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專題限時集訓(七)　用樣本估計總體 建議A、B組各用時：45分鐘] A組　高考達標] 一、選擇題 1．(2016山西考前模擬)某同學將全班某次數(shù)學考試成績整理成頻率分布直方圖后，并將每個小矩形上方線段的中點連接起來得到頻率分布折線圖(如圖75所示)，據(jù)此估計此次考試成績的眾數(shù)是(　　) 圖75 A．100　　　　　　　　　 B．110 C．115 D．120 C　分析頻率分布折線圖可知眾數(shù)為115，故選C.] 2．(2016南昌二模)如圖76所示是一樣本的頻率分布直方圖．若樣本容量為100，則樣本數(shù)據(jù)在15,20)內的頻數(shù)是(　　) 圖76 A．50 B．40 C．30 D．14 C　因為15,20]對應的小矩形的面積為1－0.045－0.15＝0.3，所以樣本落在15,20]的頻數(shù)為0.3100＝30，故選C.] 3．(2016青島模擬)已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x50,500(單位：kg)，其中x1，x2，x3，…，x50是某班50個學生的體重，設這50個學生體重的平均數(shù)為x, 中位數(shù)為y，則x1，x2，x3，…，x50,500這51個數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)分別與x，y比較，下列說法正確的是(　　) 【導學號：85952030】 A．平均數(shù)一定變大，中位數(shù)一定變大 B．平均數(shù)一定變大，中位數(shù)可能不變 C．平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變 D．平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能變小 B　顯然500大于這50個學生的平均體重，則這51個數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定增大，中位數(shù)可能增大也可能不變，故選B.] 4．(2016沈陽模擬)從某小學隨機抽取100名同學，現(xiàn)已將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖77)．若要從身高在120,130)，130,140)，140,150]三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在140,150]內的學生中選取的人數(shù)應為(　　) 圖77 A．2 B．3 C．4 D．5 B　依題意可得10(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)＝1，解得a＝0.030，故身高在120,130)，130,140)，140,150]三組內的學生比例為3∶2∶1，所以從身高在140,150]內的學生中選取的人數(shù)應為3.] 圖78 5．(2016鄭州模擬)某車間共有6名工人，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖78所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)，日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．從該車間6名工人中，任取2人，則至少有1名優(yōu)秀工人的概率為(　　) A. B． C. D. C　依題意，平均數(shù)＝＝22，故優(yōu)秀工人只有2人，從中任取2人共有C＝15種情況，其中至少有1名優(yōu)秀工人的情況有C－C＝9種，故至少有1名優(yōu)秀工人的概率P＝＝，故選C.] 二、填空題 6．某共有女生2 000人，為了了解學生體質健康狀況，隨機抽取100名女生進行體質監(jiān)測，將她們的體重(單位：kg)數(shù)據(jù)加以統(tǒng)計，得到如圖79所示的頻率分布直方圖，則直方圖中x的值為________；試估計該校體重在55,70)的女生有________人． 圖79 0．024　1 000　由5(0.06＋0.05＋0.04＋x＋0.016＋0.01)＝1，得x＝0.024.在樣本中，體重在55,70)的女生的頻率為5(0.01＋0.04＋0.05)＝0.5， 所以該校體重在55,70)的女生估計有2 0000.5＝1 000人．] 7.某校開展“ 愛我海西、愛我家鄉(xiāng)” 攝影比賽，9位評委為參賽作品A給出的分數(shù)如莖葉圖710所示．記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復核員在復核時，發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計算無誤，則數(shù)字x應該是________． 圖710 1　當x≥4時， ＝≠91， ∴x<4，∴＝91， ∴x＝1.] 8．從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，其莖葉圖如圖711.根據(jù)莖葉圖，樹苗的平均高度較高的是__________種樹苗，樹苗長得整齊的是__________種樹苗． 【導學號：85952031】 圖711 乙　甲　根據(jù)莖葉圖可知，甲種樹苗中的高度比較集中，則甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊；而通過計算可得，甲＝27，乙＝30，即乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度．] 三、解答題 9．(2016太原二模)某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成如下六段：40,50)，50,60)，…，90,100]，得到如圖712所示的頻率分布直方圖． 圖712 (1)若該校高一年級共有學生640名，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)； (2)在抽取的40名學生中，若從數(shù)學成績在40,50)與90,100]兩個分數(shù)段內隨機選取2名學生，求這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的概率． 