《中考數(shù)學(xué) 第二編 中檔題突破專項(xiàng)訓(xùn)練篇 中檔題型訓(xùn)練（四）三角形、四邊形中的相關(guān)證明及計(jì)算試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué) 第二編 中檔題突破專項(xiàng)訓(xùn)練篇 中檔題型訓(xùn)練（四）三角形、四邊形中的相關(guān)證明及計(jì)算試題（4頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

中檔題型訓(xùn)練(四)　三角形、四邊形中的相關(guān)證明及計(jì)算 縱觀近8年河北省中考題，三角形常與旋轉(zhuǎn)、折疊、平移等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來考查；四邊形中要特別關(guān)注四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì)和判定，以及運(yùn)用其性質(zhì)解決有關(guān)計(jì)算的問題． 　三角形的有關(guān)計(jì)算及證明 【例1】(2016重慶B卷中考)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求證：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE. 【解析】(1)要證明AF＝CG，可以利用“ASA”證明△ACF≌△CBG來得到；(2)要證明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，則只要證明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再證明DG＝BG即可． 【學(xué)生解答】證明：(1)∵∠ACB＝90，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H為AB中點(diǎn)．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H為AB中點(diǎn)，∴G為BD中點(diǎn)，∴BG＝DG，∵E為AC中點(diǎn)，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE. 1．(2016畢節(jié)中考)如圖，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到 △ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F. (1)求證：△AEC≌△ADB； (2)若AB＝2，∠BAC＝45，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng)． 解：(1)∵△ABC≌△ADE且AB＝AC，∴AE＝AD，∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，∴在△AEC和△ADB中，∴△AEC≌△ADB(SAS)；(2)∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC＝45，∴∠DBA＝∠BAC＝45.又由(1)得AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45.，∴△ABD是直角邊為2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，∴BD＝2.又∵四邊形ADFC是菱形，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2－2. 2．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G，H，∠ABE＝∠CBE. (1)線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請(qǐng)說明理由； (2)求證：BG2－GE2＝EA2. 解：(1)BH＝AC.證明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90，∠ABC＝45，∴∠BCD＝45＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)連接GC.則GC2－GE2＝EC2.∵F為BC中點(diǎn)，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE.∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2. 3．(2016石家莊四十一中模擬)在Rt△ABC中，∠A＝90，AC＝AB＝4, D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0<α≤180)，記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P. (1)如圖1，當(dāng)α＝90時(shí)，線段BD1的長(zhǎng)等于__2__，線段CE1的長(zhǎng)等于__2__；(直接填寫結(jié)果) (2)如圖2，當(dāng)α＝135時(shí)，求證：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1； (3)①設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則線段PM的長(zhǎng)為__2__； ②點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為__1＋__． (直接填寫結(jié)果) 證明：(2)易證△D1AB≌△E1AC，∴BD1＝CE1，且∠D1BA＝∠E1CA，記直線BD1與AC交于點(diǎn)F，∴∠BFA＝∠CFP.∵∠BFA＋∠D1BA＝90，∴∠CFP＋∠E1CA＝90，∴∠CPF＝∠FAB＝90，∴BD1⊥CE1. 4．(2016河南中考) (1)發(fā)現(xiàn) 如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝a，AB＝b. 填空：當(dāng)點(diǎn)A位于________時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為________. (用含a，b的式子表示) (2)應(yīng)用 點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝3，AB＝1.如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE. ①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說明理由； ②直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值． (3)拓展 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2 , 0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5 , 0)，點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90.