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沖刺集訓(xùn)5　探索型問題 一、選擇題 1. 觀察下列數(shù)對(duì)：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，那么第32個(gè)數(shù)對(duì)是(　　) A. (4，4) B. (4，5) C. (4，6) D. (5，4) 2. (2014湖北武漢)觀察如圖所示的一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第1個(gè)圖中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有19個(gè)點(diǎn)……按此規(guī)律，第5個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　) (第2題) A. 31 B. 46 C. 51 D. 66 3. 探索圖中的規(guī)律： (第3題) 根據(jù)規(guī)律，從2013到2015的箭頭方向是(　　) 4. 如圖所示的圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成的，其中，圖①中一共有1個(gè)平行四邊形，圖②中一共有5個(gè)平行四邊形，圖③中一共有11個(gè)平行四邊形……則圖⑥中平行四邊形的個(gè)數(shù)為(　　) (第4題) A. 55 B. 42 C. 41 D. 29 5. 在一條筆直的公路邊，有一些樹和路燈，每相鄰的兩盞燈之間有3棵樹，相鄰的樹與樹，樹與燈之間的距離都是10 m，如圖．第一棵樹左邊5 m處有一塊路牌，則從此路牌起向右510～550 m之間樹與燈的排列順序是(　　) (第5題) (第6題) 6. 在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為A(1，1)，B(1，－1)，C(－1，－1)，D(－1，1)，y軸上有一點(diǎn)P(0，2)．作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P1，作點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)P2，作點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)P3，作點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)P4，作點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P5，作點(diǎn)P5關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)P6……按如此操作下去，則點(diǎn)P2015的坐標(biāo)為(　　) A. (0，2) B. (2，0) C. (0，－2) D. (－2，0) 二、填空題 7. 觀察一列單項(xiàng)式：a，－2a2，4a3，－8a4，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第n個(gè)單項(xiàng)式為________． 8. 通過找出這組圖形符號(hào)中所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，在空白處的橫線上填上恰當(dāng)?shù)膱D形． (第8題) 9. 有一個(gè)計(jì)算程序，每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘2，再除以它與1的和，多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過程如圖所示： (第9題) 則第n次的運(yùn)算結(jié)果＝________(用含字母x和n的代數(shù)式表示)． (第10題) 10. 如圖，直線l1⊥x軸于點(diǎn)(1，0)，直線l2⊥x軸于點(diǎn)(2，0)，直線l3⊥x軸于點(diǎn)(3，0)……直線ln⊥x軸于點(diǎn)(n，0)．函數(shù)y＝x的圖象與直線l1，l2，l3，…，ln分別交于點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，函數(shù)y＝2x的圖象與直線l1，l2，l3，…，ln分別交于點(diǎn)B1，B2，B3，…，Bn.如果△OA1B1的面積記作S1，四邊形A1A2B2B1的面積記作S2，四邊形A2A3B3B2的面積記作S3……四邊形An－1AnBnBn－1的面積記作Sn，那么S2016＝________． 三、解答題 11. (2014浙江臺(tái)州)研究幾何圖形時(shí)，我們往往先給出這類圖形的定義，再研究它的性質(zhì)和判定． 