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成外高2014級(jí)高三（上）期末考試（2017年2月） 數(shù) 學(xué)（理工類） 本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分 注意事項(xiàng)： 1．答題前，考試務(wù)必先認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)和座位號(hào)，無誤后將本人姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和座位號(hào)填寫在相應(yīng)位置， 2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)； 3．答題時(shí)，必須使用黑色簽字筆，將答案規(guī)范、整潔地書寫在答題卡規(guī)定的位置上； 4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效； 5．考試結(jié)束后將答題卡交回，不得折疊、損毀答題卡。 第I卷 一、選擇題 1．已知（1+i）?z=﹣i，那么復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（ ） A B [-1,1] C D (-1,1] 3、拋物線的準(zhǔn)線方程是 ( ) A B C D 4、若,使得 -成立是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A B C D {3} 5．已知角α終邊與單位圓x2+y2=1的交點(diǎn)為， 則=（　　） A． B． C． D．1 6．執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的S的值為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 7．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，第1天織了5尺布，現(xiàn)在一月（按30天計(jì)算）共織390尺布，記該女子一月中的第n天所織布的尺數(shù)為an，則a14+a15+a16+a17的值為（　?。? A．55 B．52 C．39 D．26 8．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，則角A的大小為（　?。? A． B． C． D． 9．若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為 （ ） A B C D 10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90，AC=BC=1，點(diǎn)M，N分別是AB，BC中點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC（含邊界）內(nèi)任意一點(diǎn)，則?的取值范圍是（　?。? A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，] 11 ．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn)，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長(zhǎng)度的取值范圍是（　　） A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，] 12．設(shè)函數(shù)是函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（0）=1，且3f（x）=﹣3，則4f（x）＞的解集為（　?。? A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞） 第Ⅱ卷 二、填空題. 13、已知錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。,則錯(cuò)誤！未找到引用源。_______ 14．已知直線L經(jīng)過點(diǎn)P（﹣4，﹣3），且被圓（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦長(zhǎng)為8，則直線L的方程是　 　． 15若直線ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）過曲線y=1+sinπx（0＜x＜2）的對(duì)稱中心，則+的最小值為 ?。? 16．定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有函數(shù)f（x）=x3+mx是區(qū)間[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　 　． 三、解答題 17．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，，∠BAC=θ，a=4． （Ⅰ）求b?c的最大值及θ的取值范圍； （Ⅱ）求函數(shù)的最值． 18．（12分）如圖，在Rt△AOB中，，斜邊AB=4，D是AB中點(diǎn)，現(xiàn)將Rt△AOB以 直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，且∠BOC=90， （1）求圓錐的側(cè)面積； （2）求直線CD與平面BOC所成的角的正弦值； 19.某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制， 已知所有這些學(xué)生的原始成績(jī)均分布在[50，100]內(nèi)，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表， 規(guī)定：A、B、C三級(jí)為合格等級(jí)，D為不合格等級(jí). 百分制 85分及以上 70分到84分 60分到69分 60分以下 等級(jí) A B C D 為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況， 從中抽取了n名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)， 按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示， 樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示. (1)求n和頻率分布直方圖中x，y的值； (2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該校高一學(xué)生中任選3人， 求至少有1人成績(jī)是合格等級(jí)的概率； (3)在選取的樣本中， 從A、C兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研， 記ξ表示所抽取的3名學(xué)生中為C等級(jí)的學(xué)生人數(shù)， 求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值. 20．（12分）如圖，橢圓x2+=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，雙曲線Γ以A、B為頂點(diǎn)，焦距 為2，點(diǎn)P是Γ上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)Q，線段AQ的中點(diǎn)為M，記直線AP的斜率為k，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． （1）求雙曲線Γ的方程； （2）求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM的取值范圍； （3）是否存在定直線l，使得直線BP與直線OM關(guān)于直線l對(duì)稱？若存在，求直線l方程，若不存在，請(qǐng)說明理由． 21．（12分）已知函數(shù)f（x）=lnx+． （1）當(dāng)a=2時(shí)，證明對(duì)任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1； （2）求證：ln（n+1）＞（n∈N*）． （3）若函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 四、選做題（10分）請(qǐng)考生從給出的2道題中任選一題做答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號(hào)后的方框涂黑。