬(wàn)萬(wàn)人，則生時(shí)同者必不少矣。其間王公大人始生之時(shí)，必有庶民同時(shí)而生者，又何貴賤貧富之不同也？”在這里，一年按360日計(jì)算，一日又分為十二個(gè)時(shí)辰，得到的抽屜數(shù)為6036012259200。所謂“電腦算命”，不過(guò)是把人為編好的算命語(yǔ)句象中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里，誰(shuí)要算命，即根據(jù)出生的年月、

47、日、性別的不同的組合按不同的編碼機(jī)械地到電腦的各個(gè)“柜子”里取出所謂命運(yùn)的句子。這種在古代迷信的亡靈上罩上現(xiàn)代科學(xué)光環(huán)的勾當(dāng)，是對(duì)科學(xué)的褻瀆。第十節(jié) 帕斯卡（楊輝）三角形與道路問(wèn)題蘇珊很為難，她步行去學(xué)校，路上老是遇到斯廷基。斯廷基：“嘿嘿，蘇珊，我可以陪你一起走嗎？”蘇珊：“不！請(qǐng)走開(kāi)。”蘇珊心想：我有辦法了，每天早上我走不同的路線(xiàn)去學(xué)校，這樣斯廷基就不知道在哪兒找到我了。下面這張地圖表示蘇珊的住所和學(xué)校之間的所有街道，蘇珊去學(xué)校時(shí)，走路的方向總是朝南或朝東，她總共有多少條路線(xiàn)呢?蘇珊：“我真想知道有多少條路線(xiàn)可走，讓我想一想，要算出多少條路線(xiàn)看來(lái)并不簡(jiǎn)單。嗯，啊哈！一點(diǎn)不難，簡(jiǎn)單得很！”蘇

48、珊想到了什么好主意呢？她的推理如下：蘇珊：“在我家這個(gè)角點(diǎn)上寫(xiě)一個(gè)1，因?yàn)槲抑荒軓倪@一點(diǎn)出發(fā)，然后在與此相隔一個(gè)街區(qū)的兩個(gè)角點(diǎn)上各寫(xiě)一個(gè)1，因?yàn)榈侥抢镏挥幸粭l途徑?，F(xiàn)在，我在這個(gè)角點(diǎn)上寫(xiě)上2，因?yàn)榈竭_(dá)那里可以有兩條途徑。蘇珊發(fā)現(xiàn)2是1加1之和，她忽然領(lǐng)悟：若到某一個(gè)僅有一條途徑，則該角點(diǎn)上的數(shù)字為前一個(gè)角點(diǎn)上的數(shù)字；若有兩條途徑，則為前兩個(gè)角點(diǎn)上的數(shù)字之和。蘇珊：“瞧，又有四個(gè)角點(diǎn)標(biāo)上了數(shù)字，我馬上把其他角點(diǎn)也標(biāo)上數(shù)字。”請(qǐng)你替蘇珊把剩下的角點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字，并且告訴她步行到學(xué)校共有多少條不同的路線(xiàn)。蘇珊的家H1112131 1？ ？3？學(xué)校G剩下的5個(gè)點(diǎn)，自上而下，從左至右分別標(biāo)以1，4，10，5

49、，15。最后一點(diǎn)上的15表示蘇珊去學(xué)校共有十五條最短路徑。蘇珊所發(fā)現(xiàn)的是一種快速而簡(jiǎn)單的算法，用來(lái)計(jì)算從她家到學(xué)校的最短路徑共有多少條。要是她把這些路徑一條一條地畫(huà)出來(lái)，然后再計(jì)數(shù)，這樣肯定麻煩，還容易出錯(cuò)。如果街道的數(shù)目很多，那么這種方法根本就行不通。你不妨把這十五條路線(xiàn)都畫(huà)出來(lái)，這樣你就更能體會(huì)到蘇珊的算法是多么地有效了。你對(duì)這種算法是否已經(jīng)理解，可以再畫(huà)一些不同的街道網(wǎng)絡(luò)，然后用這種算法來(lái)確定從任意點(diǎn)A到另一任意點(diǎn)B的最短路線(xiàn)共有多少條。網(wǎng)絡(luò)可以是矩形網(wǎng)格，三角形網(wǎng)格，平行四邊形網(wǎng)格和蜂窩狀的正六邊形網(wǎng)格。也可以用其他方法(例如組合公式)求解，但這種方法十分復(fù)雜，需要很高的技巧。在國(guó)際象

