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2016-2017學(xué)年湖北省宜昌二十四中、二十五中集團（葛洲壩校區(qū)）九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一．選擇題： 1．將一元二次方程3x2﹣1=4x化成一般形式為（　　） A．3x2+4x=1 B．3x2﹣4x=1 C．3x2﹣4x﹣1=0 D．3x2+4x﹣1=0 2．一元二次方程x2﹣3x=0的根是（　?。? A．x=3 B．x1=0，x2=﹣3 C．x1=0，x2= D．x1=0，x2=3 3．下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 4．如圖，已知⊙O的半徑為13，弦AB長為24，則點O到AB的距離是（　?。? A．6 B．5 C．4 D．3 5．拋物線y=﹣2（x﹣1）2+3的頂點坐標(biāo)是（　　） A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 6．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點P（﹣2，3）關(guān)于原點的對稱點Q的坐標(biāo)為（　　） A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 7．在同一坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+8x+b的圖象可能是（　　） A． B． C． D． 8．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（　?。? A． B． C． D． 9．把拋物線y=﹣經(jīng)（　?。┢揭频玫統(tǒng)=﹣﹣1． A．向右平移2個單位，向上平移1個單位 B．向右平移2個單位，向下平移1個單位 C．向左平移2個單位，向上平移1個單位 D．向左平移2個單位，向下平移1個單位 10．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠C=80，則∠A等于（　?。? A．120 B．100 C．80 D．90 11．二次函數(shù)y=﹣x2+2x+k的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一個解x1=3，另一個解x2=（　?。? A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0 12．拋物線y=ax2（a＞0）的圖象一定經(jīng)過（　?。? A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 13．如圖所示，在等腰直角△ABC中，∠B=90，將△ABC繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn)60后得到的△AB′C′，則∠BAC′等于（　　） A．105 B．120 C．135 D．150 14．關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0有一個根為0，則a的值是（　?。? A．1 B．﹣1 C．1 D．0 15．制造一種產(chǎn)品，原來每件的成本是100元，由于連續(xù)兩次降低成本，現(xiàn)在的成本是81元，則平均每次降低成本的百分率為（　?。? A．5% B．10% C．19% D．20% 　 二．解答題： 16．解方程：x（x﹣4）=2x﹣8． 17．求拋物線y=2x2﹣3x+1的頂點和對稱軸． 18．如圖所示，D、E分別是弧、的中點，DE交AB于M、交AC于N．求證：AM=AN． 19．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的頂點均在格點上，請按要求完成下列步驟： （1）畫出將△ABC向右平移3個單位后得到的△A1B1C1，再畫出將△A1B1C1繞點B1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90后所得到的△A2B1C2； （2）求線段B1C1旋轉(zhuǎn)到B1C2的過程中，點C1所經(jīng)過的路徑長． 20． 如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置． （1）旋轉(zhuǎn)中心是點　　，旋轉(zhuǎn)角度是　　度； （2）若連結(jié)EF，則△AEF是　　三角形；并證明； （3）若四邊形AECF的面積為25，DE=2，求AE的長． 21．若x1、x2是方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22﹣x1x2=21，求m的值． 22．如圖，△ABC與△DEA是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90，BC分別與AD、AE相交于點F、G，BF≠CG．下面是小明、小穎兩位同學(xué)對BF、FG、GC這三條線段之間的關(guān)系式BF2+GC2=FG2進行探究的部分過程，請你幫小明、小穎完成后面的證明過程． 小明：如圖甲，把△ABF沿AD折疊，得△ABF≌△APF，連接PG，… 小穎：如圖乙，把△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至△ACP，得△ABF≌△ACP，連接PG，… 23．某商店經(jīng)營兒童玩具，已知成批購進時的單價是20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價是30元時，月銷售量是200件，而銷售單價每上漲2元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元．設(shè)每件玩具的銷售單價上漲了x元時，月銷售利潤為y元． （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍． （2）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2280元？ （3）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤達到最大？最大為多少元？ 24．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知等腰Rt△ABC的直角邊 BC=2，且BC在x軸正半軸上滑動，設(shè)點 C 的橫坐標(biāo)為m，經(jīng)過O、C兩點得到拋物線 y1=ax（x﹣m）（a為常數(shù)，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點E．直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k＞0） （1）填空：用含m的代數(shù)式表示點A的坐標(biāo)及k的值：A﹙　　，　　﹚，k=　?。? （2）隨著三角板的滑動，當(dāng)時： ①試證明：拋物線y1=ax（x﹣m）的頂點在函數(shù)的圖象上； ②當(dāng)三角板滑至點E為AB的中點時，求m的值； （3）直線OA與拋物線的另一個交點為點D，當(dāng)m≤x≤m+2，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥m+2時，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，求a與m的關(guān)系式． 　  2016-2017學(xué)年湖北省宜昌二十四中、二十五中集團（葛洲壩校區(qū)）九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一．選擇題： 1．將一元二次方程3x2﹣1=4x化成一般形式為（　?。? A．3x2+4x=1 B．3x2﹣4x=1 C．3x2﹣4x﹣1=0 D．3x2+4x﹣1=0 【考點】一元二次方程的一般形式． 【分析】利用任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0），這種形式叫一元二次方程的一般形式，進而得出答案． 【解答】解：原式可變?yōu)椋?x2﹣4x﹣1=0． 故選：C． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握定義是解題關(guān)鍵． 　 2．一元二次方程x2﹣3x=0的根是（　?。? A．x=3 B．x1=0，x2=﹣3 C．x1=0，x2= D．x1=0，x2=3 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計算題． 【分析】本題應(yīng)對方程進行變形，提取公因式x，將原式化為兩式相乘的形式x（x﹣3）=0，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來解題． 【解答】解：x2﹣3x=0 x（ x﹣3）=0 x1=0，x2=3． 故選D． 【點評】本題考查簡單的一元二次方程的解法，解此類方程只需按解一元二次方程的一般步驟按部就班即可． 　 3．下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故A正確； B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故B錯誤； C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C錯誤； D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D錯誤． 故選：A． 【點評】本題考查了中心對稱及軸對稱的知識，解題時掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合． 　 4．如圖，已知⊙O的半徑為13，弦AB長為24，則點O到AB的距離是（　?。? A．6 B．5 C．4 D．3 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【分析】過O作OC⊥AB于C，根據(jù)垂徑定理求出AC，根據(jù)勾股定理求出OC即可． 【解答】解：過O作OC⊥AB于C， ∵OC過O， ∴AC=BC=AB=12， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5． 故選：B． 【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出OC的長． 　 5．拋物線y=﹣2（x﹣1）2+3的頂點坐標(biāo)是（　?。? A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】直接根據(jù)拋物線的頂點式進行解答即可． 【解答】解：∵拋物線的解析式為：y=﹣2（x﹣1）2+3， ∴其頂點坐標(biāo)為（1，3）． 故選B． 【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點式是解答此題的關(guān)鍵． 　 6．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點P（﹣2，3）關(guān)于原點的對稱點Q的坐標(biāo)為（　　） A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y）． 【解答】解：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，得點P（﹣2，3）關(guān)于原點對稱點P′的坐標(biāo)是（2，﹣3）． 故選：A． 【點評】關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)的關(guān)系，是需要識記的基本問題．記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶． 　 7．