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第2講 不等式選講
1．(2016課標全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|<|1＋ab|.
(1)解 f(x)＝
當x≤－時，由f(x)<2得－2x<2，
解得x>－1，所以，－1
0.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．
解 (1)當a＝1時，f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0.
當x≤－1時，不等式化為x－4>0，無解；
當－10，解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為.
(2)由題設可得，f(x)＝
所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面積為(a＋1)2.
由題設得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范圍為(2，＋∞)．
本部分主要考查絕對值不等式的解法.求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結合集合的運算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式，絕對值不等式的應用成為命題的熱點，主要考查基本運算能力與推理論證能力及數(shù)形結合思想、分類討論思想.
熱點一 含絕對值不等式的解法
含有絕對值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0)?－ay.求證：2x＋≥2y＋3.
(2)已知實數(shù)x，y滿足：|x＋y|<，|2x－y|<，
求證：|y|<.
證明 (1)因為x>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y
＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3，
(2)因為3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|
≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由題設知|x＋y|<，|2x－y|<，
從而3|y|<＋＝，所以|y|<.
思維升華 (1)作差法應該是證明不等式的常用方法．作差法證明不等式的一般步驟：①作差；②分解因式；③與0比較；④結論．關鍵是代數(shù)式的變形能力．
(2)在不等式的證明中，適當“放”“縮”是常用的推證技巧．
跟蹤演練2 (1)若a，b∈R，求證：≤＋.
(2)已知a，b，c均為正數(shù)，a＋b＝1，求證：＋＋≥1.
證明 (1)當|a＋b|＝0時，不等式顯然成立．
當|a＋b|≠0時，由0<|a＋b|≤|a|＋|b|?≥，所以＝≤＝≤＋.
(2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
所以＋＋≥1.
熱點三 柯西不等式的應用
柯西不等式
(1)設a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時等號成立．
(2)設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當且僅當bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立．
例3 (2015福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
解 (1)因為f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，當且僅當－a≤x≤b時，等號成立．又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.
所以f(x)的最小值為a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值為4，
所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得
(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，
即a2＋b2＋c2≥.當且僅當＝＝，
即a＝，b＝，c＝時等號成立．
故a2＋b2＋c2的最小值為.
思維升華 (1)使用柯西不等式證明的關鍵是恰當變形，化為符合它的結構形式，當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般結構為
(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應注意等號成立的條件．
跟蹤演練3 已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.
(1)解 因為|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當且僅當－1≤x≤2時，等號成立，
所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)證明 由(1)知p＋q＋r＝3，又因為p，q，r是正實數(shù)，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p1＋q1＋r1)2＝(p＋q＋r)2＝9，
即p2＋q2＋r2≥3.
1．解不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1.
解 ①當x<－3時，原不等式轉化為－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.
②當－3≤x<時，原不等式轉化為(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.
③當x≥時，原不等式轉化為(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，∴x>2.
綜上可知，原不等式的解集為{x|x<－或x>2}．
2．設a，b，c均為正實數(shù)，試證明不等式＋＋≥＋＋，并說明等號成立的條件．
解 因為a，b，c均為正實數(shù)，
所以≥≥，
當且僅當a＝b時等號成立；
≥≥，當且僅當b＝c時等號成立；
≥≥，當且僅當a＝c時等號成立．
三個不等式相加，得＋＋≥＋＋，
當且僅當a＝b＝c時等號成立．
3．若a、b、c均為實數(shù)，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋.求證：a、b、c中至少有一個大于0.
證明 假設a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
所以a＋b＋c>0，這與a＋b＋c≤0矛盾，
故a、b、c中至少有一個大于0.
A組 專題通關
1．如果關于x的不等式|x－3|－|x－4|－1時，不等式的解集不是空集．
即實數(shù)a的取值范圍是(－1，＋∞)．
2．設x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求實數(shù)λ的最小值．
解 ∵x>0，y>0，∴原不等式可化為－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋.
∵2＋＋≥2＋2＝4，
當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立．
∴[(＋)(x＋y)]min＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即實數(shù)λ的最小值是－4.
3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解 設y＝|2x－1|＋|x＋2|＝
當x<－2時，y＝－3x－1>5；
當－2≤x<時，y＝－x＋3>；
當x≥時，y＝3x＋1≥，故函數(shù)y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值為.因為不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對任意實數(shù)x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范圍為[－1，]．
4．設不等式|x－2|1時，由2x<4，得1|x＋1|成立，求實數(shù)x的取值范圍．
解 由柯西不等式知
[12＋()2＋()2][a2＋(b)2＋(c)2]
≥(1a＋b＋c)2
即6(a2＋2b2＋3c2)≥ (a＋2b＋3c)2.
又∵a2＋2b2＋3c2＝6，
∴66≥(a＋2b＋3c)2，
∴－6≤a＋2b＋3c≤6，∵存在實數(shù)a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立．
∴|x＋1|<6，∴－70.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值．
解 (1)當a＝1時，f(x)≥3x＋2可化為|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集為{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化為不等式組
或
即或
因為a>0，所以不等式組的解集為{x|x≤－}．
由題設可得－＝－1，故a＝2.
8．(2016課標全國丙)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)當a＝2時，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)設函數(shù)g(x)＝|2x－1|.當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍．
解 (1)當a＝2時，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}．
(2)當x∈R時，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|
≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
當x＝時等號成立，
所以當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3等價于|1－a|＋a≥3.①
當a≤1時，①等價于1－a＋a≥3，無解．
當a＞1時，①等價于a－1＋a≥3，
解得a≥2.
所以a的取值范圍是[2，＋∞)．
高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題八 系列4選講 第2講 不等式選講練習 理
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