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石景山區(qū)2016—2017學(xué)年第一學(xué)期高三年級期末試卷 數(shù)學(xué)（文） 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知集合,,那么等于（ ） A． B． C． D． 是 否 開始 結(jié)束 2．復(fù)數(shù)（ ） A． B． C． D． 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值是（ ） A． B． C． D． 4．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ） A． B． C． D． 5．已知關(guān)于的一次函數(shù)，設(shè)，，則函數(shù) 是增函數(shù)的概率是（ ） A． B． C． D． 6．一個四棱錐的三視圖如右圖所示， 這個四棱錐的體積為（ ） 側(cè)視圖 正視圖 4 2 俯視圖 3 A． B． C． D． 7．已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則的值為（ ） A． B． C． D． 8．六名同學(xué)A、B、C、D、E、F舉行象棋比賽，采取單循環(huán)賽制，即參加比賽的每兩個人之間僅賽一局．第一天，A、B各參加了局比賽，C、D各參加了局比賽，E參加了2局比賽，且A與C沒有比賽過，B與D也沒有比賽過．那么F在第一天參加的比賽局?jǐn)?shù)為（） A． B． C． D． 第二部分（非選擇題共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 9．向量，，與夾角的大小為______________． 10．函數(shù)的最大值為_______________． 11．已知中，，，，則的面積為． 12若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦點坐標(biāo)是． 13．設(shè)變量，滿足約束條件則的最大值為_______． 14．甲、乙、丙三廠聯(lián)營生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)品是哪個廠生產(chǎn)就在產(chǎn)品上蓋哪個廠的廠名，如果是兩個廠或三個廠聯(lián)合生產(chǎn)，那么產(chǎn)品上就蓋上兩個廠或三個廠的廠名．今有一批產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)蓋過甲廠、乙廠、丙廠的廠名的產(chǎn)品分別為18件、24件、30件，同時蓋過甲、乙廠，乙、丙廠，丙、甲廠的產(chǎn)品，分別有12件、14件、16件． ①產(chǎn)品上蓋有甲廠廠名沒有蓋乙廠廠名的產(chǎn)品共有件； ②這批產(chǎn)品的總數(shù)最多有件． 三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程． 15．（本小題共13分） 已知等比數(shù)列的公比為，且，, 成等差數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列是一個首項為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列 的前項和． 16．（本小題共13分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最大值． 17．（本小題共13分） 新高考政策已經(jīng)在上海和浙江試驗實施．為了解學(xué)生科目選擇的意向，從某校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取30位同學(xué)，對其選課情況進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下： 科目選擇 物理 化學(xué) 生物 歷史 地理 政治 物理 化學(xué) 地理 歷史 地理 生物 物理 政治 歷史 其他 頻率 （Ⅰ）若所抽取的30位同學(xué)中，有2位同學(xué)選擇了“歷史、地理、生物”組合， 3位同學(xué)選擇了“物理、政治、歷史”組合．求、、的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，將選擇了“歷史、地理、生物”組合的2位同學(xué)記為x1、x2，選擇了“物理、政治、歷史”組合的3位同學(xué)記為y1、y2、y3．現(xiàn)從這5位同學(xué)中任取2位（假定每位同學(xué)被抽中的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩位同學(xué)科目選擇恰好相同的概率． 18．（本小題共14分） 如圖1，等腰梯形中，∥，于點，，且． 沿把折起到的位置（如圖2），使． （Ⅰ）求證：⊥平面； （Ⅱ）求三棱錐的體積； P′ A B C D （Ⅲ）線段上是否存在點，使得∥平面．若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由． B C A P D 圖1圖2 19．（本小題共14分） 已知橢圓的離心率為，點在橢圓上． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）過點的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于兩點，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為．直線與軸的交點是否為定點？請說明理由． 20．（本小題共13分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）若在點處的切線方程為，求的值； （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）當(dāng)時，設(shè)在處取到極值，記． ，，，判斷直線、、與函數(shù)的圖象各有幾個交點（只需寫出結(jié)論）． 石景山區(qū)2016—2017學(xué)年第一學(xué)期期末考試 高三數(shù)學(xué)（文）參考答案 一．選擇題共8小題，每小題5分，共40分． 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B D A B C D 二．填空題共6小題，每小題5分，共30分． 題號 9 10 11 12 13 14 答案 3 三．解答題共6小題，共80分． 15．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）因為成等差數(shù)列， 所以． ……2分 所以． 所以． 所以． ……4分 所以．……6分 （Ⅱ）．……8分 所以．……9分 所以 ==．………13分 16．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）……1分 ……2分 ，……4分 因此的最小正周期為．…………6分 （Ⅱ）當(dāng)時，，………8分 當(dāng)，有最大值．………10分 即時，的最大值為．……………13分 17．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）由頻率分布表得，……2分 因為抽取的30位同學(xué)中，有2位同學(xué)選擇了史地生組合，所以， 有3位同學(xué)選擇了理政史組合，所以，從而 所以，，．……5分 （Ⅱ）從位同學(xué)，中任取位，所有可能的結(jié)果為： ，，，，， ，，，，．……8分 設(shè)事件表示“從這5位同學(xué)中任取2位，這兩位同學(xué)科目選擇恰好相同”， 則包含的基本事件為：，，，共個， 又基本事件的總數(shù)為，故所求的概率．……13分 18．（本小題共14分） 解：（Ⅰ）因為，所以⊥． 因為在等腰梯形中，⊥，所以在四棱錐中，⊥． 又，所以⊥面． 因為面，所以⊥．……3分 因為等腰梯形中，，，且． 所以，，．所以． 所以⊥． 因為=, 所以⊥平面． ……5分 （Ⅱ）,……7分 因為⊥面． 所以． ……9分 （Ⅲ）存在一點，為的中點，使得∥面， ……10分 P′ A B C D M N 證明：取中點，中點，連結(jié)，，， 因為，為中點， 所以∥，=， P′ A B C D P′ A B C D P′ A B C D P′ A B C D 因為∥，=， 所以∥，=． 所以四邊形為平行四邊形 ．……12分 所以∥． 因為面，面． 所以∥平面．…………………………14分 19．（本小題共14分） 解：（Ⅰ）因為點在橢圓上，所以． 又因為，所以． 所以． 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：． ……………………5分 （Ⅱ）設(shè)． 設(shè)直線：．……………………6分 聯(lián)立，得：． 所以，．……………8分 直線的方程為，……………9分 令，解得………11分 又， 所以．………13分 所以直線與軸的交點是定點，坐標(biāo)為．………14分 20．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）由題意, ……………1分 因為在點處切線方程為， 所以，解得， 經(jīng)檢驗時滿足條件． ……………3分 （Ⅱ）由（I） 令，則或,……………4分 ① 當(dāng)時，， 令，解得或; 令，解得． 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和， 單調(diào)減區(qū)間為． ……………6分 ② 當(dāng)時，，此時，恒成立， 且僅在處， 故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．……………7分 ③ 當(dāng)時，， 同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和， 單調(diào)減區(qū)間為．……………9分 （Ⅲ）直線與的圖象的交點個數(shù)是個；…………10分 直線與的圖象的交點個數(shù)是個；……………11分 直線與的圖象的交點個數(shù)是個．……………13分 【注：若有其它解法，請酌情給分．】