在同一坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+8x+b的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】令x=0，求出兩個函數(shù)圖象在y軸上相交于同一點，再根據(jù)拋物線開口方向向上確定出a＞0，然后確定出一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一三象限，從而得解． 【解答】解：x=0時，兩個函數(shù)的函數(shù)值y=b， 所以，兩個函數(shù)圖象與y軸相交于同一點，故B、D選項錯誤； 由A、C選項可知，拋物線開口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過第一三象限， 所以，A選項錯誤，C選項正確． 故選C． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)等． 　 8．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（　?。? A． B． C． D． 【考點】根的判別式． 【專題】判別式法． 【分析】先根據(jù)判別式的意義得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根據(jù)題意得△=（﹣3）2﹣4m＞0， 解得m＜． 故選：B． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根． 　 9．把拋物線y=﹣經(jīng)（　?。┢揭频玫統(tǒng)=﹣﹣1． A．向右平移2個單位，向上平移1個單位 B．向右平移2個單位，向下平移1個單位 C．向左平移2個單位，向上平移1個單位 D．向左平移2個單位，向下平移1個單位 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】根據(jù)兩拋物線的頂點坐標(biāo)的平移規(guī)律得到拋物線的平移規(guī)律． 【解答】解：∵拋物線y=﹣的頂點坐標(biāo)是（0，0），拋物線y=﹣﹣1的頂點坐標(biāo)是（2，﹣1）， ∴由點（0，0）向右平移2個單位，向下平移1個單位得到點（2，﹣1）， ∴把拋物線y=﹣經(jīng)向右平移2個單位，向下平移1個單位得到y(tǒng)=﹣﹣1． 故選：B． 【點評】主要考查了函數(shù)圖象的平移，拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)的求法，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式． 　 10．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠C=80，則∠A等于（　?。? A．120 B．100 C．80 D．90 【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A+∠C=180，然后把∠C的度數(shù)代入計算即可． 【解答】解：根據(jù)題意得∠A+∠C=180， 所以∠A=180﹣80=100． 故選B． 【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補；圓內(nèi)接四邊形的對邊和相等． 　 11．二次函數(shù)y=﹣x2+2x+k的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一個解x1=3，另一個解x2=（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0 【考點】拋物線與x軸的交點． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】先把x1=3代入關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出另一個解x2的值． 【解答】解：∵把x1=3代入關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得， ﹣9+6+k=0，解得k=3， ∴原方程可化為：﹣x2+2x+3=0， ∴x1+x2=3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1． 故選B． 【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，解答此類題目的關(guān)鍵是熟知拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關(guān)系． 　 12．拋物線y=ax2（a＞0）的圖象一定經(jīng)過（　?。? A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)a＞0，拋物線開口方向向上，再確定出頂點為原點，然后解答即可． 【解答】解：∵a＞0， ∴拋物線開口方向向上， 又∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，0）， ∴一定經(jīng)過第一二象限． 故選A． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)a大于0時，拋物線開口向上；當(dāng)a小于0時，拋物線開口向下，本題是基礎(chǔ)題，比較簡單． 　 13．如圖所示，在等腰直角△ABC中，∠B=90，將△ABC繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn)60后得到的△AB′C′，則∠BAC′等于（　?。? A．105 B．120 C．135 D．150 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形得出∠BAC=∠B′AC′=45，∠BAB′=60，即可求出答案． 