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第39練 分類討論思想
[思想方法解讀] 分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想方法，其基本思路是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略．
1．中學數(shù)學中可能引起分類討論的因素：
(1)由數(shù)學概念而引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等．
(2)由數(shù)學運算要求而引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負數(shù)，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列{an}的前n項和公式等．
(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等．
(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)函數(shù)圖象等．
(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導致所得的結(jié)果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法等．
2．進行分類討論要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論．其中最重要的一條是“不重不漏”．
3．解答分類討論問題時的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不重不漏、分類互斥(沒有重復)；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論．
體驗高考
1．(2015山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是( )
A. B．[0,1]
C. D．[1, ＋∞)
答案 C
解析 由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
當a<1時，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.
當a≥1時，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
綜上，a≥，故選C.
2．(2015湖北)將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b(a≠b)同時增加m(m>0)個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則( )
A．對任意的a，b，e1>e2
B．當a>b時，e1>e2；當a
b時，e1e2
答案 D
解析 由題意e1＝＝；
雙曲線C2的實半軸長為a＋m，虛半軸長為b＋m，
離心率e2＝＝.
因為－＝，且a>0，b>0，m>0，a≠b，
所以當a>b時，>0，即>.
又>0，>0，
所以由不等式的性質(zhì)依次可得2>2，
1＋2>1＋2，
所以>，即e2>e1；
同理，當ab時，e1e2.
3．(2015天津)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F(－c,0)，離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2＋y2＝截得的線段的長為c，|FM|＝.
(1)求直線FM的斜率；
(2)求橢圓的方程；
(3)設(shè)動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP(O為原點)的斜率的取值范圍．
解 (1)由已知有＝，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
設(shè)直線FM的斜率為k(k＞0)，F(xiàn)(－c,0)，
則直線FM的方程為y＝k(x＋c)．
由已知，有2＋2＝2，
解得k＝.
(2)由(1)得橢圓方程為＋＝1，
直線FM的方程為y＝(x＋c)，
兩個方程聯(lián)立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，
解得x＝－c，或x＝c.
因為點M在第一象限，可得點M的坐標為.
由|FM|＝＝.
解得c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1.
(3)設(shè)點P的坐標為(x，y)，直線FP的斜率為t，
得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)．
與橢圓方程聯(lián)立，
消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，
又由已知，得t＝＞，
解得－＜x＜－1或－1＜x＜0.
設(shè)直線OP的斜率為m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，與橢圓方程聯(lián)立，整理得m2＝－.
①當x∈時，有y＝t(x＋1)＜0，
因此m＞0，于是m＝，得m∈.
②當x∈(－1,0)時，有y＝t(x＋1)＞0，
因此m＜0，于是m＝－，
得m∈.
綜上，直線OP的斜率的取值范圍是∪.
高考必會題型
題型一 由概念、公式、法則、計算性質(zhì)引起的分類討論
例1 設(shè)集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．
解 ∵A＝{0，－4}，B?A，于是可分為以下幾種情況．
(1)當A＝B時，B＝{0，－4}，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系，得
解得a＝1.
(2)當BA時，又可分為兩種情況．
①當B≠?時，即B＝{0}或B＝{－4}，
當x＝0時，有a＝1；
當x＝－4時，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此時B＝{0}滿足條件；
②當B＝?時，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
綜合(1)(2)知，所求實數(shù)a的取值范圍為a≤－1或a＝1.
點評 對概念、公式、法則的內(nèi)含及應用條件的準確把握是解題關(guān)鍵，在本題中，B?A，包括B＝?和B≠?兩種情況．解答時就應分兩種情況討論，在關(guān)于指數(shù)、對數(shù)的運算中，底數(shù)的取值范圍是進行討論時首先要考慮的因素．
變式訓練1 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝pn－1(p是常數(shù))，則數(shù)列{an}是( )
A．等差數(shù)列
B．等比數(shù)列
C．等差數(shù)列或等比數(shù)列
D．以上都不對
答案 D
解析 ∵Sn＝pn－1，
∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，
當p≠1且p≠0時，{an}是等比數(shù)列；
當p＝1時，{an}是等差數(shù)列；
當p＝0時，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此時{an}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列．
題型二 分類討論在含參函數(shù)中的應用
例2 已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值．
解 函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a
＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
對稱軸方程為x＝a.
(1)當a<0時，f(x)max＝f(0)＝1－a，
∴1－a＝2，∴a＝－1.
(2)當0≤a≤1時，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝(舍)．
(3)當a>1時，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
綜上可知，a＝－1或a＝2.
