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突破點(diǎn)9 隨機(jī)變量及其分布
提煉1
離散型隨機(jī)變量的分布列
離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：
X
x1
x2
x3
…
xi
…
xn
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
則(1)pi≥0.
(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n)．
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)．
D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2pi＋…＋(xn－E(X))2pn叫做隨機(jī)變量X的方差．
(4)均值與方差的性質(zhì)
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為實(shí)數(shù))．
(5) 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差
①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
提煉2
幾種常見概率的計(jì)算
(1)條件概率
在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為P(B|A)＝＝.
(2)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率
P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
提煉3
正態(tài)分布
(1)若X～N(μ，σ2)，則①P(μ－σ
μ＋a)．
回訪1 條件概率
1．(2015全國卷Ⅰ)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
A 3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝C0.62(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C0.62(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A.]
2．(2014全國卷Ⅱ)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
A 已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P＝＝0.8.]
回訪2 正態(tài)分布
3．(2012全國卷)
圖91
某一部件由三個(gè)電子元件按如圖91所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為________．
設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，
∴該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件為(A＋B＋AB)C，
∴該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率
P＝＝.]
回訪3 隨機(jī)變量的分布列、期望、方差
4．(2016全國乙卷)某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：
圖92
以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；
(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？
解] (1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.1分
從而P(X＝16)＝0.20.2＝0.04；
P(X＝17)＝20.20.4＝0.16；
P(X＝18)＝20.20.2＋0.40.4＝0.24；
P(X＝19)＝20.20.2＋20.40.2＝0.24；
P(X＝20)＝20.20.4＋0.20.2＝0.2；
P(X＝21)＝20.20.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.20.2＝0.04.3分
所以X的分布列為
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
4分
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，7分
故n的最小值為19.
(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)．
當(dāng)n＝19時(shí)，
E(Y)＝192000.68＋(19200＋500)0.2＋(19200＋2500)0.08＋(19200＋3500)0.04＝4 040；9分
當(dāng)n＝20時(shí)，
E(Y)＝202000.88＋(20200＋500)0.08＋(20200＋2500)0.04＝4 080.11分
可知當(dāng)n＝19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于當(dāng)n＝20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n＝19.12分
熱點(diǎn)題型1 相互獨(dú)立事件的概率與條件概率
題型分析：高考對條件概率的考查，主要體現(xiàn)在對條件概率的了解層次，難度較小，對事件相互獨(dú)立性的考查相對較頻繁，難度中等.
(1)(2016山西考前模擬)某同學(xué)用計(jì)算器產(chǎn)生了兩個(gè)0,1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)，分別記作x，y.當(dāng)y的概率是( ) 【導(dǎo)學(xué)號：85952034】
A. B.
C. D.
(2)如圖93，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨(dú)立．已知T1，T2，T3中至少有一個(gè)能通過電流的概率為0.999.
圖93
①求p；
②求電流能在M與N之間通過的概率．
(1)D 記“y”為事件B，所以(x，y)構(gòu)成的區(qū)域如圖所示，所以S1＝∫0x2dx＝x30＝，S2＝x2dx－S1＝x3－＝，則所求概率為＝＝＝，故選D.]
(2)記Ai表示事件：電流能通過Ti，i＝1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一個(gè)能通過電流，
B表示事件：電流能在M與N之間通過．
①＝123，1，2，3相互獨(dú)立，2分
P()＝P(123)
＝P(1)P(2)P(3)＝(1－p)3.3分
又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，4分
故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.6分
②B＝A4∪4A1A3∪41A2A3，8分
P(B)＝P(A4∪4A1A3∪41A2A3)
＝P(A4)＋P(4A1A3)＋P(41A2A3)
＝P(A4)＋P(4)P(A1)P(A3)＋P(4)P(1)P(A2)P(A3)
＝0.9＋0.10.90.9＋0.10.10.90.9
＝0.989 1.12分
1．解決條件概率的關(guān)鍵是明確“既定條件”．
2．求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的方法
(1)直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題，然后用相應(yīng)概率公式求解．
(2)間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對立事件進(jìn)行求解．對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解．
變式訓(xùn)練1] (2016全國甲卷)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
上年度出險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
保費(fèi)
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：
一年內(nèi)出
險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；
(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；
(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值．
解] (1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故
P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.2分
(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.4分
又P(AB)＝P(B)，
故P(B|A)＝＝＝＝.
