《高中數(shù)學(xué) 3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念課件 新人教A版選修12 .ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念課件 新人教A版選修12 .ppt（53頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3 1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念3 1 1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 1 復(fù)數(shù) 1 表示方法 復(fù)數(shù)通常用z表示 即z 2 代數(shù)式中各字母的名稱 a bi a b R 實部 虛部 虛數(shù)單位 3 復(fù)數(shù)z a bi的分類及滿足條件 b 0 復(fù)數(shù)a bi a b R 純虛數(shù)a 0 b 0 b 0非純虛數(shù)a 0 b 0 實數(shù) 虛數(shù) 2 復(fù)數(shù)的相等a bi c di a b c d R 3 復(fù)數(shù)集 1 定義 由 所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集 2 表示 通常用大寫字母 表示 3 關(guān)系 用圖形表示N Z Q R間的關(guān)系 a c且b d 全體復(fù)數(shù) C R Q Z N 1 判一判 正確的打 錯誤的打

2、 1 若a b為實數(shù) 則z a bi為虛數(shù) 2 若a為實數(shù) 則z a一定不是虛數(shù) 3 bi是純虛數(shù) 4 如果兩個復(fù)數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0 那么這兩個復(fù)數(shù)相等 解析 1 錯誤 若b 0 則z a bi為實數(shù) 2 正確 因為a為實數(shù) 所以z a中沒有虛部 一定不是虛數(shù) 它是實數(shù) 3 錯誤 若b i 則bi i2 1 故bi不一定是純虛數(shù) 4 正確 由復(fù)數(shù)相等的概念可得 答案 1 2 3 4 2 做一做 請把正確的答案寫在橫線上 1 若a bi 0 則實數(shù)a 實數(shù)b 2 1 i的實部與虛部分別是 3 若復(fù)數(shù) a 1 a2 1 i a R 是實數(shù) 則a 解析 1 由復(fù)數(shù)相等的概念得a 0 b

3、0 答案 00 2 1 i可看作0 1 i a bi 所以實部a 0 虛部b 1 答案 0 1 3 a 1 a2 1 i a R 為實數(shù)的充要條件是a2 1 0 所以a 1 答案 1 要點探究 知識點1數(shù)系的擴(kuò)充與分類1 數(shù)系擴(kuò)充的脈絡(luò)自然數(shù)系 整數(shù)系 有理數(shù)系 實數(shù)系 復(fù)數(shù)系 2 虛數(shù)單位i性質(zhì)的兩個關(guān)注點 1 i2 1的理解 并沒有規(guī)定還是或在今后的學(xué)習(xí)中 我們將知道但不能說 2 i與實數(shù)之間可以進(jìn)行四則運(yùn)算 這條性質(zhì)是數(shù)系擴(kuò)充的原則之一 這里只提到加 乘運(yùn)算 沒提到減 除運(yùn)算 并不是對減法與除法不成立 而是為了后面講復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算時 只對加法乘法法則作出規(guī)定 而把減法 除法作為加法 乘法

4、的逆運(yùn)算的做法相一致 3 實部與虛部的要求 若z a bi 只有當(dāng)a b R時 a才是z的實部 b才是z的虛部 知識拓展 數(shù)系擴(kuò)充的原則數(shù)系擴(kuò)充時 一般要遵循以下原則 1 增添新元素 新舊元素在一起構(gòu)成新數(shù)集 2 在新數(shù)集里 定義一些基本關(guān)系和運(yùn)算 使原有的一些主要性質(zhì) 如運(yùn)算定律 依然適用 3 舊元素作為新數(shù)集里的元素 原有的運(yùn)算關(guān)系保持不變 4 新的數(shù)集能夠解決舊的數(shù)集不能解決的矛盾 微思考 1 復(fù)數(shù)m ni的實部是m 虛部是n嗎 提示 不一定 只有當(dāng)m n R時 m才是實部 n才是虛部 2 i可以除以任何實數(shù)嗎 提示 不可以 i既然與實數(shù)之間建立了四則運(yùn)算關(guān)系 運(yùn)算與實數(shù)一致 由于在實數(shù)

5、運(yùn)算中0不能作除數(shù) 故i不可以除以任何實數(shù) 即時練 完成下列表格 分類欄填實數(shù) 虛數(shù)或純虛數(shù) 解析 知識點2復(fù)數(shù)的相等對復(fù)數(shù)相等的兩點說明 1 兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件的理解若z1 a bi z2 c di a b c d R 則z1 z2 a c且b d 利用這一結(jié)論 可以把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題進(jìn)行解決 并且一個復(fù)數(shù)等式可以轉(zhuǎn)化為兩個實數(shù)等式 通過解方程組得到解決 2 不能比較大小 一般對兩個虛數(shù)只能說相等或不相等 不能比較大小 由于i2 0與實數(shù)集中a2 0 a R 矛盾 所以實數(shù)集中很多結(jié)論在復(fù)數(shù)集中不再成立 微思考 1 z1 z2是復(fù)數(shù) z1 z2 0 那么z1 z2 這個命題是真命題

