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專題集訓12　相似三角形探究 一、選擇題 1．如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值( B ) A．只有1個　　　　　　　　B．可以有2個 C．有2個以上但有限 D．有無數(shù) 【解析】由題意：直角三角形兩條邊邊長為6和8，則邊長為6的只可能為直角邊，當邊長為8的是直角時，斜邊為10，如圖①.當8為斜邊時，另一條邊長為2，如圖②.邊長為3，4及x的直角三角形與之相似，也只可能出現(xiàn)兩種情況． 二、填空題 2．如圖，正方形的邊長為10，點E在CB的延長線上，EB＝10，點P在邊CD上運動(C，D兩點除外)，EP與AB相交于點F，若CP＝x，四邊形FBCP的面積為y，則y關于x的函數(shù)關系式是__y＝x(0＜x＜10)__． 【解析】 由題條件易知△EBF∽△ECP，且FB＝CP.∴＝()2＝()2＝，∴＝，而S△EBF＝x10＝x，∴SBCPE＝3S△EBF＝x，即y＝x(0＜x＜10)． 三、解答題 3．如圖，已知拋物線y＝(x＋2)(x－4)與x軸交于點A，B(點A位于點B的左側(cè))，與y軸交于點C，CD∥x軸交拋物線于點D，M為拋物線的頂點． (1)求點A、B、C的坐標； (2)P是拋物線上一點，請你探究：是否存在點P，使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似(△PAB與△ABD不重合)？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由． 解：(1)令y＝0得x1＝－2，x2＝4，∴點A(－2，0)，B(4，0)，令x＝0得y＝－，∴點C(0，－)　(2)過點D作DE⊥BA，垂足為E.由CD∥x軸，C(0，－)，可得D(2，－)．由勾股定理得AD＝＝＝3，BD＝＝＝，①當P1AB∽△ADB時，＝，即＝，∴P1B＝6.過點P1作P1M1⊥AB，垂足為M1.∴＝，即＝，解得P1M1＝6，∵＝，即＝，解得BM1＝12，∴點P1的坐標為(－8，6)．∵點P1不在拋物線上，所以此種情況不存在； ②當△P2AB∽△BDA時，＝，即＝，∴P2B＝6.過點P2作P2M2⊥AB，垂足為M2.∴＝，即：＝，∴P2M2＝2，∵＝，即：＝，∴M2B＝8，∴點P2的坐標為(－4，2)；將x＝－4代入拋物線的解析式得：y＝2，∴點P2在拋物線上．由拋物線的對稱性可知：點P2與點P4關于直線x＝1對稱，∴P4的坐標為(6，2)，當點P3位于點C處時，兩三角形全等，所以點P3的坐標為(0，－)，綜上所述點P的坐標為：(－4，2)或(6，2)或(0，－)時，以P，A，B為頂點的三角形與△ABD相似 4．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，A同時出發(fā)，點P在線段OA上沿OA方向作勻速運動，點Q在線段AB上沿AB方向作勻速運動，已知點P的運動速度為每秒1厘米． (1)設點Q的運動速度為每秒厘米，運動時間為t秒，當△COP和△PAQ相似時，求點Q的坐標． (2)設點Q的運動速度為每秒a厘米，問是否存在a的值，使得△OCP與△PAQ和△CBQ這兩個三角形都相似？若存在，請求出a的值，并寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 解：(1)如圖，當∠1＝∠2時，＝，∴＝，∴t2＋6t－60＝0，解得t1＝－6＋2，t2＝－6－2(舍去)， 當∠1＝∠3時，＝，解得t＝7，因此，當t＝－6＋2或7時，即當Q點的坐標為(10，－3＋)或(10，)時，△COP與PAQ相似 (2)設P，Q運動時間為t秒，則OP＝t，AQ＝at.①當∠1＝∠3＝∠4時，＝＝，＝＝，解得t1＝2，t2＝18(舍去)，此時a＝，Q點的坐標為(10，)；②當∠1＝∠3＝∠5時，∠CPQ＝∠CQP＝90不成立；③當∠1＝∠2＝∠4時，＝＝，＝＝，得5t2－36t＋180＝0，Δ＜0，方程無實數(shù)解；④當∠1＝∠2＝∠5時，由圖可知∠1＝∠PCB＞∠5，故不存在這樣的a值；綜上所述，存在a的值，使得△OCP與△PAQ和△CBQ這兩個三角形都相似，此時a＝，Q點的坐標為(10，)