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豐臺區(qū)2016—2017學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí) 高三數(shù)學(xué)（理科） 第一部分 （選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知集合，，那么等于 （A） （B） （C） （D） 2．已知，則下列不等式一定成立的是 （A） （B） （C） （D） 3．如果平面向量，，那么下列結(jié)論中正確的是 （A） （B） （C） （D） 4．已知直線，和平面，如果，那么“”是“”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 5．在等比數(shù)列中，，9，則等于 （A）9 （B）72 （C）9或72 （D） 9或72 6． 如果函數(shù)的兩個相鄰零點間的距離為，那么的值為 （A）1 （B）1 （C） （D） 7. 中國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則．例如《周髀算經(jīng)》和《易經(jīng)》里對二十四節(jié)氣的晷(guǐ)影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的．下表為《周髀算經(jīng)》對二十四節(jié)氣晷影長的記錄，其中寸表示115寸分（1寸=10分）． 節(jié)氣 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 驚蟄 (寒露) 春分 (秋分) 清明 (白露) 谷雨 (處暑) 立夏 (立秋) 小滿 (大暑) 芒種 (小暑) 夏至 晷影長 （寸） 135 16.0 已知《易經(jīng)》中記錄的冬至晷影長為130.0寸，夏至晷影長為14.8寸，那么《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長應(yīng)為 （A）72.4寸 （B）81.4寸 （C）82.0寸 （D）91.6寸 8. 對于任何集合S，用表示集合S中的元素個數(shù)，用表示集合S的子集個數(shù). 若集合A，B滿足條件：2017，且，則等于 （A）2017 （B）2016 （C）2015 （D）2014 第二部分 （非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 9. i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)= ． 10. 設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，如果，那么橢圓C的離心率為 ． 11．在的展開式中，常數(shù)項是 （用數(shù)字作答）． 12．若滿足 則的最大值為 ． 13．如圖，邊長為2的正三角形ABC放置在平面直角坐標系xOy中，AC在x軸上，頂點B與y軸上的定點P重合．將正三角形ABC沿x軸正方向滾動，即先以頂點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點B落在軸上時，再以頂點B為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．當(dāng)△ABC滾動到△時，頂點B運動軌跡的長度為 ；在滾動過程中，的最大值為 ． 14．已知為偶函數(shù)，且時，（表示不超過x的最大整數(shù)）．設(shè)，若，則函數(shù)有____個零點；若函數(shù)三個不同的零點，則的取值范圍是____． 三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程． 15.（本小題共13分） 如圖，在△ABC中，D是BC上的點，，，，. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求邊AB的長. 16.（本小題共14分） 如圖所示的多面體中，面是邊長為2的正方形，平面⊥平面，，分別為棱的中點. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）已知二面角的余弦值為， 求四棱錐的體積． 17.（本小題共14分） 數(shù)獨游戲越來越受人們喜愛，今年某地區(qū)科技館組織數(shù)獨比賽，該區(qū)甲、乙、丙、丁四所學(xué)校的學(xué)生積極參賽，參賽學(xué)生的人數(shù)如下表所示： 中學(xué) 甲 乙 丙 丁 人數(shù) 為了解參賽學(xué)生的數(shù)獨水平，該科技館采用分層抽樣的方法從這四所中學(xué)的參賽學(xué)生中抽取30名參加問卷調(diào)查． （Ⅰ）問甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？ （Ⅱ）從參加問卷調(diào)查的30名學(xué)生中隨機抽取2名，求這2名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率； （Ⅲ）在參加問卷調(diào)查的30名學(xué)生中，從來自甲、丙兩所中學(xué)的學(xué)生中隨機抽取2名，用X表示抽得甲中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列． 18.（本小題共13分） 已知函數(shù)與函數(shù)的圖象在點處有相同的切線. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)在上的最小值. 19.（本小題共13分） 已知拋物線：的焦點為F，且經(jīng)過點，過點的直線與拋物線交于，兩點. （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）為坐標原點，直線，與直線分別交于，兩點，試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由. 20. （本小題共13分） 已知無窮數(shù)列滿足. （Ⅰ）若，寫出數(shù)列的前4項； （Ⅱ）對于任意，是否存在實數(shù)M，使數(shù)列中的所有項均不大于M ？