《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí) 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí) 文（17頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
1．(2016課標(biāo)全國乙改編)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是__________．
答案 (－1,3)
解析 ∵方程－＝1表示雙曲線，∴(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2
0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為____________．
答案 －＝1
解析 由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝x，圓的方程為x2＋y2＝4，
聯(lián)立
解得
或
即第一象限的交點(diǎn)為.
由雙曲線和圓的對(duì)稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，，故＝2b，得b2＝12.
故雙曲線的方程為－＝1.
3．(2016課標(biāo)全國甲改編)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為________．
答案
解析 如圖，因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以MF1＝.
又sin∠MF2F1＝，所以＝，即MF2＝3MF1.由雙曲線的定義得2a＝MF2－MF1＝2MF1＝，所以b2＝a2，
所以c2＝b2＋a2＝2a2，
所以離心率e＝＝.
4．(2016浙江)若拋物線y2＝4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________．
答案 9
解析 拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1.由M到焦點(diǎn)的距離為10，可知M到準(zhǔn)線x＝－1的距離也為10，故M的橫坐標(biāo)滿足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.
1.以填空題形式考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)(特別是離心率).2.以解答題形式考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(弦長、中點(diǎn)等).
熱點(diǎn)一 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1．圓錐曲線的定義
(1)橢圓：PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)；
(2)雙曲線：|PF1－PF2|＝2a(2a8，∴點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，滿足橢圓的定義，∴點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，∴2a＝10,2c＝8，∴b＝3.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1(y≠0)．
(2)由橢圓方程知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－4,0)和(4,0)，恰分別為△ABC的頂點(diǎn)A和C的坐標(biāo)，由橢圓定義知BA＋BC＝2a＝10，在△ABC中，由正弦定理可知，＝＝＝.
思維升華 (1)準(zhǔn)確把握?qǐng)A錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，注意焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式．(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定．
跟蹤演練1 (1)已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2＝24y的焦點(diǎn)重合，其一條漸近線的傾斜角為30，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．
(2)拋物線y2＝4x上任一點(diǎn)到定直線l：x＝－1的距離與它到定點(diǎn)F的距離相等，則該定點(diǎn)F的坐標(biāo)為____________．
答案 (1)－＝1 (2)(1,0)
解析 (1)由拋物線x2＝24y得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6)，
∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2＝24y的焦點(diǎn)相同，
∴c＝6，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，又雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30，∴＝，即b＝a，又∵c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
(2)因?yàn)?p＝4，所以p＝2，可得＝1，
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，
即定點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)．
熱點(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
1．橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系
(1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝ ；
(2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝.
2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系．
例2 (1)橢圓＋＝1(a>b>0)的兩頂點(diǎn)為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點(diǎn)為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為________．
(2)已知雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1作圓x2＋y2＝a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B、C，且BC＝CF2，則雙曲線的漸近線方程為__________．
答案 (1) (2)y＝(＋1)x
解析 (1)依題意可知點(diǎn)F(－c,0)，直線AB的斜率為＝－，直線BF的斜率為＝.
∵∠FBA＝90，∴(－)＝－＝－＝－1，
整理得c2＋ac－a2＝0，即()2＋－1＝0，
從而e2＋e－1＝0，解得e＝或－.
∵0b>0)的左焦點(diǎn)F1和右焦點(diǎn)F2，上頂點(diǎn)為A，AF2的中垂線交橢圓于點(diǎn)B，若左焦點(diǎn)F1在線段AB上，則橢圓的離心率為________．
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－y2＝1與拋物線y2＝－12x有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的兩條漸近線的方程為____________．
答案 (1) (2)y＝x
解析 (1)由題意知AB＝BF2，AF1＝AF2＝a，設(shè)BF1＝x，則x＋x＋a＝2a，所以x＝，故＝2，(－c，－b)＝2(xB＋c，yB)，易求得B(－，－)，代入橢圓方程得＋＝1，解得＝，所以e＝.
(2)由題意得a2＋1＝9?a＝2，
而雙曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝x，
即y＝x.