6、嗎 提示 假命題 例如 z1 1 i z2 2 i z1 z2 3 0 但z1 z2無意義 因為虛數(shù)不能比較大小 2 若z1 z2 R 則z1 z2 0 此命題對z1 z2 C還成立嗎 提示 不一定成立 比如z1 1 z2 i滿足但z1 0 z2 0 3 兩個復(fù)數(shù)一定不能比較大小對嗎 提示 不一定 當(dāng)兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)時 可以比較大小 兩個虛數(shù) 或一個虛數(shù)與一個實數(shù)不能比較大小 即兩個復(fù)數(shù)除去都是實數(shù)外 沒有大小關(guān)系 即時練 如果 x y i x 1 則實數(shù)x y的值分別為 A x 1 y 1B x 0 y 1C x 1 y 0D x 0 y 0 解析 選A 由已知得所以x 1 y 1 題型示范

7、 類型一復(fù)數(shù)的概念 典例1 1 給出下列三個命題 若z C 則z2 0 2i 1虛部是2i 2i的實部是0 其中真命題的個數(shù)為 A 0B 1C 2D 3 2 2014 啟東高二檢測 已知復(fù)數(shù)z a2 2 b i的實部和虛部分別是2和3 則實數(shù)a b的值分別是 3 判斷下列命題的真假 若x y C 則x yi 1 2i的充要條件是x 1 y 2 若實數(shù)a與ai對應(yīng) 則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng) 實數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集 解題探究 1 題 1 中虛數(shù)的平方是否大于等于0 代數(shù)式中的虛部是否一定為實數(shù) 2 題 2 中復(fù)數(shù)z a2 2 b i實部與虛部分別是什么 3 題 3 中實數(shù)能否比較大小 中數(shù)x y是

8、否一定為實數(shù) 探究提示 1 虛數(shù)的平方不一定大于等于0 實數(shù)的平方一定大于等于0 代數(shù)式中的虛部一定為實數(shù) 2 實部為a2 虛部為 2 b 3 實數(shù)能夠進(jìn)行大小比較 數(shù)x y不一定為實數(shù)也可能是虛數(shù) 自主解答 1 選B 對于 當(dāng)z R時 z2 0成立 否則不成立 如z i z2 1 0 所以 為假命題 對于 2i 1 1 2i 其虛部為2 不是2i 所以 為假命題 對于 2i 0 2i 其實部是0 所以 為真命題 2 由題意得 a2 2 2 b 3 所以a b 5 答案 5 3 由于x y都是復(fù)數(shù) 故x yi不一定是代數(shù)形式 因此不符合兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件 故 是假命題 當(dāng)a 0時 ai 0

9、為實數(shù) 故 為假命題 由復(fù)數(shù)集的分類知 正確 是真命題 方法技巧 判斷與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法 1 舉反例 判斷一個命題為假命題 只要舉一個反例即可 所以解答這類型題時 可按照 先特殊 后一般 先否定 后肯定 的方法進(jìn)行解答 2 化代數(shù)式 對于復(fù)數(shù)實部 虛部的確定 不但要把復(fù)數(shù)化為a bi的形式 更要注意這里a b均為實數(shù)時 才能確定復(fù)數(shù)的實 虛部 變式訓(xùn)練 下列命題中 1 i2 0 若a b R 且a b 則a i b i 若x2 y2 0 則x y 0 兩個虛數(shù)不能比較大小 其中 正確命題的個數(shù)是 A 1B 2C 3D 4 解析 選B 對于 因為i2 1 所以1 i2 0 故 正確

10、對于 兩個虛數(shù)不能比較大小 故 錯 對于 當(dāng)x 1 y i時x2 y2 0成立 故 錯 正確 誤區(qū)警示 復(fù)數(shù)概念易錯點 1 注意虛部不是bi 而是b 還要特別注意 要保證實部 虛部有意義 2 形如bi的數(shù)不一定是純虛數(shù) 只有限定條件b R且b 0時 形如bi的數(shù)才是純虛數(shù) 3 不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆 實數(shù)也是復(fù)數(shù) 實數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分 補(bǔ)償訓(xùn)練 若復(fù)數(shù)z 3 bi 0 b R 則 A b 0B b 0C b0 則說明z 3 bi為實數(shù) 故b 0 類型二復(fù)數(shù)的分類 典例2 1 復(fù)數(shù)z a2 b2 a a i a b R 為純虛數(shù)的充要條件是 A a b B a0且a bD a 0且