若存在，求M的最小值；若不存在，請說明理由； （Ⅲ）當(dāng)為有理數(shù)，且時，若數(shù)列自某項后是周期數(shù)列，寫出的最大值.（直接寫出結(jié)果，無需證明） 豐臺區(qū)2016~2017學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí) 高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分參考 2017．01 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分． 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B D A C B 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 9． 10． 11． 15 12．4 13．； 14．2； 三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程． 15.（本小題共13分） 解：（Ⅰ）在△中，由余弦定理，得 ……………….2分 ……………….4分 因為，所以. ……………….6分 （Ⅱ）因為，所以. ……………….8分 在△中，由正弦定理，得 ， ……………….10分 即，所以邊的長為. ……………….13分 16.（本小題共14分） 證明：（Ⅰ）取中點，連接，， 因為是正方形，所以，. 因為分別是,中點，所以,. 又因為且， 所以，， 所以四邊形是平行四邊形, ………….3分 所以. 又因為平面，平面 所以平面． ……………….5分 （Ⅱ）因為平面⊥平面， 平面平面， ，平面， 所以平面． ……………….6分 如圖，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標系． 設(shè)，則 ． ………………7分 因為⊥底面，所以平面的一個法向量為. ……………….8分 設(shè)平面PFB的一個法向量為， , 則 即 令x=1，得，所以． ……………….10分 由已知，二面角的余弦值為， 所以得 ， ……………….11分 解得a =2,所以． ……………….13分 因為是四棱錐的高， 所以其體積為． ……………….14分 17．（本小題共14分） 解：（Ⅰ）由題意知，四所中學(xué)報名參加數(shù)獨比賽的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名， 抽取的樣本容量與總體個數(shù)的比值為， 所以甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取的學(xué)生人數(shù)分別為9，12，6，3. ………………3分 （Ⅱ）設(shè)“從30名學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生來自同一所中學(xué)”為事件， 從30名學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生的取法共有種， ………………5分 來自同一所中學(xué)的取法共有． ………………7分 所以． 答：從30名學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率為． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名學(xué)生中，來自甲、丙兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別為9，6． 依題意得，的可能取值為， ………………9分 ， ，． ……………12分 所以的分布列為： 0 1 2 ……………….14分 18．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）因為，所以. ……………….2分 因為，所以. ……………….4分 因為與的圖象在（0,0）處有相同的切線，所以，所以. …….5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知, , 令，， 則． ……………….6分 (1)當(dāng)時，，，所以在[1,2]上是增函數(shù)， 故的最小值為； ……………….7分 (2)當(dāng)時，由得，， ……………….8分 ①若，即，則，，所以在[1,2]上是增函數(shù)， 故的最小值為. ……………….9分 ②若，即，則，，，， 所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， 故的最小值為； ……………….11分 ③若，即，則，，所以在上是減函數(shù)， 故的最小值為. ……………….12分 綜上所述，當(dāng)時，的最小值為， 當(dāng)時，的最小值為， 當(dāng)時，的最小值為. ……………….13分 19.（本小題共13分） 解：（Ⅰ）把點代入拋物線的方程，得，解得， 所以拋物線的方程為. ……………….4分 （Ⅱ）因為，所以直線為，焦點的坐標為 設(shè)直線的方程為，，， 則直線的方程為,直線的方程為. ……………….5分 由得，同理得． ……………….7分 所以，，則． ……………….9分 由得，所以， ……………….11分 則． 所以，的值是定值，且定值為0. ……………….13分 20．（本小題共13分） 解：（Ⅰ） ……………….4分 （Ⅱ）存在滿足題意的實數(shù), 且的最小值為1. 解法一：猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明. （1）當(dāng)時,，結(jié)論成立. （2）假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即， 當(dāng)時, ,所以, 即,所以, 故. 又因為, 所以, 所以時結(jié)論也成立. 綜上,由（1）,（2）知,成立 所以,當(dāng)時,可得當(dāng)時, ,此時, 的最小值為1 故的最小值為1. 解法二：當(dāng)時，若存在滿足,且. 顯然，則 時，與矛盾； 時，與矛盾； 所以 所以,當(dāng)時,可得當(dāng)時, ,此時, 的最小值為1 故的最小值為1. ……………………10分 （Ⅲ） ………………13分 （若用其他方法解題，請酌情給分）