50、棋棋盤(pán)上，“車(chē)”從棋盤(pán)的一角到對(duì)角線(xiàn)上另一角的最短路徑共有多少條？就像蘇珊給街道交點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字一樣，把棋盤(pán)上所有格子也都填上數(shù)字，于是問(wèn)題就迎刃而解了?！败?chē)”只能沿著右上方向朝另一個(gè)角的目標(biāo)移動(dòng)，便可以求出共有多少條最短路徑。如圖所示：183612033079217163432172884210462924171616215612625246279215153570126210330141020355684120136101521283612345678車(chē)1111111把整個(gè)棋盤(pán)正確標(biāo)號(hào)，根據(jù)所標(biāo)的數(shù)字，一眼就能看出在棋盤(pán)上從一個(gè)角出發(fā)到任意一角，有多少條最短路線(xiàn).右上角的數(shù)字是3432，所以“

51、車(chē)”從一角到對(duì)角線(xiàn)的另一角的最短路徑共有3432條。讓我們把棋盤(pán)沿著左上至右下的對(duì)角線(xiàn)一截為二，使其成為如下圖所示的陣列。此三角形上的數(shù)字與著名的帕斯卡三角形(我國(guó)叫做楊輝三角形)的數(shù)字是相同的，當(dāng)然，計(jì)算街道路徑條數(shù)的算法，恰恰就是構(gòu)造帕斯卡三角形所依據(jù)的過(guò)程。這種同構(gòu)現(xiàn)象使得帕斯卡三角形成為無(wú)數(shù)有趣特性的不竭的源泉。111121133114641利用帕斯卡三角形立即可以求出二項(xiàng)式展開(kāi)的系數(shù)，即求(a+b)的任意次冪，同樣也可以用來(lái)解出初等概率論中的許多問(wèn)題。請(qǐng)注意，上圖中自頂部至底部，從邊沿一格來(lái)說(shuō)是1，隨著向中間移動(dòng)，數(shù)字逐漸增加。也許你見(jiàn)過(guò)根據(jù)怕斯卡三角形所制成的一種裝置：在一快傾斜的

52、板上，成百個(gè)小球滾過(guò)木釘進(jìn)入各格的底部。全部小球呈現(xiàn)出一條鐘形的二項(xiàng)式分布曲線(xiàn)，因?yàn)榈竭_(dá)每個(gè)底部孔位的最短路徑的條數(shù)就是二項(xiàng)式展開(kāi)的系數(shù)。顯然，蘇珊的算法同樣適用于由矩陣格子組成的三維結(jié)構(gòu)。設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為3的立方體，分成27個(gè)立方體單元，把它看成棋盤(pán)，處于某一個(gè)角格上的“車(chē)”可以向三個(gè)坐標(biāo)上的任何位置作直線(xiàn)移動(dòng)，試問(wèn)“車(chē)”到空間對(duì)角線(xiàn)的另一個(gè)角格有多少條最短路徑？第十一節(jié) 數(shù) 獨(dú)數(shù)獨(dú)是一種源自18世紀(jì)末的瑞士，后在美國(guó)發(fā)展、并在日本得以發(fā)揚(yáng)光大的數(shù)學(xué)智力拼圖游戲。拼圖是九宮格（即3格寬3格高）的正方形狀，每一格又細(xì)分為一個(gè)九宮格。在每一個(gè)小九宮格中，分別填上1至9的數(shù)字，讓整個(gè)大九宮格每一列、

