1.2 充分、必要條件與全稱、存在量詞,高考數學 (北京專用),A組 自主命題北京卷題組,五年高考,1.(2018北京文,4,5分)設a,b,c,d是非零實數,則“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數列”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 B 本題主要考查充分條件與必要條件,等比數列的性質. 由a,b,c,d成等比數列,可得ad=bc,即必要性成立; 當a=1,b=-2,c=-4,d=8時,ad=bc, 但a,b,c,d不成等比數列,即充分性不成立,故選B.,方法總結 充分條件與必要條件的判斷方法: 1.定義法:分別判斷命題“若p,則q”和“若q,則p”的真假. 2.集合法:設命題p,q中的變量構成的集合分別為P,Q. 若PQ,則p是q的充分不必要條件; 若QP,則p是q的必要不充分條件; 若P=Q,則p是q的充要條件; 若PQ,且QP,則p是q的既不充分也不必要條件.,2.(2018北京,6,5分)設a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 C 本題主要考查平面向量的數量積的應用以及充分、必要條件的判斷. |a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b22a2+3ab-2b2=0, 又|a|=|b|=1, ab=0ab,故選C.,方法總結 平面向量模的問題的處理方法: 通常是進行平方,轉化成平面向量的數量積問題解決.,3.(2017北京文,7,5分)設m,n為非零向量,則“存在負數,使得m=n”是“mn0”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 由存在負數,使得m=n,可得m、n共線且反向,夾角為180,則mn=-|m|n|0,故充分 性成立.由mn0可得m,n的夾角為鈍角或180,故必要性不成立.故選A.,4.(2015北京文,6,5分)設a,b是非零向量.“ab=|a|b|”是“ab”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A ab=|a|b|cos, ab=|a|b|時,有cos=1,即=0,ab. 而當ab時,a,b的夾角為0或, 此時ab=|a|b|或ab=-|a|b|. 綜上,“ab=|a|b|”是“ab”的充分而不必要條件,故選A.,5.(2015北京,4,5分)設,是兩個不同的平面,m是直線且m.“m”是“”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 B 由兩平面平行的判定定理可知,當在其中一個平面內的兩條相交直線均平行于另 一平面時,兩平面平行,所以“m”不能推出“”;若兩平面平行,則其中一個平面內的 任意一條直線平行于另一個平面,所以“”可以推出“m”.因此“m”是“ ”的必要而不充分條件.故選B.,思路分析 根據兩平面平行的判定定理和性質定理,判斷前后兩者能否互推.,解后反思 “兩條相交直線”是兩平面平行的判定定理中的重要條件,學生容易忽略.,6.(2014北京,5,5分)設an是公比為q的等比數列.則“q1”是“an為遞增數列”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 D 若q1,則當a1=-1時,an=-qn-1,an為遞減數列,所以“q1”/ “an為遞增數列”; 若an為遞增數列,則當an=- 時,a1=- ,q= 1”.故選D.,思路分析 等比數列的通項為an=a1qn-1,數列的增減性要根據首項和公比來判斷,注意符號.,一題多解 當q1時,若an0,an與q-1同號即可,q1不一定成立.故選D.,7.(2013北京,3,5分)“=”是“曲線y=sin(2x+)過坐標原點”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 當=時,y=sin(2x+)=-sin 2x,此時曲線過坐標原點,但曲線y=sin(2x+)過坐標原點 時,=k(kZ),“=”是“曲線y=sin(2x+)過坐標原點”的充分而不必要條件,故選A.,評析 本題主要考查了三角函數的性質及充分、必要條件的判斷,y=sin(2x+)的圖象過坐標 原點的充要條件是=k(kZ),掌握此性質是解題關鍵.,8.(2012北京,3,5分)設a,bR.“a=0”是“復數a+bi是純虛數”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 B a=0且b0時,a+bi是純虛數, “a=0” / “復數a+bi是純虛數”,充分性不成立.