注意所選題目的題號(hào)必須與所涂題目的題號(hào)一致，在答題卡選答區(qū)域指定位置答題。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α是參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=． （1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； （2）求曲線C1上的任意一點(diǎn)P到曲線C2的最小距離，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)． 23．（10分）已知函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+a． （1）若不等式f（x）≤6的解集為[﹣2，3]，求實(shí)數(shù)a的值； （2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 2014級(jí)高三（上）期末考試 理科數(shù)學(xué)參考答案 一. 選擇題 BBCAA BBAAA BB 二．填空題13、1 14、x=﹣4和4x+3y+25=0 15、3+2 16、﹣3＜m≤． 三、解答題 17、解：（Ⅰ）因?yàn)?bc?cosθ=8， 根據(jù)余弦定理得：b2+c2﹣2bccosθ=42， 即b2+c2=32，（2分） 又b2+c2≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值為16， 即， 所以，又0＜θ＜π， 所以0＜θ； （Ⅱ） =，（9分） 因0＜θ，所以＜，，（10分） 當(dāng)即時(shí)，，（11分） 當(dāng)即時(shí)，f（θ）max=21+1=3．（12分） 18解：（1）∵在Rt△AOB中，，斜邊AB=4，D是AB中點(diǎn)， 將Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，且∠BOC=90， ∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)=πrl=24π=8π． （2）取OB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE， 則DE∥AO，∴DE⊥平面BOC， ∴∠DCE是直線CD與平面BOC所成的角， 在Rt△DEC中，CE=，DE=， tan=， ∴． ∴直線CD與平面BOC所成角的大小為arctan． 19.解　(1)n＝＝50，x＝＝0.004， y＝＝0.018. (2)成績(jī)是合格等級(jí)人數(shù)為(1－0.1)50＝45， 抽取的50人中成績(jī)是合格等級(jí)的頻率為，故從該校學(xué)生中任選1人， 成績(jī)是合格等級(jí)的概率為，設(shè)在該校高一學(xué)生中任選3人， 至少有1人成績(jī)是合格等級(jí)的事件為A， 則P(A)＝1－C(1－)3＝. (3) 由題意可知C等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為0.1850＝9，A等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為3， 故ξ的取值為0，1，2，3，則 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝， 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 20．解：（1）由題意，a=1，c=，b=2， ∴雙曲線Γ的方程=1； （2）由題意，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）， 直線AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入橢圓方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0 ∴x=﹣1或x2=，∴Q（，），M（﹣，） ∴yM==在（0，2）上單調(diào)遞增，∴yM∈（0，1） （3）由題意，kAP?kBP==4， 同理kAP?kOM=﹣4，∴kOM+kBP=0， 設(shè)直線OM：y=k′x，則直線BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=， ∵kOM+kBP=0，∴直線BP與OM關(guān)于直線x=對(duì)稱． 21． （1）證明：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx+， 令h（x）=lnx+﹣1，則＞0 ∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增， ∴h（x）＞h（1）=0， ∴對(duì)任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1； （2）證明：由（1）知x∈（1，+∞），lnx+＞1， 即lnx＞， 令x=，則，∴， ∴l(xiāng)n（n+1）=＞； （3）解：f′（x）=． 令f′（x）=0，則x2﹣（a﹣2）x+1=0，△=（a﹣2）2﹣4=a（a﹣4）． ①0≤a≤4時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)在（0，+∞）上遞增，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)； ②a＜0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上遞增，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)； ③當(dāng)a＞4時(shí)，△＞0，設(shè)f（x）=0的兩根分別為x1與x2， 則x1+x2=a﹣2＞0，x1?x2=1＞0，不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2 當(dāng)x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f（x）＜0， ∴函數(shù)f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上遞增，在（x1，x2）上遞減， 而 ∴x∈（x1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，且f（x1）＞0 因此函數(shù)f（x）在（0，x1）有一個(gè)零點(diǎn)，而在（x1，+∞）上無零點(diǎn)； 此時(shí)函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)； 綜上，函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為R．…（14分） 22． 解：（1）曲線C1的參數(shù)方程為（α是參數(shù)），x=2cos2α=1+cos2α，∴（x﹣1）2+y2=1． 曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=，化為ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴y﹣x=1，即x﹣y+1=0． （2）設(shè)與曲線C2平行且與曲線C1的直線方程為y=x+t，代入圓的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，∵△=4（t﹣1）2﹣8t2=0，化為t2+2t﹣1=0，解得． 取t=﹣1，直線y=x+1與切線的距離d==﹣1，即為曲線C1上的任意一點(diǎn)P到曲線C2的最小距離． 此時(shí)2x2+2（t﹣1）x+t2=0，化為=0，解得x==，y=，∴P． 23． 解：（1）原不等式可化為|2x﹣a|≤6﹣a， ∴， 解得a﹣3≤x≤3． 再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2， ∴a=1． （2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n）， ∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1）， ∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m， ∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=， ∴ymin=4， 由存在實(shí)數(shù)n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立， ∴m≥4，即m的范圍是[4，+∞）． 11