解]　(1)由10(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1， 得a＝0.03.2分 根據(jù)頻率分布直方圖， 成績不低于60分的頻率為1－10(0.005＋0.01)＝0.85.4分 估計期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)約為6400.85＝544(人).6分 (2)成績在40,50)分數(shù)段內的人數(shù)為400.05＝2，成績在90,100]分數(shù)段內的人數(shù)為400.1＝4，則記在40,50)分數(shù)段的兩名同學為A1，A2，在90,100]分數(shù)段內的同學為B1，B2，B3，B4. 若從這6名學生中隨機抽取2人，則總的取法共有15種.8分 如果2名學生的數(shù)學成績都在40,50)分數(shù)段內或都在90,100]分數(shù)段內，那么這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10， 則所取2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的取法有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共7種取法，所以所求概率為P＝.12分 10．(2016鄭州一模)為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對行人闖紅燈進行處罰．為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中隨機選取了200人進行調查，當不處罰時，有80人會闖紅燈，處罰時，得到如下數(shù)據(jù)： 處罰金額x(單位：元) 5 10 15 20 會闖紅燈的人數(shù)y 50 40 20 10 若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率． (1)當罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少？ (2)將先取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類：A類市民在罰金不超過10元時就會改正行為；B類是其他市民．現(xiàn)對A類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷，則前兩位均為B類市民的概率是多少． 解]　(1)設“當罰金定為10元時，闖紅燈的市民改正行為”為事件A，2分 則P(A)＝＝.4分 所以當罰金定為10元時，比不制定處罰，行人闖紅燈的概率會降低.6分 (2)由題可知A類市民和B類市民各有40人，故分別從A類市民和B類市民中各抽出2人，設從A類市民中抽出的2人分別為A1，A2，從B類市民中抽出的2人分別為B1，B2.設“A類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷”為事件M，8分 則事件M中首先抽出A1的事件有：(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6種． 同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6種． 故事件M共有24種.10分 設“抽取4人中前兩位均為B類市民”為事件N，則事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)． ∴P(N)＝＝.12分 B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖713所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的m，n的比值＝(　　) 圖713 A．1　　　　　　　 B. C. D. C　由莖葉圖可知乙的中位數(shù)是＝33，根據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，可得m＝3，所以甲的平均數(shù)為＝33，又由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，可得＝33，解得n＝8，所以＝，故選C.] 2．(2016山西四校二聯(lián))某學校組織學生參加數(shù)學測試，成績的頻率分布直方圖如圖714，數(shù)據(jù)的分組依次為20,40)，40,60)，60,80)，80,100)，若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學生人數(shù)是(　　) 圖714 A．45 B．50 C．55 D．60 B　∵20,40)，40,60)的頻率為(0.005＋0.01)20＝0.3，∴該班的學生人數(shù)是＝50.] 3．為了了解某城市今年準備報考飛行員的學生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖715)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶ 2∶ 3，第2小組的頻數(shù)為120，則抽取的學生人數(shù)是(　　) 圖715 A．240 B．280 C．320 D．480 D　由頻率分布直方圖知：學生的體重在65～75 kg的頻率為(0.012 5＋0.037 5) 5＝0.25， 則學生的體重在50～65 kg的頻率為1－0.25＝0.75.從左到右第2個小組的頻率為0.75＝0.25. 所以抽取的學生人數(shù)是1200.25＝480, 故選D.] 4．3個老師對某學校高三三個班級各85人的數(shù)學成績進行分析，已知甲班平均分為116.3分，乙班平均分為114.8分，丙班平均分為115.5分，成績分布直方圖如圖716，據(jù)此推斷高考中考生發(fā)揮差異較小的班級是(　　) 圖716 A．甲 B．乙 C．丙 D．無法判斷 C　由于平均分相差不大，由直方圖知丙班中，學生成績主要集中在110～120區(qū)間上且平均分較高，其次是乙，分數(shù)相對甲來說比較集中，相對丙而言相對分散．