11、a b 2 實數(shù)m取什么值時 復(fù)數(shù) m2 3m 2 m2 4 i是 實數(shù) 虛數(shù) 純虛數(shù) 解題探究 1 題 1 中復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)滿足的條件是什么 2 復(fù)數(shù)z a bi a b R a b為什么時z為實數(shù) a b為什么時z為虛數(shù) a b為什么時z為純虛數(shù) 探究提示 1 2 b 0時z為實數(shù) b 0時z為虛數(shù) a 0 b 0時z為純虛數(shù) 自主解答 1 選D a2 b2 0 且a a 0 故得a 0且a b 2 設(shè)z m2 3m 2 m2 4 i 要使z為實數(shù) 必須有m2 4 0 得m 2或m 2 即m 2或m 2時 z為實數(shù) 要使z為虛數(shù) 必有m2 4 0 即m 2且m 2 故m 2且m 2時 z為

12、虛數(shù) 要使z為純虛數(shù) 必有所以所以m 1 故m 1時 z為純虛數(shù) 延伸探究 把題 1 中的 純虛數(shù) 改為 實數(shù) 則結(jié)果如何 解析 復(fù)數(shù)z為實數(shù)的充要條件是a a 0 而 a a 所以a 0 方法技巧 1 解決復(fù)數(shù)分類問題的方法與步驟 1 化標(biāo)準(zhǔn)式 解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a bi a b R 的形式 以確定實部和虛部 2 定條件 復(fù)數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題 只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式 列出實部和虛部滿足的方程 不等式 組即可 3 下結(jié)論 設(shè)所給復(fù)數(shù)為z a bi a b R z為實數(shù) b 0 z為虛數(shù) b 0 z為純虛數(shù) a 0且b 0 2 復(fù)數(shù)分類的應(yīng)用 1 參

13、數(shù)自身 判斷一個含有參數(shù)的復(fù)數(shù)在什么情況下是實數(shù) 虛數(shù) 純虛數(shù) 首先要保證參數(shù)值使表達(dá)式有意義 其次對參數(shù)值的取舍 是取 并 還是 交 非常關(guān)鍵 解答后進(jìn)行驗算是很必要的 2 整體與局部 對于復(fù)數(shù)z a bi a b R 既要從整體的角度去認(rèn)識它 把復(fù)數(shù)z看成一個整體 又要從實部與虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識它 這是解復(fù)數(shù)問題的重要思路之一 變式訓(xùn)練 m取何實數(shù)時 復(fù)數(shù) 1 是實數(shù) 2 是虛數(shù) 3 是純虛數(shù) 解析 1 因為z為實數(shù) 所以所以所以m 5 所以當(dāng)m 5時 z是實數(shù) 2 因為z為虛數(shù) 所以所以所以m 5且m 3 所以當(dāng)m 5且m 3時 z是虛數(shù) 3 因為z為純虛數(shù) 所以所以所以m 3

14、或m 2 所以當(dāng)m 3或m 2時 z是純虛數(shù) 誤區(qū)警示 形如a bi的復(fù)數(shù) 一定要注意 只有當(dāng)a b是有定義的實數(shù)時才能充當(dāng)復(fù)數(shù)的實部 虛部 在這個前提下 研究復(fù)數(shù)的分類才不易出錯 補(bǔ)償訓(xùn)練 實數(shù)a取什么值時 復(fù)數(shù)z a 1 a 1 i是 1 實數(shù) 2 虛數(shù) 3 純虛數(shù) 解析 1 當(dāng)a 1 0 即a 1時 復(fù)數(shù)z是實數(shù) 2 當(dāng)a 1 0 即a 1時 復(fù)數(shù)z是虛數(shù) 3 當(dāng)即a 1時 復(fù)數(shù)z是純虛數(shù) 類型三復(fù)數(shù)的相等 典例3 1 已知x y均是實數(shù) 且滿足 2x 1 i y 3 y i 則x y 2 已知M a 3 b2 1 i 8 集合N 3i a2 1 b 2 i 同時滿足M NM M N 求