反之,“復數a+bi是純虛數”“a=0”, 必要性成立.故選B.,評析 本題考查純虛數及充分、必要條件的概念.,B組 統一命題省(區(qū)、市)卷題組,考點一 充分條件與必要條件,1.(2018天津,4,5分)設xR,則“ ”是“x31”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 本題主要考查解不等式和充分、必要條件的判斷. 由 得- x- ,解得0 x1. 由x31得x1.當0 x1時,x1一定成立;當x1時,0 x1不一定成立.所以“ ”是“x3 1”的充分而不必要條件.,方法總結 (1)充分、必要條件的判斷.解決此類問題應分三步:確定條件是什么,結論是什 么;嘗試從條件推結論,從結論推條件;確定條件和結論是什么關系. (2)探究某結論成立的充要、充分、必要條件.解答此類題目,可先從結論出發(fā),求出使結論成 立的必要條件,然后驗證得到的必要條件是否滿足充分性.,2.(2018浙江,6,4分)已知平面,直線m,n滿足m,n,則“mn”是“m”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A m,n,mn,m,故充分性成立.而由m,n,得mn或m與n異面,故 必要性不成立.故選A.,3.(2016天津,5,5分)設an是首項為正數的等比數列,公比為q,則“q0”是“對任意的正整 數n,a2n-1+a2n0”的 ( ) A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件,答案 C 若對任意的正整數n,a2n-1+a2n0,所以a20,所以q= 0.若q0,可取 q=-1,a1=1,則a1+a2=1-1=0,不滿足對任意的正整數n,a2n-1+a2n0.所以“q0”是“對任意的正整 數n,a2n-1+a2n0”的必要而不充分條件.故選C.,評析 本題以等比數列為載體,考查了充分條件、必要條件的判定方法,屬中檔題.,4.(2016四川,5,5分)設p:實數x,y滿足x1且y1,q:實數x,y滿足x+y2,則p是q的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 當x1且y1時,x+y2,所以充分性成立; 令x=-1,y=4,則x+y2,但x1,所以必要性不成立, 所以p是q的充分不必要條件.故選A.,5.(2015浙江,3,5分)設a,b是實數,則“a+b0”是“ab0”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 D 當a=2,b=-1時,a+b=10,但ab=-20,但a+ b=-30,所以必要性不成立,故選D.,6.(2015陜西,6,5分)“sin =cos ”是“cos 2=0”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 由cos 2=cos2-sin2知,當sin =cos 時,有cos 2=0,反之,由cos2=sin2不一定有sin =cos ,從而“sin =cos ”是“cos 2=0”的充分不必要條件.故選A.,7.(2015重慶,4,5分)“x1”是“l(fā)o (x+2)0”的 ( ) A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件,答案 B 當x1時,x+231, 又y=lo x是減函數, lo (x+2)1lo (x+2)1,x-1, 則lo (x+2)1. 故“x1”是“l(fā)o (x+2)0”的充分而不必要條件.選B.,考點二 全稱量詞與存在量詞,1.(2015課標,3,5分)設命題p:nN,n22n,則p為 ( ) A.nN,n22n B.nN,n22n C.nN,n22n D.nN,n2=2n,答案 C 根據特稱命題的否定為全稱命題,知p:nN,n22n,故選C.,方法總結 對含有存在(全稱)量詞的命題進行否定的步驟: (1)將存在(全稱)量詞改寫成全稱(存在)量詞; (2)將結論加以否定.,易錯警示 這類題常見的錯誤是沒有變換量詞,或者對于結論沒有給予否定.有些命題中的量 詞不明顯,應注意挖掘其隱含的量詞.,2.(2015湖北,3,5分)命題“x0(0,+),ln x0=x0-1”的否定是 ( ) A.x(0,+),ln xx-1 B.x(0,+),ln x=x-1 C.x0(0,+),ln x0 x0-1 D.x0(0,+),ln x0=x0-1,答案 A 特稱命題的否定為全稱命題,所以x0(0,+),ln x0=x0-1的否定是x(0,+),ln xx-1,故選A.,3.