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專題限時集訓(二) 解三角形
建議A、B組各用時：45分鐘]
A組 高考達標]
一、選擇題
1．(2016鄭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＝，則cos B＝( )
A．－ B.
C．－ D.
B 由正弦定理，得＝＝，即sin B＝cos B，∴tan B＝.又0
.①8分
∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，②10分
由①②得b的取值范圍是(，3).12分
B組 名校沖刺]
一、選擇題
1．(2016安慶二模)設(shè)角A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，則“A＋B，故三角形ABC為鈍角三角形，反之不一定成立．故選A.]
2．(2016全國丙卷)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A＝( )
A. B．
C．－ D．－
C 法一：設(shè)△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
則由題意得S△ABC＝aa＝acsin B，∴c＝a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2aa＝a2，∴b＝a.
∴cos A＝＝＝－.故選C.
法二：同法一得c＝a.
由正弦定理得sin C＝sin A, 又B＝，∴sin C＝sin＝sin A，即cos A＋sin A＝sin A，∴tan A＝－3，∴A為鈍角．
又∵1＋tan2A＝，∴cos2A＝，
∴cos A＝－.故選C.]
3．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且A>B>C,3b＝20acos A，則sin A∶sin B∶sin C＝( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
D ∵A>B>C，∴a>b>c.
又∵a，b，c為連續(xù)的三個正整數(shù)，
∴設(shè)a＝n＋1，b＝n，c＝n－1(n≥2，n∈N*)．
∵3b＝20acos A，∴＝cos A，
∴＝，
＝，
即＝，
化簡得7n2－27n－40＝0，(n－5)(7n＋8)＝0，
∴n＝5.
又∵＝＝，
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4.
故選D.]
4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足csin A＝acos C，則sin A＋sin B的最大值是( )
A．1 B．
C．3 D.
D ∵csin A＝acos C，∴sin Csin A＝sin Acos C.
∵sin A≠0，∴tan C＝，
∵0＜C＜π，∴C＝，
∴sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin.
∵0＜A＜，∴＜A＋＜，
∴＜sin≤，
∴sin A＋sin B的最大值為.故選D.]
二、填空題
5．(2016忻州一中聯(lián)考)已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分線CD把三角形分成面積比為4∶3的兩部分，則cos A＝__________.
由題意可知S△ACD∶S△BCD＝4∶3，
∴AD∶DB＝4∶3，AC∶BC＝4∶3，在△ABC中，由正弦定理得
sin B＝sin A，
又B＝2A，∴sin 2A＝sin A，∴cos A＝.]
6．(2016太原二模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若∠B＝∠C，且7a2＋b2＋c2＝4，則△ABC面積的最大值為__________. 【導學號：85952016】
法一：由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝4，得7a2＋2b2＝4，則2b2＝4－7a2，由余弦定理得cos C＝＝，所以sin C＝＝＝，則△ABC的面積為S＝absin C＝ab＝＝≤＝4＝，當且僅當a2＝時取等號，則△ABC的面積的最大值為.
法二：由∠B＝∠C得b＝c，所以7a2＋b2＋c2＝4，即為7a2＋2c2＝4，則△ABC面積為a ＝≤＝，所以最大值為.]
三、解答題
7．已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，滿足＝，函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
(1)證明：b＋c＝2a；
(2)若f＝cos A，證明：△ABC為等邊三角形．
證明] (1)∵
＝，
∴sin Bcos A＋sin Ccos A＝2sin A－cos Bsin A－cos Csin A，2分
∴sin Bcos A＋cos Bsin A＋sin Ccos A＋cos Csin A＝2sin A，4分
sin(A＋B)＋sin(A＋C)＝2sin A，
sin C＋sin B＝2sin A，
∴b＋c＝2a.6分
(2)由題意知，＝，解得ω＝，7分
∵f＝sin ＝＝cos A，A∈(0，π)，
∴A＝，8分
由余弦定理知，cos A＝＝，
∴b2＋c2－a2＝bc.∵b＋c＝2a，
∴b2＋c2－2＝bc，
即b2＋c2－2bc＝0，∴b＝c.10分
又A＝，∴△ABC為等邊三角形.12分
8．(2016福州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足(2b－c)cos A＝acos C.
(1)求角A的大?。?
(2)若a＝3，求△ABC周長的最大值．
解] (1)由(2b－c)cos A＝acos C及正弦定理，
得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，3分
∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C，
∴2sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B．
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0.
∵A∈(0，π)，cos A＝，∴A＝.6分
(2)由(1)得A＝，由正弦定理得＝＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C.
△ABC的周長l＝3＋2sinB＋2sin9分
＝3＋2sinB＋2
＝3＋3sin B＋3cos B
＝3＋6sin.
∵B∈，∴當B＝時，△ABC的周長取得最大值為9.12分
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