熱點(diǎn)三 直線與圓錐曲線
判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)或求交點(diǎn)問題有兩種常用方法
(1)代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．
例3 (2015江蘇改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且右焦點(diǎn)F到直線l：x＝－的距離為3.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC＝2AB，求直線AB的方程．
解 (1)由題意，得＝且c＋＝3，
解得a＝，c＝1，則b＝1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，AB＝，又CP＝3，不合題意．
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線AB的方程代入橢圓方程，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
則x1,2＝，
C的坐標(biāo)為，且
AB＝＝
＝.
若k＝0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與直線l平行，不合題意．
從而k≠0，故直線PC的方程為
y＋＝－，
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
從而PC＝.
因?yàn)镻C＝2AB，
所以＝，
解得k＝1.
此時(shí)直線AB的方程為y＝x－1或y＝－x＋1.
思維升華 解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長公式等簡(jiǎn)化計(jì)算；涉及中點(diǎn)弦問題時(shí)，也可用“點(diǎn)差法”求解．
跟蹤演練3 (1)設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為__________．
(2)設(shè)橢圓C：＋＝1與函數(shù)y＝tan 的圖象相交于A1，A2兩點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓C上，且直線PA2的斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是________．
答案 (1)[－1,1] (2)[，]
解析 (1)由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－2，∴Q(－2,0)，顯然，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝0，此時(shí)交點(diǎn)為(0,0)，當(dāng)k≠0時(shí)，Δ≥0，
即[4(k2－2)]2－16k4≥0，解得－1≤k<0或00，b>0)的一條漸近線與直線3x＋y＋3＝0垂直，以C的右焦點(diǎn)F為圓心的圓(x－c)2＋y2＝2與它的漸近線相切，則雙曲線的焦距為________．
押題依據(jù) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)是圓錐曲線的靈魂，其中離心率、漸近線是高考命題的熱點(diǎn)．
答案 2
解析 由直線垂直的條件，求出漸近線的斜率，從而得到漸近線方程，根據(jù)圓心到漸近線的距離等于半徑，求得b，進(jìn)而求出焦距2c.
由已知，得(－)＝－1，所以＝，
由點(diǎn)F(c,0)到漸近線y＝x的距離d＝＝，可得c＝，2c＝2.
2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且點(diǎn)(1，)在該橢圓上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的左焦點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若△AOB的面積為，求圓心在原點(diǎn)O且與直線l相切的圓的方程．
押題依據(jù) 橢圓及其性質(zhì)是歷年高考的重點(diǎn)，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長、中點(diǎn)等知識(shí)應(yīng)給予充分關(guān)注．
解 (1)由題意可得e＝＝，
又a2＝b2＋c2，
所以b2＝a2.
因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn)(1，)，
所以＋＝1，
解得a＝2，所以b2＝3，
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，設(shè)直線l的方程為x＝ty－1，
由消去x，
得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，
顯然Δ>0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝
＝ ＝，
所以S△AOB＝F1O|y1－y2|＝＝，
化簡(jiǎn)得18t4－t2－17＝0，
即(18t2＋17)(t2－1)＝0，
解得t＝1，t＝－(舍去)，
又圓O的半徑r＝＝，
所以r＝，故圓O的方程為x2＋y2＝.
A組 專題通關(guān)
1．雙曲線－＝1的離心率為______．
答案
解析 由題意得a2＝4，b2＝5?c2＝9?e＝＝.
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若曲線C經(jīng)過點(diǎn)P(1,3)，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為________．
答案
解析 由題意設(shè)拋物線方程為y2＝2px，
又因?yàn)檫^點(diǎn)P(1,3)，則p＝.即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．
3．已知雙曲線C：－y2＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則△PF1Q的周長為________．
答案
解析 因?yàn)殡p曲線C：－y2＝1，
所以a＝，b＝1，c＝＝2，
故F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)．
由于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則PQ⊥x軸．
令x＝2，則有y2＝－1＝，即y＝.
故QF2＝PF2＝，PQ＝，
QF1＝PF1＝PF2＋2a＝.
則△PF1Q的周長為PF1＋QF1＋PQ
＝＋＋＝.