【解答】解：∵在等腰直角△ABC中，∠B=90， ∴∠BAC=45， ∵將△ABC繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn)60后得到的△AB′C′， ∴∠BAB′=60，∠B′AC′=∠BAC=45， ∴∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60+45=105， 故選A． 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出∠BAC=∠B′AC′=45，∠BAB′=60是解此題的關(guān)鍵． 　 14．關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0有一個根為0，則a的值是（　?。? A．1 B．﹣1 C．1 D．0 【考點】一元二次方程的解． 【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x=0代入方程求出a即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2+x+a2﹣1=0有一個根為0， ∴a2﹣1=0， ∴a=1， 故選A． 【點評】本題考查一元二次方程的解的定義，解題的關(guān)鍵是漏解方程的解的定義，屬于基礎(chǔ)題中考?？碱}型． 　 15．制造一種產(chǎn)品，原來每件的成本是100元，由于連續(xù)兩次降低成本，現(xiàn)在的成本是81元，則平均每次降低成本的百分率為（　　） A．5% B．10% C．19% D．20% 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】設(shè)平均每次降低成本的百分率為x的話，經(jīng)過第一次下降，成本變?yōu)?00（1﹣x）元，再經(jīng)過一次下降后成本變?yōu)?00（1﹣x）（1﹣x）元，根據(jù)兩次降低后的成本是81元列方程求解即可． 【解答】解：設(shè)平均每次降低成本的百分率為x，根據(jù)題意得： 100（1﹣x）（1﹣x）=81， 解得：x=0.1或1.9（不合題意，舍去） 即：x=10% 故選：B． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，這是一道典型的數(shù)量調(diào)整問題，數(shù)量上調(diào)或下調(diào)x%后就變?yōu)樵瓉淼模?x%）倍，調(diào)整2次就是（1x%）2倍． 　 二．解答題： 16．解方程：x（x﹣4）=2x﹣8． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】將等號右邊化為2（x﹣4），移項后提公因式后解答． 【解答】解：方程可化為x（x﹣4）=2（x﹣4）， 移項，得x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0， 提公因式，得（x﹣2）（x﹣4）=0， 解得x1=2，x2=4． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟悉提公因式法等是解題的關(guān)鍵． 　 17．求拋物線y=2x2﹣3x+1的頂點和對稱軸． 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】將拋物線解析式配方為頂點式，可求頂點坐標(biāo)和對稱軸 【解答】解：∵y=2x2﹣3x+1=2（x﹣）2﹣， ∴拋物線y=2x2﹣3x+1的頂點坐標(biāo)為（，﹣），對稱軸是x=． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的三種形式的轉(zhuǎn)化，二次函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟練掌握配方法是以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 18．如圖所示，D、E分別是弧、的中點，DE交AB于M、交AC于N．求證：AM=AN． 【考點】垂徑定理． 【專題】證明題． 【分析】連接DO，EO，根據(jù)垂徑定理的推論可得，OD⊥AB，OE⊥AC，因為OD=OE，可得∠EDO=∠DEO，根據(jù)等角的余角相等，可得∠DMB=∠ENC，再根據(jù)對頂角相等，可得∠AMN=∠ANM，∴AM=AN． 【解答】證明：連接DO，EO，∵D是中點，E是中點， ∴OD⊥AB，OE⊥AC． 又∵∠EDO=∠DEO， ∴∠DMB=180﹣∠EDO﹣90，∠ENC=180﹣90﹣∠DEO． ∴∠DMB=∠ENC． 而∠AMN=∠DMB，∠ENC=∠ANM， ∴∠AMN=∠ANM． ∴AM=AN． 【點評】此題主要考查垂徑定理的推論，綜合利用了等角的余角相等和對頂角相等等知識點． 　 19．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的頂點均在格點上，請按要求完成下列步驟： （1）畫出將△ABC向右平移3個單位后得到的△A1B1C1，再畫出將△A1B1C1繞點B1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90后所得到的△A2B1C2； （2）求線段B1C1旋轉(zhuǎn)到B1C2的過程中，點C1所經(jīng)過的路徑長． 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換． 【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置以及利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置畫出圖形即可； （2）根據(jù)弧長計算公式求出即可． 【解答】解：（1）如圖所示： （2）點C1所經(jīng)過的路徑長為： =2π． 【點評】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)與平移變換以及弧長公式應(yīng)用等知識，根據(jù)已知得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵． 　 20．