數(shù)據(jù)最分散的是甲班，雖然平均分較高，但學生兩極分化，彼此差距較大，根據(jù)標準差的計算公式和性質知甲的方差大于乙的方差大于丙的方差，所以丙班的學生發(fā)揮差異較小．故選C.] 二、填空題 5．已知某單位有40名職工，現(xiàn)要從中抽取5名職工，將全體職工隨機按1～40編號，并按編號順序平均分成5組．按系統(tǒng)抽樣方法在各組內抽取一個號碼． 圖717 (1)若第1組抽出的號碼為2，則所有被抽出職工的號碼為________； (2)分別統(tǒng)計這5名職工的體重(單位：kg)，獲得體重數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖717所示，則該樣本的方差為________． (1)2,10,18,26,34　(2)62　(1)分段間隔為＝8，則所有被抽出職工的號碼為2,10,18,26,34. (2)＝(59＋62＋70＋73＋81)＝69. s2＝(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.] 6．如圖718是某個樣本的頻率分布直方圖，分組為100,110)，110,120)，120,130)，130,140)，140,150)，已知a，b，c成等差數(shù)列，且區(qū)間130,140)與140,150)上的數(shù)據(jù)個數(shù)相差10，則區(qū)間110,120)上的數(shù)據(jù)個數(shù)為__________． 圖718 20　由頻率分布直方圖得130,140)上的頻率為0.02510＝0.25， 140,150)上的頻率為0.01510＝0.15. 設樣本容量為x，則由題意知0.25x－0.15x＝0.1x＝10，解得x＝100. 因為a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c. 又10a＋10b＋10c＝1－0.25－0.15＝0.6?a＋b＋c＝0.06?3b＝0.06， 解得b＝0.02. 故區(qū)間110,120)上的數(shù)據(jù)個數(shù)為100.020100＝20.] 三、解答題 7．從甲、乙兩部門中各任選10名員工進行職業(yè)技能測試，測試成績(單位：分)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖719(1)所示： 　　　　(1)　　　　　　　　　　　(2) 圖719 (1)分別求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，并比較兩組數(shù)據(jù)的分散程度(只需給出結論)； (2)甲組數(shù)據(jù)頻率分布直方圖如圖719(2)所示，求a，b，c的值； (3)從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中各任取一個，求所取兩數(shù)之差的絕對值大于20的概率． 解]　(1)甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為＝78.5，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為＝78.5. 從莖葉圖可以看出，甲組數(shù)據(jù)比較集中，乙組數(shù)據(jù)比較分散.3分 (2)由題圖易知a＝0.05，b＝0.02，c＝0.01.7分 (3)從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中各任取一個，得到的所有基本事件共有100個，其中滿足“兩數(shù)之差的絕對值大于20”的基本事件有16個，故所求概率P＝＝.12分 8．(2016河南六市聯(lián)考)在某大學自主招生考試中，所有選報Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級．某考場考生的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖720所示，其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人． 圖720 (1)求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)； (2)若等級A，B，C，D，E分別對應5分，4分，3分，2分，1分，求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分； (3)已知參加本考場測試的考生中，恰有2人的兩科成績均為A，在至少一科成績?yōu)锳的考生中，隨機抽取2人進行訪談，求這2人的兩科成績均為A的概率． 解]　(1)因為“數(shù)學與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人，所以該考場有100.25＝40(人)，2分 所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數(shù)為40(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝400.075＝3.4分 (2)該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分為1(400.2)＋2(400.1)＋3(400.375)＋4(400.25)＋5(400.075)]40＝2.9.8分 (3)由題圖可知，“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锳的有3人，“閱讀與表達”科目的成績?yōu)锳的有3人，因為恰有2人的兩科成績等級均為A，所以還有2人只有一個科目得分為A. 設這4人為甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是兩科成績都是A的同學，則在至少一科成績等級為A的考生中，隨機抽取2人進行訪談，基本事件空間為Ω＝{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6個基本事件． 設“隨機抽取2人進行訪談，這2人的兩科成績等級均為A”為事件B，所以事件B中包含的基本事件有1個，則P(B)＝.12分