53、每一行的數(shù)字都不重復(fù)。數(shù)獨(dú)的基礎(chǔ)是數(shù)字魔方，它的解也一定是數(shù)字魔方。制作一個(gè)數(shù)獨(dú)，便是使用一個(gè)一般的數(shù)字魔方，蓋住部分?jǐn)?shù)字，成為一個(gè)擁有唯一解的數(shù)獨(dú)。 數(shù)獨(dú)前身為“九宮格”，最早起源于中國(guó)。數(shù)千年前，我們的祖先就發(fā)明了洛書(shū)，其特點(diǎn)較之現(xiàn)在的數(shù)獨(dú)更為復(fù)雜，要求縱向、橫向、斜向上的三個(gè)數(shù)字之和等于15，而非簡(jiǎn)單的九個(gè)數(shù)字不能重復(fù)。中國(guó)古籍易經(jīng)中的“九宮圖”也源于此，故稱(chēng)“洛書(shū)九宮圖”。而“九宮”之名也因易經(jīng)在中華文化發(fā)展史上的重要地位而保存、沿用至今。 現(xiàn)在已有多種手機(jī)裝有數(shù)獨(dú)游戲。 1783年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德歐拉發(fā)明了一種當(dāng)時(shí)稱(chēng)作“拉丁方塊”（Latin Square）的游戲，這個(gè)游戲是一個(gè)

54、nn的數(shù)字方陣，每一行和每一列都是由不重復(fù)的n個(gè)數(shù)字或者字母組成的。 19世紀(jì)70年代，美國(guó)的一家數(shù)學(xué)邏輯游戲雜志戴爾鉛筆字謎和詞語(yǔ)游戲（Dell Puzzle Mgzines）開(kāi)始刊登現(xiàn)在稱(chēng)為“數(shù)獨(dú)”的這種游戲，當(dāng)時(shí)人們稱(chēng)之為“數(shù)字拼圖”（Number Place），在這個(gè)時(shí)候，99的81格數(shù)字游戲才開(kāi)始成型。 填充完整后1984年4月，在日本游戲雜志字謎通訊Nikoil（通信）上出現(xiàn)了“數(shù)獨(dú)”游戲，提出了“獨(dú)立的數(shù)字”的概念，意思就是“這個(gè)數(shù)字只能出現(xiàn)一次”或者“這個(gè)數(shù)字必須是唯一的”，并將這個(gè)游戲命名為“數(shù)獨(dú)”（sudoku）。 一位前任香港高等法院的新西蘭籍法官高樂(lè)德（Wayne Go

55、uld）在1997年3月到日本東京旅游時(shí)，無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了。他首先在英國(guó)的泰晤士報(bào)上發(fā)表，不久其他報(bào)紙也發(fā)表，很快便風(fēng)靡全英國(guó)，之后他用了6 年時(shí)間編寫(xiě)了電腦程式，并將它放在網(wǎng)站上，使這個(gè)游戲很快在全世界流行。從此，這個(gè)游戲開(kāi)始風(fēng)靡全球。后來(lái)更因數(shù)獨(dú)的流行衍生了許多類(lèi)似的數(shù)學(xué)智力拼圖游戲，例如：數(shù)和、殺手?jǐn)?shù)獨(dú)。 中國(guó)大陸是在2007年2月28日正式引入數(shù)獨(dú). 2007年2月28日，北京晚報(bào)智力休閑數(shù)獨(dú)俱樂(lè)部(數(shù)獨(dú)聯(lián)盟sudokufederation前身)在新聞大廈舉行加入世界謎題聯(lián)合會(huì)的頒證儀式，會(huì)上謎題聯(lián)合會(huì)秘書(shū)長(zhǎng)皮特-里米斯特和俱樂(lè)部會(huì)長(zhǎng)在證書(shū)上簽字，這標(biāo)志著北京晚報(bào)智力休閑俱樂(lè)部成為世界謎題聯(lián)合會(huì)的39個(gè)成員之一，這也標(biāo)志著俱樂(lè)部走向國(guó)際舞臺(tái)，它將給數(shù)獨(dú)愛(ài)好者帶來(lái)更多與世界數(shù)獨(dú)愛(ài)好者們交流的機(jī)會(huì)。 元素構(gòu)成 數(shù)獨(dú)基本元素示意圖單元格：數(shù)獨(dú)中最小的單元，標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)中共有81個(gè)； 行：橫向9個(gè)單元格的集合； 列：縱向9個(gè)單元格的集合； 宮：粗黑線(xiàn)劃分的區(qū)域，標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)中為33的9個(gè)單元格的集合； 已知數(shù)：數(shù)獨(dú)初始盤(pán)面給出的數(shù)字； 候選數(shù)：每個(gè)空單元格中可以填入的數(shù)字。 規(guī)則