如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置． （1）旋轉(zhuǎn)中心是點　A　，旋轉(zhuǎn)角度是　90　度； （2）若連結(jié)EF，則△AEF是　等腰直角　三角形；并證明； （3）若四邊形AECF的面積為25，DE=2，求AE的長． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的定義，即可解決問題． （2））根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的定義，即可解決問題． （3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的定義得到△ADE≌△ABF，進而得到S四邊形AECF=S正方形ABCD=25，求出AD的長度，即可解決問題． 【解答】解：（1）如圖，由題意得： 旋轉(zhuǎn)中心是點A，旋轉(zhuǎn)角度是90度． 故答案為A、90． （2）由題意得：AF=AE，∠EAF=90， ∴△AEF為等腰直角三角形． 故答案為等腰直角． （3）由題意得：△ADE≌△ABF， ∴S四邊形AECF=S正方形ABCD=25， ∴AD=5，而∠D=90，DE=2， ∴． 【點評】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識，這是靈活運用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵． 　 21．若x1、x2是方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22﹣x1x2=21，求m的值． 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】計算題． 【分析】先利用判別式得到m≤0，再由根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2+4，利用完全平方公式變形x12+x22﹣x1x2=2得到（x1+x2）2﹣3x1x2=21，所以4（m﹣2）2﹣3（m2+4）=21，然后解關(guān)于m的方程即可得到滿足條件的m的值． 【解答】解：根據(jù)題意得△=4（m﹣2）2﹣4（m2+4）≥0，解得m≤0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2+4， ∵x12+x22﹣x1x2=21， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2=21， ∴4（m﹣2）2﹣3（m2+4）=21， 整理得m2﹣16m﹣17=0，解得m1=17，m2=﹣1， 而m≤0， ∴m=﹣1． 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=﹣，x1x2=．注意m的值要△≥0． 　 22．如圖，△ABC與△DEA是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90，BC分別與AD、AE相交于點F、G，BF≠CG．下面是小明、小穎兩位同學(xué)對BF、FG、GC這三條線段之間的關(guān)系式BF2+GC2=FG2進行探究的部分過程，請你幫小明、小穎完成后面的證明過程． 小明：如圖甲，把△ABF沿AD折疊，得△ABF≌△APF，連接PG，… 小穎：如圖乙，把△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至△ACP，得△ABF≌△ACP，連接PG，… 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱． 【分析】小明：把△ABF沿AD折疊，得△ABF≌△APF，連接PG，利用三角形全等的知識證明∠FPG=∠B+∠C=90，進而可以證明BF、FG、GC之間的關(guān)系； 小穎：把△ABF旋轉(zhuǎn)至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知識證明∠ACP+∠ACB=90，進而可以證明BF、FG、GC之間的關(guān)系． 【解答】解：小明： 如圖甲，把△ABF沿AD折疊，得△ABF≌△APF，連接PG，則 ∠B=∠C=∠APF=45，AP=AB=AC，BF=FP，∠BAF=∠PAF， ∵∠DAE=45，∠BAC=90， ∴∠PAF+∠PAG=∠BAF+∠CAG， ∴∠PAG=∠CAG， 在△PAG和△CAG中， ， ∴△PAG≌△CAG（SAS）， ∴CG=GP，∠APG=∠C=45， ∴∠FPG=45+45=90， ∴在Rt△PFG中，GF2=PG2+PF2FG2=BF2+GC2． 小明： 如圖乙，把△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至△ACP，得△ABF≌△ACP，連接PG， ∴∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B=45， ∵∠DAE=45，∠BAC=90， ∴∠1+∠3=45， ∴∠4+∠3=45， ∴∠2=∠4+∠3=45， ∴∠2=∠PAG， 在△FAG和△PAG中， ， ∴△AFG≌△AGP（SAS）， ∴FG=GP， ∵∠ACP+∠ACB=45+45=90， ∴在Rt△PGC中，GP2=GC2+CP2， ∴FG2=BF2+GC2． 【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)和軸對稱的知識，以及全等三角形的判定方法． 　 23．某商店經(jīng)營兒童玩具，已知成批購進時的單價是20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價是30元時，月銷售量是200件，而銷售單價每上漲2元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元．設(shè)每件玩具的銷售單價上漲了x元時，月銷售利潤為y元． （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍． （2）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2280元？ （3）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤達到最大？最大為多少元？ 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)利潤=銷售數(shù)量每件的利潤，列出式子即可解決問題． （2）利用（1）的關(guān)系式，y=2280，解方程即可解決問題． （3）利用配方法，根據(jù)函數(shù)的增減性即可解決問題． 【解答】解：（1）y=（30+x﹣20）（200﹣10）=﹣5x2+150x+2000．（0＜x≤10）． （2）y=2280時，﹣5x2+150x+2000=2280， 整理得到x2﹣30x+56=0， 解得x=2或28（舍棄）， ∴售價定為32元時，月銷售利潤恰為2280元． （3）∵y=﹣5x2+150x+2000=﹣5（x﹣15）2+3125， ∴x＜15時，y隨x增大而增大， ∵0＜x≤10， ∴x=10時，y最大值=3000， ∴每件玩具的售價定為40元時，月銷售利潤達到最大，最大值為3000元． 【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、利潤、銷售數(shù)量、單價、進價之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型． 　 24．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知等腰Rt△ABC的直角邊 BC=2，且BC在x軸正半軸上滑動，設(shè)點 C 的橫坐標(biāo)為m，經(jīng)過O、C兩點得到拋物線 y1=ax（x﹣m）（a為常數(shù)，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點E．直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k＞0） （1）填空：用含m的代數(shù)式表示點A的坐標(biāo)及k的值：A﹙　m　，　2　﹚，k=　（k＞0）??； （2）隨著三角板的滑動，當(dāng)時： ①試證明：拋物線y1=ax（x﹣m）的頂點在函數(shù)的圖象上； ②當(dāng)三角板滑至點E為AB的中點時，求m的值； （3）直線OA與拋物線的另一個交點為點D，當(dāng)m≤x≤m+2，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥m+2時，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，求a與m的關(guān)系式． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)題意易得點A的橫坐標(biāo)與點C的相同，點A的縱坐標(biāo)即是線段AC的長度；把點A的坐標(biāo)代入直線OA的解析式來求k的值； （2）①求得拋物線y1的頂點坐標(biāo)，然后把該坐標(biāo)代入函數(shù)y=﹣x2，若該點滿足函數(shù)解析式y(tǒng)=﹣x2，即表示該頂點在函數(shù)y=﹣x2圖象上；反之，該頂點不在函數(shù)y=﹣x2圖象上； ②如圖1，過點E作EK⊥x軸于點K．則EK是△ACB的中位線，所以根據(jù)三角形中位線定理易求點E的坐標(biāo)，把點E的坐標(biāo)代入拋物線y1=x（x﹣m）即可求得m=1； （3）如圖2，根據(jù)拋物線與直線相交可以求得點D橫坐標(biāo)是+m．則m+2=+m，由此可以求得a與m的關(guān)系式． 【解答】解：（1）∵等腰Rt△ABC的直角邊 BC=2， ∵點 C 的橫坐標(biāo)為m， ∴AC=2， ∴點A的坐標(biāo)是（m，2）． 又∵直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k＞0）， ∴2=km，則k=（k＞0）． 故答案為：m，2；（k＞0）． （2）①當(dāng)a=時，y1=x（x﹣m），其頂點坐標(biāo)為（，﹣）． 對于y=﹣x2來說，當(dāng)x=時，y=﹣=﹣，即點（，﹣）在拋物線y=﹣x2上． 故當(dāng)a=時，拋物線y1=ax（x﹣m）的頂點在函數(shù)y=﹣x2的圖象上； ②如圖， 過點E作EK⊥x軸于點K． ∵AC⊥x軸， ∴AC∥EK． ∵點E是線段AB的中點， ∴K為BC的中點， ∴EK是△ACB的中位線， ∴EK=AC=1，CK=BC=1， ∴E（m+1，1）． ∵點E在拋物線y1=x（x﹣m）上， ∴（m+1）（m+1﹣m）=1， 解得m=1． （3）如圖2， ∵直線OA與拋物線的另一個交點為點D ∴，則x=ax（x﹣m）， 解得x=，或x=0（不合題意，舍去）． 故點D的橫坐標(biāo)是， 當(dāng)x=，時，|y2﹣y1|=0，由題意得m+2=， ∴am=1． ∵y2﹣y1=x﹣ax（x﹣m）=﹣ax2+（am+）x=﹣a[x2﹣（m+）x+（+）2]+a（+）2 =﹣a[x﹣（+）]2+a（+）2 ∴當(dāng)x=+時，y2﹣y1取得最大值， 又∵當(dāng)x=時，|y2﹣y1|=0， ∴當(dāng)+≤x≤+m時，|y2﹣y1|隨x的增大而減??；當(dāng)x≥+m時，|y2﹣y1|隨x的增大而增大． 根據(jù)題意需要滿足當(dāng)m≤x≤m+2，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥m+2時，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大， ∴m≥+可滿足條件， ∵am=1， ∴解得m≥2． 綜上所述，a與m的關(guān)系式及m的取值范圍為am=1（m≥2）． 【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)與二次函數(shù)交點坐標(biāo)等知識點．解題時，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．