點評 本題中函數(shù)的定義域是確定的，二次函數(shù)的對稱軸是不確定的，二次函數(shù)的最值問題與對稱軸息息相關(guān)，因此需要對對稱軸進行討論，分對稱軸在區(qū)間內(nèi)和對稱軸在區(qū)間外，從而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，即可表示函數(shù)的最大值，從而求出a的值．
變式訓練2 已知函數(shù)f(x)＝2ex－ax－2(x∈R，a∈R)．
(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程；
(2)求x≥0時，若不等式f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)當a＝1時，f(x)＝2ex－x－2，
f′(x)＝2ex－1，f′(1)＝2e－1，
即曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的斜率k＝2e－1，
又f(1)＝2e－3，所以所求的切線方程是y＝(2e－1)x－2.
(2)易知f′(x)＝2ex－a.
若a≤0，則f′(x)>0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增；
若a>0，則當x∈(－∞，ln )時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
當x∈(ln ，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．
又f(0)＝0，所以若a≤0，則當x∈[0，＋∞)時，
f(x)≥f(0)＝0，符合題意．
若a>0，則當ln ≤0，
即00，即a>2，
則當x∈(0，ln )時，f(x)單調(diào)遞減，
f(x)|PF2|，
∴＝4，＝2，∴＝2.
綜上知，＝或2.
高考題型精練
1．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有兩個不等實根，則a的取值范圍是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D.
答案 D
解析 方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有兩個實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與y＝2a有兩個交點．
①當01時，如圖(2)，
而y＝2a>1不符合要求．
綜上，00時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2；
當a<0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1.
3．拋物線y2＝4px (p>0)的焦點為F，P為其上的一點，O為坐標原點，若△OPF為等腰三角形，則這樣的點P的個數(shù)為( )
A．2 B．3
C．4 D．6
答案 C
解析 當|PO|＝|PF|時，點P在線段OF的中垂線上，此時，點P的位置有兩個；當|OP|＝|OF|時，點P的位置也有兩個；對|FO|＝|FP|的情形，點P不存在．事實上，F(xiàn)(p,0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，則有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，當x＝0時，不構(gòu)成三角形．當x＝－2p(p>0)時，與點P在拋物線上矛盾．∴符合要求的點P一共有4個．
4．函數(shù)f(x)＝的值域為________．
答案 (－∞，2)
解析 當x≥1時，是單調(diào)遞減的，
此時，函數(shù)的值域為(－∞，0]；
當x<1時，f(x)＝2x是單調(diào)遞增的，
此時，函數(shù)的值域為(0,2)．
綜上，f(x)的值域是(－∞，2)．
5．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a4時，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，
得a≤，故此時a不存在．
(2)當－∈[－2,2]，即－4≤a≤4時，g(a)＝f＝3－a－≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.
(3)當－>2，即a<－4時，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，
得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4，
綜上得－7≤a≤2.
7．已知ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．
解 若a＝0，原不等式等價于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等價于(x－)(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等價于(x－)(x－1)<0.
①當a＝1時，＝1，(x－)(x－1)<0無解；
②當a>1時，<1，解(x－)(x－1)<0得1，解(x－)(x－1)<0得11}；
當a＝0時，解集為{x|x>1}；
當01時，解集為{x|Sn－≥S2－＝－＝－.
綜上，對于n∈N*，
總有－≤Sn－≤.
所以數(shù)列{Tn}最大項的值為，最小項的值為－.
9．已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝(x－a)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值．
①寫出g(a)的表達式；
②求a的取值范圍，使得－6≤g(a)≤－2.
解 (1)函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，
f′(x)＝(x>0)．
若a≤0，則f′(x)>0，f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間[0，＋∞)．
若a>0，令f′(x)＝0，得x＝，
當0時，f′(x)>0.
f(x)有單調(diào)遞減區(qū)間[0，]，
有單調(diào)遞增區(qū)間(，＋∞)．
(2)①由(1)知，
若a≤0，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，
所以g(a)＝f(0)＝0.
若00)，
當a≤0時，f′(x)<0，
∴f(x)的減區(qū)間為(0，＋∞)；
當a>0時，由f′(x)>0得0a，
∴f(x)遞增區(qū)間為(0，a)，遞減區(qū)間為(a，＋∞)．
(2)由(1)知：當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，
而f(1)＝0，
∴f(x)≤0在區(qū)間x∈(0，＋∞)上不可能恒成立；
當a>0時，f(x)在(0，a)上遞增，在(a，＋∞)上遞減，
f(x)max＝f(a)＝aln a－a＋1，
令g(a)＝aln a－a＋1，
依題意有g(shù)(a)≤0，而g′(a)＝ln a，且a>0，
∴g(a)在(0,1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增，
∴g(a)min＝g(1)＝0，故a＝1.
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