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豐臺區(qū)2016—2017學年度第一學期期末練習 高三數(shù)學（文科） 第一部分 （選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知集合，，那么等于 (A) (B) (C) (D) 2．如果，那么下列不等式一定成立的是 (A) (B) (C) (D) 3．如圖，矩形中，，，向該矩形內隨機投一質點，則質點落在 四邊形內的概率為 (A) (B) (C) (D) 4．已知直線，和平面，如果，那么“”是“”的 (A) 充分而不必要條件 (B) 必要而不充分條件 (C) 充分必要條件 (D) 既不充分也不必要條件 5．平面向量，，，如果 ，且，那么實數(shù)， 的值分別是 (A) ， (B) ， (C) ， (D) ， 6．在△中，，，，則的值為 (A) (B) (C) 或 (D) 或 7. 學校計劃在周一至周四的藝術節(jié)上展演《雷雨》、《茶館》、《天籟》和《馬蹄聲碎》四部話劇，每天一部.受多種因素影響，話劇《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶館》不能在周一和周三上演；《天籟》不能在周三和周四上演；《馬蹄聲碎》不能在周一和周四上演.那么下列說法正確的是 (A) 《雷雨》只能在周二上演 (B) 《茶館》可能在周二或周四上演 (C) 周三可能上演《雷雨》或《馬蹄聲碎》 (D) 四部話劇都有可能在周二上演 8. 已知函數(shù)．給出下列命題： ①當時，，都有； ②當時，，都有； ③當時，，使得． 其中真命題的個數(shù)是 (A) (B) (C) (D) 第二部分 （非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 9. 設是虛數(shù)單位，則復數(shù)= ． 10. 設雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線C上，如果 ，那么該雙曲線的漸近線方程為 ． 11．若滿足 則的最大值為____. 12．已知過點的直線交圓于，兩點，，則直線的方程為____． 13. 中國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則．例如《周髀算經(jīng)》和《易經(jīng)》里對二十四節(jié)氣的晷(guǐ)影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的.下表為《周髀算經(jīng)》對二十四節(jié)氣晷影長的記錄，其中寸表示115寸分（1寸=10分）. 節(jié)氣 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 驚蟄 (寒露) 春分 (秋分) 清明 (白露) 谷雨 (處暑) 立夏 (立秋) 小滿 (大暑) 芒種 (小暑) 夏至 晷影長 （寸） 已知《易經(jīng)》中記錄的冬至晷影長為130.0寸，夏至晷影長為14.8寸，那么《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長應為____寸． 14．如圖，邊長為2的正三角形ABC放置在平面直角坐標系xOy中，AC在x軸上，頂點B與y軸上的定點P重合．將正三角形ABC沿x軸正方向滾動，即先以頂點C為旋轉中心順時針旋轉，當頂點B落在軸上時，再以頂點B為旋轉中心順時針旋轉，如此繼續(xù)．當△ABC滾動到△時，頂點B運動軌跡的長度為 ；在滾動過程中，的最大值為____． 三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程． 15.（本小題共13分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間[]上的最值． 16.（本小題共13分） 已知等差數(shù)列滿足，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前8項和． 17.（本小題共14分） 如圖,三棱柱中，，，，是的中點． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求證：⊥平面； （Ⅲ）若，，求三棱柱的體積． 18.（本小題共13分） 近幾年，“互聯(lián)網(wǎng)+”已經(jīng)影響了多個行業(yè)，在線教育作為現(xiàn)代信息技術同教育相結合的產(chǎn)物，也引發(fā)了教育領域的變革．目前在線教育主要包括在線測評、在線課堂、自主學習、線下延伸四種模式．為了解學生參與在線教育情況，某區(qū)從2000名高一學生中隨機抽取了200名學生，對他們參與的在線教育模式進行調查，其調查結果整理如下：(其中標記“√”表示參與了該項在線教育模式)． 教育模式 人數(shù)（人） 在線測評 在線課堂 自主學習 線下延伸 25 √ √ √ 45 √ 40 √ √ 30 √ √ √ 40 √ √ 20 √ √ （Ⅰ）試估計該區(qū)高一學生中參與在線課堂教育模式的人數(shù)； （Ⅱ）在樣本中用分層抽樣的方法從參與自主學習的學生中抽取5人，現(xiàn)從這5人中隨機抽取2人，求這2人都參與線下延伸教育模式的概率． 