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高效演練 一、選擇題 1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈.人們還用過(guò)一些類似的近似公式.根據(jù)π=3.141 59…判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是( ) 【解析】因?yàn)? 且3.142 857-3.141 59=0.001 267. 綜上可知，選項(xiàng)D最精確. 2．《張丘建算經(jīng)》卷上第23題：今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問(wèn)日益幾何？意思是：現(xiàn)有一女子善于織布，若第1天織5尺布，從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，現(xiàn)在一月(按30天計(jì))共織390尺布(注：按古代1匹=4丈，1丈=10尺計(jì)算)，則每天比前一天多織( ) 【解析】選B.設(shè)公差為d， 則由a1=5,S30=305+d=390， 解得d=，B正確. 3.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有一道這樣的題：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人的所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小一份的量為( ) 【解析】選C.易得中間的那份為20個(gè)面包，設(shè)最小的一份為a1，公差為d，根據(jù)題意，于是有［20+(a1+3d)+(a1+4d)］=a1+(a1+d)，解得a1=． 二、填空題 4．在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)(劉徽注)中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣.”注述中所用的割圓術(shù)是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過(guò)方程=x確定出來(lái)x=2，類似地不難得到1+= . 【解析】設(shè)1+=x， 則1+=x，解x2－x－1=0可得， 答案： 5．《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”若借助算法思想完全可以非常有趣地將問(wèn)題加以解決：假設(shè)所有雞兔訓(xùn)練有素，根據(jù)哨聲做動(dòng)作：①吹一聲哨抬起一條腿，腿數(shù)為94-35=59；②再吹一聲哨又抬起一條腿，腿數(shù)為94-35-35=24；③此時(shí)雞都趴在地上，則雞兔各有 . 【解析】因?yàn)閮陕暽陧戇^(guò)后，雞都趴在地上，剩的兔子都兩條腿立著，24條腿是12只兔子的，那么雞自然是35-12=23只. 答案：23，12 三、解答題 6.(2015湖北高考)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑． 如圖，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過(guò)棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE. (1)證明：PB⊥平面DEF．試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說(shuō)明理由. (2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，求的值． 【解析】(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC， 由底面ABCD為長(zhǎng)方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD. 而DE?平面PCD，所以BC⊥DE.又因?yàn)镻D=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC. 而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC. 而PB?平面PBC，所以PB⊥DE. 又PB⊥EF，DE∩EF=E，所以PB⊥平面DEF. 由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體DBEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體DBEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB， ∠DFB. (2)如圖，在面PBC內(nèi)，延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線. 由(1)知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG. 又因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DG. 而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD. 故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角， 設(shè)PD=DC=1，BC=λ， 有BD= 在Rt△PDB中， 由DF⊥PB， 得∠DPF=∠FDB= 則 解得λ= 所以故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時(shí)，