(2015浙江,4,5分)命題“nN*, f(n)N*且f(n)n”的否定形式是 ( ) A.nN*, f(n)N*且f(n)n B.nN*, f(n)N*或f(n)n C.n0N*, f(n0)N*且f(n0)n0 D.n0N*, f(n0)N*或f(n0)n0,答案 D “f(n)N*且f(n)n”的否定為“f(n)N*或f(n)n”,全稱命題的否定為特稱命題, 故選D.,4.(2015山東,12,5分)若“x ,tan xm”是真命題,則實數m的最小值為 .,答案 1,解析 0 x ,0tan x1,“x ,tan xm”是真命題,m1.實數m的最 小值為1.,C組 教師專用題組,考點一 充分條件與必要條件,1.(2016山東,6,5分)已知直線a,b分別在兩個不同的平面,內.則“直線a和直線b相交”是“平 面和平面相交”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 因為直線a和直線b相交,所以直線a與直線b有一個公共點,而直線a,b分別在平面, 內,所以平面與必有公共點,從而平面與相交;反之,若平面與相交,則直線a與直線b可能 相交、平行、異面.故選A.,評析 本題考查了線面的位置關系和充分、必要條件的判斷.,2.(2015湖南,2,5分)設A,B是兩個集合,則“AB=A”是“AB”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 C 若AB=A,任取xA,則xAB, xB,故AB;若AB,任取xA,都有xB, xAB,A(AB), 又(AB)A顯然成立,AB=A. 綜上,“AB=A”是“AB”的充要條件,故選C.,3.(2015四川,8,5分)設a,b都是不等于1的正數,則“3a3b3”是“l(fā)oga3logb3”的 ( ) A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件,答案 B “3a3b3”等價于“ab1”,“l(fā)oga3b1或03b3”是“l(fā)oga3logb3”的充分不必要條件.故選B.,4.(2015安徽,3,5分)設p:11,則p是q成立的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 由2x1,得x0.x|10,p是q成立的充分不必要條件.,考點二 全稱量詞與存在量詞,1.(2014天津,3,5分)已知命題p:x0,總有(x+1)ex1,則p為 ( ) A.x00,使得(x0+1) 1 B.x00,使得(x0+1) 1 C.x0,總有(x+1)ex1 D.x0,總有(x+1)ex1,答案 B 命題p為全稱命題,所以p為x00,使得(x0+1) 1.故選B.,2.(2014湖南,1,5分)設命題p:xR,x2+10,則p為 ( ) A.x0R, +10 B.x0R, +10 C.x0R, +10 D.xR,x2+10,答案 B “xR,x2+10”的否定為“x0R, +10”,故選B.,3.(2013四川,4,5分)設xZ,集合A是奇數集,集合B是偶數集.若命題p:xA,2xB,則 ( ) A.p:xA,2xB B.p:xA,2xB C.p:xA,2xB D.p:xA,2xB,答案 C 因為全稱命題的否定是特稱命題,所以命題p的否定為p:xA,2xB.故選C.,4.(2013重慶,2,5分)命題“對任意xR,都有x20”的否定為 ( ) A.對任意xR,都有x20 B.不存在xR,使得x20 C.存在x0R,使得 0 D.存在x0R,使得 0,答案 D 全稱命題的否定是特稱命題.“對任意xR,都有x20”的否定為“存在x0R,使 得 0”,故選D.,三年模擬,A組 20172019年高考模擬考點基礎題組,考點一 充分條件與必要條件,1.(2019北京房山一模文,6)設a,bR,則“ab0”是“ ”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 因為 0或ab0或0ab,所以“ab0”是“ ”的充分而不必要 條件.,2.(2019北京朝陽期末文,3)設a是實數,則“a1”是“ 1”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 若a1,則 1,故由“ 1”, 故“a1”是“ 1”的充分而不必要條件.故選A.,3.(2019北京海淀新高考調研卷,5)已知向量a,b滿足|a|=|b|=1,則“|a-b|=|a+b|”是“|a+b|= ” 的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 C 充分性:|a-b|=|a+b|,ab=0.又|a|=|b|=1,|a+b|= .必要性:|a+b|= ,|a|2+|b|2+ 2ab=2,ab=0,|a+b|=|a-b|,故“|a-b|=|a+b|”是“|a+b|= ”的充要條件.,4.