定義：六個(gè)內(nèi)角相等的六邊形叫等角六邊形． (1)研究性質(zhì)： ①如圖①，在等角六邊形ABCDEF中，三組正對(duì)邊AB與DE，BC與EF，CD與AF分別有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論． ②如圖②，在等角六邊形ABCDEF中，如果有AB＝DE，則其余兩組正對(duì)邊BC與EF，CD與AF相等嗎？證明你的結(jié)論． ③如圖③，在等角六邊形ABCDEF中，如果三條正對(duì)角線AD，BE，CF交于一點(diǎn)O，那么三組正對(duì)邊AB與DE，BC與EF，CD與AF分別有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論． (第11題) (2)探索判定： 三組正對(duì)邊分別平行的六邊形，至少需要幾個(gè)內(nèi)角為120才能保證該六邊形—定是等角六邊形？ 12. (2015浙江衢州)如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，S△ABC＝，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度在線段AC上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．以PQ為邊作正方形PQEF(點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)按逆時(shí)針排序)，以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH. (第12題) (1)求tan A的值． (2)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，正方形PQEF的面積為S，請(qǐng)?zhí)骄縎是否存在最小值．若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由． (3)當(dāng)t為何值時(shí)，正方形PQEF的某個(gè)頂點(diǎn)(點(diǎn)Q除外)落在正方形QCGH的邊上，請(qǐng)直接寫出t的值．  1．B　2．B[第1個(gè)圖中共有1＋13＝4(個(gè))點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有1＋13＋23＝10(個(gè))點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有1＋13＋23＋33＝19(個(gè))點(diǎn)……第n個(gè)圖中共有(1＋13＋23＋33＋…＋3n)個(gè)點(diǎn)．所以第5個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1＋13＋23＋33＋43＋53＝46．]　3．B[以4個(gè)數(shù)字為一組，觀察每組所給的4個(gè)數(shù)字組成的正方形和它們的位置，發(fā)現(xiàn)被4整除的數(shù)字在正方形的左上角，被4除余1的數(shù)字在正方形的左下角，被4除余2的數(shù)字在正方形的右下角，被4除余3的數(shù)字在正方形的右上角．20134＝503……1，20154＝503……3，∴2013在4個(gè)數(shù)字組成的正方形的左下角，2015在4個(gè)數(shù)字組成的正方形的右上角．故選B．]　4．C[∵圖②中平行四邊形有1＋2＋2＝23－1＝5(個(gè))，圖③中平行四邊形有1＋2＋3＋2＋3＝34－1＝11(個(gè))，圖中平行四邊形有n(n＋1)－1＝(n2＋n－1)個(gè)，∴圖⑥中平行四邊形的個(gè)數(shù)為67－1＝41．]　5．B[根據(jù)題意得：第一盞燈的里程數(shù)為15 m，第二盞燈的里程數(shù)為55 m，第三盞燈的里程數(shù)為95 m，…，第n盞燈的里程數(shù)為15＋40(n－1)＝(40n－25)m．故當(dāng)n＝14時(shí)，40n－25＝535(m)處是燈，則515 m，525 m，545 m處均是樹，故樹與燈的排列順序應(yīng)該是樹，樹，燈，樹．]　6．D[由題意，得點(diǎn)P1(2，0)，P2(0，－2)，P3(－2，0)，P4(0，2)，P5(2，0)，…，按如此操作下去，每4次變換一循環(huán)，∵20154＝503……3，點(diǎn)P2015的坐標(biāo)與點(diǎn)P3的坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)P2015的坐標(biāo)為(－2，0)．]　7．(－2)n－1an　8．　9．　10．2015．5[∵函數(shù)y＝x的圖象與直線l1，l2，l3，…，ln分別交于點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，∴點(diǎn)A1(1，1)，A2(2，2)，A3(3，3)，…，An(n，n)．