4．設(shè)拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線E上一點(diǎn)，MF的最小值為3，若點(diǎn)P為拋物線E上任意一點(diǎn)，A(4,1)，則PA＋PF的最小值為________．
答案 7
解析 由題意，MF的最小值為3，得＝3，
∴p＝6，∴拋物線E：y2＝12x，
拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是(3,0)；
設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，
則根據(jù)拋物線的定義可知PF＝PD，
∴要求PA＋PF取得最小值，即求PA＋PD取得最小值，當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)PA＋PD最小，為4－(－3)＝7.
5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)與拋物線y2＝8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F，兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若PF＝5，則點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為________．
答案
解析 ∵拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F(2,0)，
∴雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，∴c2＝a2＋b2＝4.①
∵P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且PF＝5，
∴xp＋2＝5，∴xp＝3，∴y＝24.
∵P(xp，yp)在雙曲線－＝1上，
∴－＝1.②
聯(lián)立 解得a2＝1，b2＝3.
∴雙曲線的方程為x2－＝1.
又雙曲線的漸近線方程為y＝x，
∴點(diǎn)F(2,0)到漸近線的距離為.
6．已知點(diǎn)A(2,4)在拋物線y2＝2px(p>0)上，且拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為____________．
答案 x2－＝1
解析 ∵點(diǎn)A(2,4)在拋物線y2＝2px(p>0)上，
∴16＝4p，解得p＝4.
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2.
又拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，∴c＝2，又e＝＝2，
∴a＝1，則b2＝c2－a2＝4－1＝3，
∴雙曲線的方程為x2－＝1.
7．一動(dòng)圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓O2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為__________．
答案?。?
解析 兩定圓的圓心和半徑分別是O1(－3,0)，r1＝1；
O2(3,0)，r2＝9.
設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設(shè)條件，
可得MO1＝R＋1，O2M＝9－R.
∴MO1＋MO2＝10>O1O2＝6.
由橢圓的定義知點(diǎn)M在以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且2a＝10,2c＝6，∴b2＝16.
∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為＋＝1.
8．過橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為________．
答案
解析 由已知得直線方程為y＝2(x－1)．
由得3y2＋2y－8＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴|y1－y2|＝＝ ＝，
∴S△AOB＝1＝.
9．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線－x2＝1的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求的取值范圍．
解 (1)由雙曲線－x2＝1得其焦點(diǎn)為(0，)，
∴b＝.
又由e＝＝，a2＝b2＋c2，得a2＝4，c＝1.
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)由題意可知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，由消去y，
得(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
由Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋3)(64k2－12)>0，
得k2<.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝k2(x1－4)(x2－4)
＝k2x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2，
∴＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)－4k2＋16k2＝25－.
∵0≤k2<，∴－29≤－<－，
∴∈[－4，)．
故的取值范圍為[－4，)．
10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，右焦點(diǎn)F(1,0)，點(diǎn)P在橢圓C上，且在第一象限內(nèi)，直線PQ與圓O：x2＋y2＝b2相切于點(diǎn)M.
(1)求橢圓C的方程；
(2)求PMPF的取值范圍；
(3)若OP⊥OQ，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t的值．
解 (1)∵
∴c＝1，a＝2，b＝，
∴橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)P(x0，y0)，
則＋＝1(0b>0)過點(diǎn)D(1，)，且右焦點(diǎn)為F(1,0)，右頂點(diǎn)為A.過點(diǎn)F的弦為BC.直線BA，直線CA分別交直線l：x＝m(m＞2)于P、Q兩點(diǎn)．
(1)求橢圓方程；
(2)若FP⊥FQ，求m的值．
解 (1)＋＝1，a2－b2＝1，
解之得a2＝4，b2＝3，
所以橢圓方程為＋＝1.
(2)設(shè)B(x0，y0)，則BC：y＝(x－1)，
與橢圓E：＋＝1聯(lián)立得方程組
解得x＝x0，y＝y(tǒng)0或x＝，y＝，
所以C(，)，
kABkAC＝
＝＝
＝＝－.
顯然kAB＝kAP，kAC＝kAQ，所以kAPkAQ＝－.
設(shè)Q(m，y1)，kFQ＝＝kAQ，
同理kFP＝kAP.
所以kFPkFQ＝()2kAPkAQ
＝－()2＝－1，
又m>2，所以＝，所以m＝4.
高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí) 文
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