19.（本小題共13分） 已知橢圓：的右焦點為，離心率為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過F且斜率為1的直線交橢圓于M，N兩點，P是直線上任意一點．求證：直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列． 20.（本小題共14分） 已知函數(shù)． (Ⅰ)求曲線在點處的切線方程； (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍； (Ⅲ)若，且方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的最小值． 豐臺區(qū)2016~2017學年度第一學期期末練習 高三數(shù)學（文科）參考答案及評分參考 2017．01 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分． 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B A D C B 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 9． 10． 11．4 12．或 13．82 14．；2 三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程． 15．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）由題意可知， ……………………2分 ……………………4分 由此可知，. ……………………6分 （Ⅱ）由可知， ，進而， ……………………8分 當時，， ……………………9分 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為． …………13分 16．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）因為，所以 ……………………2分 又，可得， ……………………4分 從而. ……………………6分 （Ⅱ）因為 ……………………7分 所以數(shù)列的前8項和為 ……………………13分17．（本小題共14分） 證明：（Ⅰ）連接交于，連接， 因為分別為，的中點，所以 ……………………2分 又因為平面，平面， 所以平面. ……………………4分 （Ⅱ）因為，是的中點， 所以. ……………………5分 又因為，， 所以△為等邊三角形，所以 ……………………7分 因為，所以⊥平面 ……………………9分 （Ⅲ）因為△與△都是邊長為2的正三角形， 所以， 因為， 所以， 所以， ……………………11分 又因為 ，， 所以平面， 即是三棱柱的高， ……………………13分 故三棱柱的體積 ……………………14分 18．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）因為在樣本200人中參與在線測試的共150人 ……………………2分 所以全區(qū)2000名高一學生中參與在線課堂的人數(shù)為人 ………5分 （Ⅱ）記“抽取參加測試的2人都參加了線下延伸”為事件A ……………………6分 用分層抽樣抽取的5人中，有3人參加了自主學習和線下延伸，記為1，2，3； 有2人參加了自主學習和在線測評，記為a,b. ……………………8分 6人中抽取2人，共有（1，2）（1，3）（1，a）（1，b）（2，3）（2，a）（2，b）（3，a） （3，b）（a，b）10種取法 ……………………10分 其中事件A包含3個． ……………………11分 所以 ……………………13分 19．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）由已知得：，，所以 所以橢圓的標準方程為 ……………………4分 （Ⅱ）設，， 設直線MN的方程為： ……………………6分 由得： ……………………7分 ， ……………………8分 ……………9分 因為 ，所以 ……………………12分 所以直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列. ……………………13分 20．（本小題共14分） 解：（Ⅰ）因為,所以， 因為， 所以曲線在點，處的切線方程為. ……………………4分 （Ⅱ）因為，所以， 當時，在上恒成立， 所以在上單調遞增，沒有極值點，不符合題意；……………………5分 當時，令得， 當變化時，與的變化情況如下表所示： (-∞,) (,) (,+∞) + 0 - 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 當 ……………………7分 因為函數(shù)在區(qū)間，僅有一個極值點， 所以所以. ……………………9分 (Ⅲ) 令， 方程在上恰有兩個實數(shù)根等價于函數(shù)在上恰有兩個零點. ， 因為，令，得， ……………………10分 所以所以 ， 所以 ……………………12分 因為，所以恒成立. 所以，所以實數(shù)的最小值為2. ……………………14分 恒成立，證明如下： 令， 所以， 令，， 當時，， 所以在上單調遞增， 所以. （若用其他方法解題，請酌情給分）