又∵函數(shù)y＝2x的圖象與直線l1，l2，l3，…，ln分別交于點(diǎn)B1，B2，B3，…，Bn，∴點(diǎn)B1(1，2)，B2(2，4)，B3(3，6)，…，Bn(n，2n)，∴S1＝1(2－1)，S2＝2(4－2)－1(2－1)，S3＝3(6－3)－2(4－2)，…，Sn＝n(2n－n)－(n－1)[2(n－1)－(n－1)]＝n2－(n－1)2＝n－．當(dāng)n＝2016，S2016＝2016－＝2015．5．]　11．(1)①結(jié)論：三組正對(duì)邊分別平行(AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF)．證明：連結(jié)AD．∵六邊形ABCDEF是等角六邊形，∴∠ABC＝∠BCD＝120，∴在四邊形ABCD中，∠ADC＋∠BAD＝120．∵∠FAB＝∠FAD＋∠BAD＝120，∴∠ADC＝∠FAD，∴CD∥AF．同理，BC∥EF，AB∥DE．　②相等．證明如下：連結(jié)AE，BD．由(1)知，AB∥DE．又∵AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，∠AED＝∠ABD．∵∠FED＝∠ABC＝120，∴∠FED－∠AED＝∠ABC－∠ABD，即∠FEA＝∠CBD．又∵∠F＝∠C，AE＝DB，∴△AEF≌△DBC，∴EF＝BC，AF＝CD．?、廴M正對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等．證明如下：∵ED∥AB，∴＝．由EF∥BC，得＝．∴＝．同理，由ED∥AB，CD∥AF，得＝．∴＝．由BC∥EF，CD∥AF，得＝．∴＝，∴c12＝c22．∵c1＞0，c2＞0，∴c1＝c2．同理，a1＝a2，b1＝b2．即AB＝DE，BC＝EF，CD＝AF．　(2)如解圖，連結(jié)BF． (第11題解) ∵BC∥EF，∴∠CBF＋∠EFB＝180．∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝180，∴∠A＋∠ABC＋∠AFE＝360．同理，∠A＋∠ABC＋∠C＝360．∴∠AFE＝∠C．同理，∠A＝∠D，∠ABC＝∠E．①若只有1個(gè)內(nèi)角等于120，不能保證該六邊形一定是等角六邊形．反例：當(dāng)∠A＝120，∠ABC＝150時(shí)，∠D＝∠A＝120，∠E＝∠ABC＝150．∵六邊形的內(nèi)角和為720，∴∠AFE＝∠C＝(720－120－120－150－150)＝90．此時(shí)該六邊形不是等角六邊形．②若有2個(gè)內(nèi)角等于120，也不能保證該六邊形一定是等角六邊形．反例：當(dāng)∠A＝∠D＝120，∠E＝∠ABC＝150時(shí)，∵六邊形的內(nèi)角和為720，∴∠AFE＝∠C＝(720－120－120－150－150)＝90．此時(shí)該六邊形不是等角六邊形．③若有3個(gè)內(nèi)角等于120，能保證該六邊形一定是等角六邊形．設(shè)∠A＝∠D＝α，∠ABC＝∠E＝β，∠AFE＝∠C＝γ，則2α＋2β＋2γ＝720．∴α＋β＋γ＝360．∵有3個(gè)內(nèi)角等于120，∴α，β，γ中至少有兩個(gè)角為120．若α，β，γ都等于120，則六個(gè)內(nèi)角都等于120；若α，β，γ中有兩個(gè)為120，根據(jù)α＋β＋γ＝360可得第三個(gè)角也等于120，則六個(gè)內(nèi)角都等于120．綜上所述，至少需要3個(gè)內(nèi)角為120才能保證該六邊形一定是等角六邊形．　12．(1)過點(diǎn)B作BM⊥AC交AC于點(diǎn)M．∵AC＝9，S△ABC＝，S△ABC＝ACBM，∴＝9BM，解得BM＝3．又∵AB＝5，∴根據(jù)勾股定理，得AM＝＝＝4．∴tan A＝＝．　(2)存在．過點(diǎn)P作PN⊥AC于點(diǎn)N，經(jīng)過時(shí)間t，AP＝CQ＝5t．∵tan A＝，∴AN＝4t，PN＝3t．∴QN＝AC－AN－CQ＝9－9t．根據(jù)勾股定理，得PQ2＝PN2＋NQ2＝(3t)2＋(9－9t)2＝90t2－162t＋81，∴S＝PQ2＝90t2－162t＋81(00，且－＝－＝，在t的取值范圍內(nèi)，∴S最小值＝＝＝．∴S存在最小值，這個(gè)最小值是．　(3)t＝或或1或．[分四種情況討論：①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)E在HG上時(shí)，t1＝． ,(第12題解①))　　,(第12題解②)) ②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)F在HG上時(shí)，t2＝．③如解圖③，當(dāng)點(diǎn)P在QH上(或點(diǎn)E在QC上)時(shí)，t3＝1． ,(第12題解③))　　,(第12題解④)) ④如解圖④，當(dāng)點(diǎn)F在CG上時(shí)，t4＝．綜上所述，當(dāng)t＝或或1或時(shí)，正方形PQEF的某個(gè)頂點(diǎn)(點(diǎn)Q除外)落在正方形QCGH的邊上．]