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普寧市華僑中學(xué)2017屆高三級上學(xué)期期末考 理科數(shù)學(xué)試題 注意事項： 1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卷上。 2.用2B鉛筆將選擇題答案在答題卷對應(yīng)位置涂黑；答案不能答在試卷上。 3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；不準使用鉛筆或涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4.考生必須保持答題卷的整潔。 一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把正確答案填在答題卡相應(yīng)位置．） 1．設(shè)集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，則A∩B=（　　） A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 2．復(fù)數(shù)i（3﹣i）的共軛復(fù)數(shù)是（　?。? A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 3．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，則實數(shù)a的值為（　?。? A．﹣2 B．﹣ C． D．2 4．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（　　） A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α C．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m 5．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（　　） A．y= B．y=x2 C．y=x3 D．y=sinx 6．要得到函數(shù)y=sin2x的圖象，只要將函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象（　　） A．向左平行移動個單位 B．向左平行移動個單位 C．向右平行移動個單位 D．向右平行移動個單位 7．不等式組，所表示的平面區(qū)域的面積等于（　　） A． B． C． D． 8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值等于（　?。? A．1 B． C．0 D．﹣ 9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（　?。? A．96 B． C． D． 10．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個問題中，甲所得為（　?。? A．錢 B．錢 C．錢 D．錢 11．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1： +=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點M，∠F1MF2=90，若橢圓的離心率e=，則雙曲線C2的離心率e1為（　?。? A． B． C． D． 12．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1處有極值，則ab的最大值（　?。? A．2 B．3 C．6 D．9 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡相應(yīng)題中的橫線上． 13．已知等比數(shù)列{an}的公比q為正數(shù)，且a3a9=2a52，則q=　?。? 14．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2，且函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率是，則a=　?。? 15．在平面直角坐標系xOy中，點F為拋物線x2=8y的焦點，則點F到雙曲線x2﹣=1的漸近線的距離為　?。? 16．下列四個命題： ①一個命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真； ②等差數(shù)列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則公差為﹣； ③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則+的最小值為5+2； ④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，則△ABC為銳角三角形． 其中正確命題的序號是　?。ò涯阏J為正確命題的序號都填上） 三.解答題（共6題，共70分） 17.（本題滿分12分） 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知ban﹣2n=（b﹣1）Sn （Ⅰ）證明：當b=2時，{an﹣n?2n﹣1}是等比數(shù)列； （Ⅱ）求{an}的通項公式． 18.（本題滿分12分） 如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D 不同于點C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點．求證： （1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直線A1F∥平面ADE． 19.（本題滿分12分） 某學(xué)校高三年級800名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)吭?2秒到17秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，如圖是根據(jù)上述分組得到的頻率分布直方圖． （1）若成績小于13秒被認為優(yōu)秀，求該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)； （2）請估計本年級800名學(xué)生中，成績屬于第三組的人數(shù)； （3）若樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，現(xiàn)從第一、第五組中各抽取1名學(xué)生組成一個實驗組，求所抽取的2名同學(xué)中恰好為一名男生和一名女生的概率． 20.（本題滿分12分） 如圖，已知橢圓+y2=1的四個頂點分別為A1，A2，B1，B2，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若圓C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）上有且只有一個點P滿足=． （1）求圓C的半徑r； （2）若點Q為圓C上的一個動點，直線QB1交橢圓于點D，交直線A2B2于點E，求的最大值． 21.（本題滿分12分） 已知函數(shù)f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0 （Ⅰ）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線的方程； （Ⅱ）若f（x）在（）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求m的取值范圍 （Ⅲ）已知函數(shù)f（x）有三個互不相同的零點0，x1，x2且x1＜x2，若對任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范圍 【選做題】請考生從22、23題中任選一題作答，共10分 22.