(2019北京石景山一模,6)已知平面向量a=(k,2),b=(1,k),kR,則“k= ”是“a與b同向”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 C a與b同向a=b(0),即(k,2)=(,k), 解得=k= .故“k= ”是“a與 b同向”的充要條件,選C.,5.(2018北京東城一模,7)設an是公差為d的等差數列,Sn為其前n項和,則“d0”是“Sn為遞 增數列”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 D 舉反例即可,如:由等差數列:-6,-5,-4,-3,可知充分性不成立;由常數列3,3,3,3,得 Sn為遞增數列,而d=0,故必要性不成立,故選D.,6.(2018北京西城一模,6)設函數f(x)=x2+bx+c,則“f(x)有兩個不同的零點”是“x0R,使f(x0) 0”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 C f(x)=x2+bx+c,若f(x1)=f(x2)=0,且x1x2,則一定存在x1x0 x2,使得f(x0)0.同理,若x0 R,使得f(x0)0,則f(x)一定有兩個不同的零點,故選C.,7.(2017北京順義二模,5)已知直線a,b分別在兩個不同的平面,內,則“直線a和直線b垂直” 是“平面和平面垂直”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 D 若直線a和直線b垂直,則a,b可以是兩個平行平面內兩條異面垂直的直線,故充分性 不成立;若平面和平面垂直,則直線a,b平行、相交或異面,故必要性不成立,故選D.,8.(2019北京豐臺二模,4)已知i是虛數單位,aR,則“a=1”是“(a+i)2為純虛數”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 由于(a+i)2=a2+2ai+i2=(a2-1)+2ai為純虛數,則 解得a=1,所以“a=1”是 “(a+i)2為純虛數”的充分而不必要條件.故選A.,考點二 全稱量詞與存在量詞,1.(2019北京豐臺一模,3)設命題p:x(0,+),ln xx-1,則p為 ( ) A.x(0,+),ln xx-1 B.x0(0,+),ln x0 x0-1 C.x(0,+),ln xx-1 D.x0(0,+),ln x0 x0-1,答案 D 根據全稱命題的否定是特稱命題,故選D.,2.(2018北京豐臺一模,2)已知命題p:x1 B.x1 C.x1 D.x1,x21,答案 C 特稱命題的否定是全稱命題,故選C.,易錯警示 “x1”變?yōu)椤皒1”,而不是“x1”.,3.(2017北京東城一模,2)已知命題p:nN,2n ,則p是 ( ) A.nN,2n B.nN,2n,答案 C 根據全稱命題的否定是特稱命題,知p:nN,2n ,故選C.,4.(2019北京海淀一模文,4)已知ab+c B.c0,ab+c D.c0,ab+c,答案 D 判斷一個命題正確需要證明,判斷一個命題錯誤,只需舉一個反例即可. 對于A選項,當a=1,b=3,c=-1時不成立,故A錯誤;對于B選項,當a=1,b=3,c=-3時不成立,故B錯誤; 對于C選項,當a0時,ab+c恒成立,故C錯誤,D正確,故選D.,B組 20172019年高考模擬專題綜合題組 時間:20分鐘 分值:45分,選擇題(每小題5分,共45分),1.(2019北京通州期末文,6)“k=0”是“直線y=kx-1與圓x2+y2=1相切”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 C 若k=0,則直線方程為y=-1,易知此時直線與圓相切,即充分性成立; 若直線y=kx-1與圓x2+y2=1相切,則圓心(0,0)到直線y=kx-1的距離d=1,即d= = =1,解 得k=0,故必要性成立.故選C.,2.(2019北京朝陽一模文,5)已知a,b,cR,給出下列條件:a2b2; bc2.則使得ab 成立的充分而不必要條件是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 當a=-2,b=1時,a2b2, bc2,則c20,ac2bc2ab,而ab,c=0時,ac2=bc2, ac2bc2是ab成立的充分而不必要條件,故選C.,3.(2017北京石景山一模,4)設R,則“sin =cos ”是“cos 2=0”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 若sin =cos ,則=k+ (kZ), 2=2k+ (kZ),cos 2=0,故充分性成立; 若cos 2=0,則2=k+ (kZ), = + (kZ),|sin |=|cos |, 必要性不成立,故選A.,4.