因此所求概率為.6分
(3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
9分
E(X)＝0.85a0.30＋a0.15＋1.25a0.20＋1.5a0.20＋1.75a0.10＋2a0.05＝1.23a.11分
因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.12分
熱點(diǎn)題型2 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差
題型分析：離散型隨機(jī)變量的分布列問題是高考的熱點(diǎn)，常以實(shí)際生活為背景，涉及事件的相互獨(dú)立性、互斥事件的概率等，綜合性強(qiáng)，難度中等.
(名師押題)第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)已于2016年8月5日—21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行完畢．下表是近六屆奧運(yùn)會(huì)中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：枚).
第31屆巴西
第30屆倫敦
第29屆北京
第28屆雅典
第27屆悉尼
第26屆亞特蘭大
中國
26
38
51
32
28
16
俄羅斯
19
24
23
27
32
26
(1)根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運(yùn)會(huì)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可)；
(2)甲、乙、丙三人競猜下屆中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)中的哪一個(gè)獲得的金牌數(shù)多(假設(shè)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)不會(huì)相等)，規(guī)定甲、乙、丙必須在兩個(gè)代表團(tuán)中選一個(gè)，已知甲、乙猜中國代表團(tuán)的概率都為，丙猜中國代表團(tuán)的概率為，三人各自猜哪個(gè)代表團(tuán)互不影響．現(xiàn)讓甲、乙、丙各猜一次，設(shè)三人中猜中國代表團(tuán)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．
解] (1)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖如下：
通過莖葉圖可以看出，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值高于俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值；俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較集中，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較分散.6分
(2)X的可能取值為0,1,2,3，設(shè)事件A，B，C分別表示甲、乙、丙猜中國代表團(tuán)，則P(X＝0)＝P()P()P()＝2＝，7分
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝C＋2＝，8分
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝2＋C＝，9分
P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝2＝.10分
故X的分布列為
X
0
1
2
3
P
11分
E(X)＝0＋1＋2＋3＝.12分
解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路：
(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值．
(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值．
(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解．
提醒：明確離散型隨機(jī)變量的取值及事件間的相互關(guān)系是求解此類問題的關(guān)鍵．
變式訓(xùn)練2] (2016益陽模擬)某工廠有兩條相互不影響的生產(chǎn)線分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品出廠前需要對產(chǎn)品進(jìn)行性能檢測．檢測得分低于80的為不合格品，只能報(bào)廢回收；得分不低于80的為合格品，可以出廠，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種產(chǎn)品各60件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：
得分
60,70)
70,80)
80,90)
90,100]
甲種產(chǎn)品的件數(shù)
5
10
34
11
乙種產(chǎn)品的件數(shù)
8
12
31
9
(1)試分別估計(jì)甲、乙兩種產(chǎn)品下生產(chǎn)線時(shí)為合格品的概率；
(2)生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品則虧損20元；生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品則虧損15元．在(1)的前提下：
①記X為生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品和1件乙種產(chǎn)品所獲得的總利潤，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
②求生產(chǎn)5件乙種產(chǎn)品所獲得的利潤不少于300元的概率．
解] (1)甲種產(chǎn)品為合格品的概率約為＝，乙種產(chǎn)品為合格品的概率約為＝.2分
(2)①隨機(jī)變量X的所有取值為190,85,70，－35，
且P(X＝190)＝＝，P(X＝85)＝＝，P(X＝70)＝＝，P(X＝－35)＝＝.
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X
190
85
70
－35
P
6分
所以E(X)＝＋＋－＝125.8分
②設(shè)生產(chǎn)的5件乙種產(chǎn)品中合格品有n件，則不合格品有(5－n)件，
依題意得，90n－15(5－n)≥300，解得n≥，取n＝4或n＝5，
設(shè)“生產(chǎn)5件乙種產(chǎn)品所獲得的利潤不少于300元”為事件A，
則P(A)＝C4＋5＝.12分
熱點(diǎn)題型3 正態(tài)分布問題
題型分析：由于正態(tài)分布與頻率分布直方圖有極大的相似性，故在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)適度關(guān)注這一知識(shí)間的聯(lián)系，同時(shí)對正態(tài)分布的圖象特征給予高度關(guān)注.
(2014全國卷Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：
圖94
(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；
(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2.
①利用該正態(tài)分布，求P(187.83)＝0.023，則P(－3≤ξ≤3)＝________.
(1)B (2)0.954 (1)由題意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)＝0.022 8，
∴P(－13)＝0.5－0.023＝0.477，
∴P(－3≤ξ≤3)＝2P(0≤ξ≤3)＝20.477＝0.954.]
高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 突破點(diǎn)9 隨機(jī)變量及其分布 理
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