請(qǐng)直接寫出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：(1)CB延長(zhǎng)線上，a＋b；(2)① DC＝BE.理由如下： ∵△ABD和△ACE為等邊三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE, ∠BAD＝∠CAE＝60， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB. ∴DC＝BE；② BE長(zhǎng)的最大值是4；(3)AM的最大值為3＋2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2－，)． 　四邊形的有關(guān)計(jì)算及證明 【例2】(2016邵陽中考)準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如圖所示操作：將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的M點(diǎn)；將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的N點(diǎn)． (1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形； (2)若四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積． 【思路分析】(1)由矩形及翻折的性質(zhì)可證得△EDM≌△FBN，從而證出四邊形BFDE是平行四邊形；(2)由菱形及矩形的性質(zhì)得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30，利用銳角三角函數(shù)可求出AE，BE，進(jìn)而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面積． 【學(xué)生解答】(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90，AB＝CD.由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90，∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED＝BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形；(2)∵四邊形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90，∴∠ABE＝90＝30.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝，BE＝，∴ED＝，∴AD＝2.∴S△ABE＝ABAE＝.S矩形ABCD＝ABAD＝4，∴S菱形BFDE＝4－2＝. 5．(2016南京中考)如圖，AB ∥ CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接EF，∠AEF，∠CFE的平分線交于點(diǎn)G，∠BEF，∠DFE的平分線交于點(diǎn)H. (1) 求證：四邊形EGFH是矩形； (2) 小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索．過G作MN ∥ EF，分別交AB，CD于點(diǎn)M, N，過H作PQ ∥ EF，分別交AB，CD于點(diǎn)P，Q，得到四邊形MNQP.此時(shí)，他猜想四邊形MNQP是菱形，請(qǐng)?jiān)谙铝锌驁D中補(bǔ)全他的證明思路． 小明的證明思路 由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形 MNQP是平行四邊形．要證?MNQP是菱形， 只要證NM＝NQ.由已知條件__FG平分∠CFE__， MN ∥ EF, 可證NG＝NF，故只要證GM ＝FQ，即證 △MGE ≌△QFH.易證__EG＝FH__，__∠GME＝∠FQH__， 故只要證 ∠MGE ＝ ∠QFH，易證∠MGE ＝ ∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得證． 證明：(1)∵EH平分∠BEF, ∴∠FEH＝∠BEF, ∵FH平分∠DFE, ∴∠EFH＝∠DFE, ∵AB∥CD, ∴∠BEF＋∠DFE＝180， ∴∠FEH＋∠EFH＝(∠BEF＋∠DFE)＝180＝90.又 ∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180， ∴∠EHF＝180－(∠FEH＋∠EFH)＝180－90＝90. 同理可得：∠EGF＝90，∠GFH＝90，∴四邊形GHFE是平行四邊形． 6．(2016邯鄲二十五中模擬) 如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且CE＝BF.連接DE，過點(diǎn)E作EG⊥DE，使EG＝DE，連接FG，F(xiàn)C. (1)請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________； (2)如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CB，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)給出判斷并予以證明； (3)如圖3，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出你的判斷． 解：(1)FG＝CE(相等)；FG∥CE(平行)；(2)仍然成立；證明：設(shè)CF與DE相交于點(diǎn)M.∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90.∵BF＝CE，∴△BCF≌△CDE，∴FC＝ED，∠DEC＝∠BFC.∵∠BFC＋∠FCE＝90，∴∠DEC＋∠FCE＝90，∴∠EMC＝90，即FC⊥DE.∵GE⊥DE，∴GE∥FC.又∵EG＝DE，∴EG＝FC，∴四邊形GECF是平行四邊形，∴FG＝CE，F(xiàn)G∥CE； (3)成立． 7．(2016襄陽中考)如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG. (1)求證：四邊形EFDG是菱形； (2)探究線段EG，GF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (3)若AG＝6，EG＝2，求BE的長(zhǎng)． 解：(1)由折疊的性質(zhì)可得，∠AFD＝∠AFE，F(xiàn)D＝FE.∵EG∥CD，∴∠EGF＝∠AFD，∴∠EGF＝∠AFE，∴EG＝EF＝FD，∴EG綊FD，∴四邊形EFDG是平行四邊形．又∵FD＝FE，∴?EFDG是菱形；(2)連接ED交AF于點(diǎn)H，∵四邊形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，F(xiàn)H＝GH＝GF，EH＝DH＝DE.∵∠FEH＝∠FAE＝90－∠EFA，∴Rt△FEH∽R(shí)t△FAE，∴＝.即EF2＝FHAF，∴EG2＝AFGF；(3)∵AG＝6，EG＝2，EG2＝AFGF，∴(2)2＝AFGF，∴(2)2＝(6＋GF)GF.∵GF>0，∴GF＝4，∴AF＝10.∵DF＝EG＝2，∴AD＝BC＝＝4，DE＝2EH＝＝8.∵∠CDE＋∠DFA＝90，∠DAF＋∠DFA＝90，∴∠CDE＝∠DAF，∴Rt△ADF∽R(shí)t△DCE，∴＝，即＝，∴EC＝，∴BE＝BC－EC＝.