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2016—2017學年度高三級第一學期期末試題（卷） 數(shù)學（理科） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題分，共60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填在試卷的答題卡中） 1.已知集合，則( ) A. B. C. D. 2.復數(shù)在復平面上對應的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為( ) A.72 B.60 C.48 D.24 4.鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=( ) A.5 B. C.2 D.1 5.設、是實數(shù)，則“”是“”的（ ） A.充分而不必要條件 B.必要而不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 6.圓（x+1）2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為（ ） A.1 B.2 C. D.2 7. 右圖中的三個直角三角形是一個體積為20幾何體的三視圖，則( ) A. B.5 C.6 D.3 8.函數(shù)的圖象是（ ） 9.已知雙曲線（b>0），以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 10.已知函數(shù)，.若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 11．已知向量是兩個互相垂直的單位向量，且，則對任意的正實數(shù)，的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 12．設函數(shù)在上的導函數(shù)為，且，下面的不等式在上恒成立的是( ） A． B． C． D． 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）. 13．的展開式中x7的系數(shù)為__________.(用數(shù)字作答) 14．若滿足則的最大值為__________ 15．右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的，分別為14，20，則輸出的＝______． 16．在中，內(nèi)角的對邊分別為,已知,，則面積的最大值為 . 三、解答題：（本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．） 17.（本小題滿分12分） 已知在遞增等差數(shù)列中，，是和的等比中項． (1)求數(shù)列的通項公式； (2)若，為數(shù)列的前項和，是否存在實數(shù)，使得，對于任意的恒成立？若存在，請求實數(shù)的取值范圍，若不存在，試說明理由． 18.（本小題滿分12分） 某中學高一年級共8個班，現(xiàn)從高一年級選10名同學組成社區(qū)服務小組，其中高一（1）班選取3名同學，其它各班各選取1名同學．現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到社區(qū)老年中心參加“尊老愛老”活動（每位同學被選到的可能性相同）． （Ⅰ）求選出的3名同學來自不同班級的概率； （Ⅱ）設X為選出同學中高一（1）班同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望． 19.（本小題滿分12分） 在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形, ,,,點是的中點． （I）求證:平面； （II）求二面角的余弦值； 20.（本小題滿分12分） 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為，直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N. (1)求橢圓C的方程； (2)當△AMN的面積為時，求k的值． 21. （本小題滿分12分） 已知函數(shù). （Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程； （Ⅱ）若在上恒成立，求實數(shù)的值. 請考生在[22]、[23]題中任選一題作答。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號后的方框涂黑。如果多做，則按所做的第一題計分。 22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為． （I）寫出的普通方程和的直角坐標方程； （II）設點在上，點在上，求的最小值及此時的直角坐標. 23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)． （I）當時，求不等式的解集； （II）設函數(shù)．當時，，求的取值范圍． 2017屆第一學期期末考試 高三數(shù)學（理科）答案 一、選擇題：（請將正確選項填在答題卡中.） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A B D C A B D B A A 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）. 13． －56 ; 14．___7___; 15． 2 ; 16． 三、解答題：（本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．） 17.（本小題滿分12分） 解：(1)由為等差數(shù)列，設公差為，則， ∵是和的等比中項， ∴，即， 解得（舍）或，∴． (2)存在．， ∴的前項和， ∴存在實數(shù)，使得對于任意的恒成立， 18.（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）設“選出的3名同學來自不同班級”為事件A，則 所以選出的3名同學來自班級的概率為． ……………………………4分 （Ⅱ）隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3，則 ； ； ； ． 所以隨機變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數(shù)學期望 ． …………………………12分 19. （本小題滿分12分） （Ⅰ）證明:取中點,連結(jié). 因為 為中點 , 所以 . 因為. 所以且. 所以四邊形為平行四邊形, 所以 . 因為 , 平面, 所以平面. …………………………..5分 （Ⅱ） 取中點,連結(jié) 因為 , 所以. 因為 平面平面, 平面平面, 平面, 所以. 取中點,連結(jié),則 以為原點,如圖建立空間直角坐標系, 設則 . 平面的法向量, 設平面的法向量, 由得 令，則. . 由圖可知，二面角是銳二面角， 所以二面角的余弦值為. …………………………..12分 20. （本小題滿分12分） 【解】(1)由題意得解得b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0， 設點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝＝＝， 又因為點A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝， 所以△AMN的面積為S＝|MN|d＝， 由＝，化簡得7k4－2k2－5＝0，解得k＝1. 21.（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ） 時 切線方程為：，即 4分 （Ⅱ）由得 設，要在上恒成立，只需 6分 當時，在上，，在遞增； 時，不可能； 8分 當時，令得 在上，，在遞增； 在上，，在遞減； 10分 只需 令， （*） ，在（0,1）遞減，在遞增； ，在上成立.（**） 由（*）和（**）知，即 而在（0,1上遞減，在上遞增， ， 12分 請考生在[22]、[23]題中任選一題作答。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號后的方框涂黑。如果多做，則按所做的第一題計分。 22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 解析：（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標方程為. ……5分 （Ⅱ）由題意，可設點的直角坐標為，因為是直線，所以的最小值即為到的距離的最小值，. ………………8分 當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為. ………………10分 23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 解析：（Ⅰ）當時，. 解不等式，得， 因此，的解集為. ………………5分 （Ⅱ）當時， ， 當時等號成立， 所以當時，等價于. ① ……7分 當時，①等價于，無解； 當時，①等價于，解得， 所以的取值范圍是. ………………10分