（選修4-4.坐標系與參數(shù)方程） 在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C 的極坐標方程為． （1）寫出直線l的普通方程及圓C 的直角坐標方程； （2）點P是直線l上的，求點P 的坐標，使P 到圓心C 的距離最小． 23.（選修4-5.不等式選講） 已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在實數(shù)x使f（x）＜2成立． （Ⅰ）求實數(shù)m的值； （Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求證： +≥． 普寧市華僑中學(xué)2017屆高三級上學(xué)期期末考 理科數(shù)學(xué)參考答案 1．B． 2．B． 3．D． 4．B . 5．C． 6．B． 7．C． 8．A． 9．C． 10．B． 11．B． 12．D． 13．． 14． 15．． 16．①③． 17.解：（Ⅰ）當b=2時，由題意知2a1﹣2=a1，解得a1=2， 且ban﹣2n=（b﹣1）Sn ban+1﹣2n+1=（b﹣1）Sn+1 兩式相減得b（an+1﹣an）﹣2n=（b﹣1）an+1 即an+1=ban+2n①（3分） 當b=2時，由①知an+1=2an+2n 于是an+1﹣（n+1）?2n=2an+2n﹣（n+1）?2n=2（an﹣n?2n﹣1） 又a1﹣1?20=1≠0，所以{an﹣n?2n﹣1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．（6分） （Ⅱ）當b=2時，由（Ⅰ）知an﹣n?2n﹣1=2n﹣1， 即an=（n+1）2n﹣1 當b≠2時，由①得 == 因此= 即（10分） 所以．（12分） 18. （1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC， ∵AD?平面ABC， ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線 ∴AD⊥平面BCC1B1， ∵AD?平面ADE ∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（6分） （2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點 ∴A1F⊥B1C1， ∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1， ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線 ∴A1F⊥平面BCC1B1 又∵AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD ∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE， ∴直線A1F∥平面ADE．（12分） 19. （1）由頻率分布直方圖，得成績小于13秒的頻率為0.06， ∴該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)為： 0.0650=3（人）．（3分） 由頻率分布直方圖，得第三組[14，15）的頻率為0.38， ∴估計本年級800名學(xué)生中，成績屬于第三組的人數(shù)為： 8000.38=304（人）．（6分） （2）由頻率分布直方圖，得第一組的頻率為0.06，第五組的頻率為0.08， ∴第一組有500.06=3人，第五組有500.08=4人， ∵樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生， ∴第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生， 現(xiàn)從第一、第五組中各抽取1名學(xué)生組成一個實驗組， 基本事件總數(shù)n==12，（9分） 所抽取的2名同學(xué)中恰好為一名男生和一名女生，包含的基本事件個數(shù)m==7，（10分） ∴所求概率為p=．（12分） 20. （1）由橢圓+y2=1可得F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）， 設(shè)P（x，y），∵=，∴=，化為：x2﹣3x+y2+1=0，即=． 又（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）， ∵圓C上有且只有一個點P滿足=． ∴上述兩個圓外切， ∴=r+，解得r=．（4分） （2）直線A2B2方程為：，化為=． 設(shè)直線B1Q：y=kx﹣1， 由圓心到直線的距離≤，可得：k∈． 聯(lián)立，解得E．（6分） 聯(lián)立，化為：（1+2k2）x2﹣4kx=0，解得D．（7分） ∴|DB1|==． |EB1|==， ∴===|1+|，（9分） 令f（k）=，f′（k）=≤0， 因此函數(shù)f（k）在k∈上單調(diào)遞減．（10分） ∴k=時， =|1+|=取得最大值．（12分） 21. （Ⅰ）當m=2時，f（x）=x3+x2+3x， ∴f′（x）=﹣x2+2x+3， 故k=f′（3）=0， 又∵f（3）=9， ∴曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為：y=9，（3分） （Ⅱ）若f（x）在（）上存在單調(diào)遞增區(qū)間， 即存在某個子區(qū)間（a，b）?（，+∞）使得f′（x）＞0， ∴只需f′（）＞0即可， f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1， 由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞， 由于m＞0，∴m＞．（6分） （Ⅲ）由題設(shè)可得， ∴方程有兩個相異的實根x1，x2， 故x1+x2=3，且 解得：（舍去）或，（8分） ∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴， 若 x1≤1＜x2， 則， 而f（x1）=0，不合題意． 若1＜x1＜x2，對任意的x∈， 有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0， 則， 又f（x1）=0，所以 f（x）在上的最小值為0， 于是對任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是， 解得； （10分） 綜上，m的取值范圍是．（12分） 22. （1）∵在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為， ∴t=x﹣3，∴y=， 整理得直線l的普通方程為=0， ∵，∴， ∴， ∴圓C的直角坐標方程為：．（5分） （2）圓C：的圓心坐標C（0，）． ∵點P在直線l： =0上，設(shè)P（3+t，）， 則|PC|==， ∴t=0時，|PC|最小，此時P（3，0）．（5分） 23. （I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|， ∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，則|m|＜2，解得﹣2＜m＜2． ∵m∈N*，∴m=1．（5分） （II）證明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2， ∴α+β=2． ∴+==≥=，當且僅當α=2β=時取等號．（10分）