15、整數(shù)a b 解題探究 1 復(fù)數(shù) 2x 1 i的實部與虛部分別是多少 復(fù)數(shù) y 3 y i的實部與虛部分別是多少 2 由條件M NM M N 能得到的結(jié)論是什么 探究提示 1 復(fù)數(shù) 2x 1 i的實部為2x 1 虛部為1 復(fù)數(shù) y 3 y i的實部為 y 虛部為 3 y 2 由M NM知兩個集合M N不能相等 由M N 能得到兩個集合M N中有公共元素 自主解答 1 由復(fù)數(shù)相等的充要條件得答案 2 由條件M NM M N 得 a 3 b2 1 i 3i 或8 a2 1 b 2 i 或 a 3 b2 1 i a2 1 b 2 i 由 得a 3 b 2 當(dāng)a 3 b 2時 M 3i 8 N 3i 8

16、 4i 滿足題意 經(jīng)檢驗 a 3 b 2不合題意 舍去 由 得b 2 a 3或b 2 a 3當(dāng)b 2 a 3時M 3i 8 N 3i 8 不合題意 舍去 當(dāng)b 2 a 3時 M 6 3i 8 N 3i 8 滿足題意 由 得得a b不是整數(shù)舍去 故a 3 b 2或a 3 b 2 方法技巧 化復(fù)為實轉(zhuǎn)化求解應(yīng)用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件時 首先要把 左右兩側(cè)的復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式 即分離實部與虛部 然后確定兩個獨(dú)立參數(shù)列出方程 化復(fù)數(shù)問題為實數(shù)問題得以解決 變式訓(xùn)練 已知關(guān)于x的方程x2 1 2i x 3m i 0有實根 求實數(shù)m的值 解析 設(shè)x a為方程的一個實數(shù)根 則有a2 1 2i a 3m i 0

17、 即 a2 a 3m 2a 1 i 0 因為a m R 由復(fù)數(shù)相等的充要條件故實數(shù)m的值為 補(bǔ)償訓(xùn)練 已知P 1 1 4i M 1 m2 2m m2 m 2 i 若M P P 求實數(shù)m的值 解析 因為M P P 所以M P 即 m2 2m m2 m 2 i 1或 m2 2m m2 m 2 i 4i 由 m2 2m m2 m 2 i 1得m2 2m 1 m2 m 2 0 解得m 1 由 m2 2m m2 m 2 i 4i得m2 2m 0 m2 m 2 4 解得m 2 綜上可知 m 1或m 2 拓展類型 含有虛數(shù)單位i的不等式 備選例題 若z1 m2 m2 3m i z2 m2 4m 3 i 10

18、 m R z1 z2 求實數(shù)m的值 解析 因為z1 z2 所以z1 z2均為實數(shù) 所以解得m 3 又z1 m2 9 z2 故m 3 符合題意 所以m 3 方法技巧 隱含條件的應(yīng)用兩個虛數(shù)不能比較大小 若兩個復(fù)數(shù)能夠比較大小 則這兩個復(fù)數(shù)一定為實數(shù) 即復(fù)數(shù)的虛部為0 易錯誤區(qū) 明晰復(fù)數(shù)概念 正確判斷命題 典例 在下列命題中 正確命題的個數(shù)是 1 兩個復(fù)數(shù)不能比較大小 2 若z1和z2都是虛數(shù) 且它們的虛部相等 則z1 z2 3 若a b是兩個相等的實數(shù) 則 a b a b i必為純虛數(shù) A 0B 1C 2D 3 解析 選A 兩個復(fù)數(shù) 當(dāng)它們都是實數(shù)時 是可以比較大小的 故 1 是錯誤的 設(shè)z1

19、a bi a b R b 0 z2 c di c d R 且d 0 因為b d 所以z2 c bi 當(dāng)a c時 z1 z2 當(dāng)a c時 z1 z2 故 2 是錯誤的 3 當(dāng)a b 0時 a b a b i是純虛數(shù) 當(dāng)a b 0 時 a b a b i 0是實數(shù) 故 3 錯誤 因此選A 常見誤區(qū) 防范措施 1 明確關(guān)系 解決與復(fù)數(shù)相關(guān)的問題時 要明確復(fù)數(shù)與實數(shù)間的從屬關(guān)系 如本例 1 是區(qū)分復(fù)數(shù)是哪一類數(shù) 2 分清概念 虛數(shù)與純虛數(shù)概念混淆 事實上純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集 在代數(shù)形式上 純虛數(shù)為bi b R且b 0 虛數(shù)為a bi a b R 且b 0 類題試解 下面幾個命題正確的個數(shù)為 0比 i大 若a R 則 a 1 i是純虛數(shù) x yi 1 i的充要條件為x y 1 A 0B 1C 2D 3 解析 選A 0比 i大 實數(shù)與虛數(shù)不能比較大小 若a 1則 a 1 i 0為實數(shù) x yi 1 i的充要條件為x y 1是錯誤的 因為沒有表明x y是否是實數(shù)