(2018北京海淀一模,5)已知a,b為正實數,則“a1,b1”是“l(fā)g a+lg b0”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A a1,b1,lg a0,lg b0,lg a+lg b0,即充分性成立; lg a+lg b0,即 即必要性不成立.故選A.,5.(2018北京海淀期末,4)設m是不為零的實數,則“m0”是“方程 - =1表示雙曲線”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 由m0方程 - =1表示焦點在x軸上的雙曲線,故充分性成立,由方程 - =1 表示雙曲線,可以推出m0,即m0或m0”是“方程 - =1表 示雙曲線”的充分而不必要條件.故選A.,解題關鍵 掌握充分條件、必要條件的判斷方法和雙曲線的標準方程是解決本題的關鍵.,6.(2019北京海淀二模,7)已知函數f(x)=sin x(0),則“函數f(x)的圖象經過點 ”是“函 數f(x)的圖象經過點 ”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 若函數f(x)的圖象經過點 ,則有f =sin =1,從而 = +2k(kN),解得 =2+8k(kN),若函數f(x)的圖象經過點 ,則有f =sin =0,從而 =k(kN*),解得= 2k(kN*),因為|=2+8k,kN|=2k,kN*,所以“函數f(x)的圖象經過點 ”是 “函數f(x)的圖象經過點 ”的充分而不必要條件.故選A.,方法總結 含有參數的充分、必要條件問題的解法:求出每個條件中的參數的范圍,若x|p(x) x|q(x),則p是q的充分而不必要條件.,7.(2018北京海淀二模,5)設曲線C是雙曲線,則“C的方程為x2- =1”是“C的漸近線方程為y= 2x”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 由C的方程為x2- =1,可知曲線C為焦點在x軸上的雙曲線,則a=1,b=2,C的漸近線方 程為y= x=2x,即充分性成立; 若雙曲線C的漸近線方程為y=2x,則雙曲線C的方程為x2- =(0),故必要性不成立.故選A.,8.(2018北京西城二模,7)函數f(x)= +a,則“a0”是“x0-1,1,使f(x0)0”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 A 充分性:a0,x0-1,1,使f(x0)= +a0,故充分性成立; 必要性:(舉反例)令x0= -1,1, f(x0)= +a=0, 則a=- 0,a0不成立,必要性不成立. 故選A.,思路分析 充分性的證明相對容易,因為-1,1是函數f(x)= +a的定義域,顯然 0, a0時必有f(x)0.證明必要性時,因為 0, f(x0)= +a0,所以a可能是負數,此時 舉一個反例即可.,9.(2017北京海淀零模,5)設a,b為兩個非零向量,則“ab=|ab|”是“a與b共線”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 D 若ab=|ab|,則|a|b|cos=|a|b|cos|,即cos=|cos|,則cos0, 則a與b共線不成立,即充分性不成立; 若a與b共線,當=時,cos=-1,此時ab=|ab|不成立,即必要性不成立. 故“ab=|ab|”是“a與b共線”的既不充分也不必要條件,故選D.,C組 20172019年高考模擬應用創(chuàng)新題組,(2019北京東城一模,7)南北朝時代的偉大科學家祖暅在數學上有突出貢獻,他在實踐的基礎上,提出祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.其含義是:夾在兩個平行平面之 間的兩個幾何體,被平行于這兩個平行平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相 等,那么這兩個幾何體的體積相等.如圖,夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為V 1,V2,被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面的面積分別為S1,S2,則“V1,V2相等”是 “S1,S2總相等”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案 B 舉個反例可證充分性不成立,取兩個完全相同的圓臺一正一倒放置在兩平行平面 之間,則V1=V2無法保證S1=S2. 再證必要性,“若S1,S2總相等”,由祖暅原理必有“V1,V2相等”.故選B.,