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2017年高考全真模擬試題(二)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，考試時間120分鐘，滿分150分.
第Ⅰ卷
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<2}，B＝{x|lg(x－1)>0}，則A∩(?UB)＝( )
A.{x|1
2}，∴?UB＝{x|x≤2}，∴A∩(?UB)＝{x|x<2}，故選C.
2.定義運算＝ad－bc，則符合條件＝0的復數z的共軛復數在復平面內對應的點在( )
A.第一象限 B．第二象限
C.第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 由題意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，則z＝＝－－，∴＝－＋，其在復平面內對應的點在第二象限，故選B.
3.下列說法中，不正確的是( )
A.已知a，b，m∈R，命題：“若am20”的否定是：“?x∈R，x2－x≤0”
C.命題“p或q”為真命題，則命題p和命題q均為真命題
D.“x>3”是“x>2”的充分不必要條件
答案 C
解析 本題考查命題真假的判斷．命題“p或q”為真命題，則命題p和命題q中至少有一個為真命題，C錯誤，故選C.
4.將2名女教師，4名男教師分成2個小組，分別安排到甲、乙兩所學校輪崗支教，每個小組由1名女教師和2名男教師組成，則不同的安排方案共有( )
A.24種 B．12種
C.10種 D．9種
答案 B
解析 第一步，為甲校選1名女教師，有C＝2種選法；第二步，為甲校選2名男教師，有C＝6種選法；第三步，為乙校選1名女教師和2名男教師，有1種選法，故不同的安排方案共有261＝12種，選B.
5.sin2α＝，0<α<，則cos的值為( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 D
解析 cos＝＝sinα＋cosα，又∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，0<α<，∴sinα＋cosα＝，故選D.
6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入t的值為5，則輸出的s的值為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 依題意，當輸入t的值是5時，執(zhí)行題中的程序框圖，s＝1，k＝2<5，s＝1＋，k＝3<5，s＝1＋－，k＝4<5，s＝1＋－＋，k＝5≥5，此時結束循環(huán)，輸出的s＝1＋－＋＝，選D.
7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A．2π－ B．2π－
C. D．2π－2
答案 A
解析 本題考查幾何體的三視圖和體積．由三視圖得該幾何體為底面半徑為1，高為2的圓柱體挖去一個底面邊長為的正方形，高為1的正四棱錐后剩余的部分，則其體積為2π12－()21＝2π－，故選A.
8.將函數f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移個單位后的圖象關于y軸對稱，則函數f(x)在上的最小值為( )
A.0 B．－1
C.－ D．－
答案 D
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移個單位后得到g(x)＝sin＝sin的圖象，又g(x)的圖象關于y軸對稱，
∴g(0)＝sin＝1，
∴－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|<，
∴φ＝－，∴f(x)＝sin，又x∈，
∴2x－∈，∴f(x)min＝－.
9.設不等式組，所表示的區(qū)域為M，函數y＝的圖象與x軸所圍成的區(qū)域為N，向M內隨機投一個點，則該點落在N內的概率為( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 本題考查不等式組表示的平面區(qū)域、幾何概型．在平面直角坐標系內畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域為以(，0)，(－，0)，(0，)為頂點的三角形區(qū)域，函數y＝的圖象與x軸圍成的區(qū)域如圖中的陰影部分所示，則所求概率為＝，故選B.
10. 如圖，在正六邊形ABCDEF中，點P是△CDE內(包括邊界)的一個動點，設＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是( )
A. B．[3,4]
C. D.
答案 B
解析 本題考查平面向量的運算、線性規(guī)劃的應用．以A為原點，分別以AB，AE所在的直線為x，y軸建立平面直角坐標系，設正六邊形的邊長為1，則A(0,0)，B(1,0)，C，D(1，)，E(0，)，F，設點P(x，y)，則＝(x，y)，＝，＝(1,0)，則由＝λ＋μ得
解得則λ＋μ＝x＋y，又因為點P在△CDE內，所以當點P與點D重合時，λ＋μ取得最大值1＋＝4，當點P在線段CE上時，λ＋μ取得最小值3，所以λ＋μ的取值范圍為[3,4]，故選B.
11.在平面直角坐標系xOy中，點P為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的下頂點，M，N在橢圓上，若四邊形OPMN為平行四邊形，α為直線ON的傾斜角，α∈，則橢圓C的離心率的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因為OP在y軸上，在平行四邊形OPMN中，MN∥OP，因此M，N的橫坐標相等，縱坐標互為相反數，即M，N關于x軸對稱，|MN|＝|OP|＝a，可設M(x，－y0)，N(x，y0)．由kON＝kPM得y0＝.把點N的坐標代入橢圓方程得|x|＝b，點N.因為α是直線ON的傾斜角，因此tanα＝b＝.又α∈，因此0時，g′(x)<0，g(x)單調遞減．又f(x)是偶函數，則g(－x)＝x2f(－x)－x2＝x2f(x)－x2＝g(x)，即g(x)是偶函數．不等式x2f(x)－f(1)1，解得x<－1或x>1，選項B正確.
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題～第23題為選考題，考生根據要求作答．
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)
13.已知a＝ln －，b＝ln －，c＝ln －，則a，b，c的大小關系為________．
答案 a>b>c
解析 令f(x)＝ln x－x，則f′(x)＝－1＝.
當00，
即函數f(x)在(0,1)上是增函數．
∵1>>>>0，∴a>b>c.
14.已知三棱錐P－ABC的頂點P、A、B、C在球O的球面上，△ABC是邊長為的等邊三角形，如果球O的表面積為36π，那么P到平面ABC距離的最大值為________．
答案 3＋2
解析 依題意，邊長是的等邊△ABC的外接圓半徑r＝＝1，∵球O的表面積為36π＝4πR2，∴球O的半徑R＝3，∴球心O到平面ABC的距離d＝＝2，∴球面上的點P到平面ABC距離的最大值為R＋d＝3＋2.
15.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果△ABC的面積等于8，a＝5，tanB＝－，那么＝________.
答案
解析 △ABC中，∵tanB＝－，∴sinB＝，cosB＝－，又S△ABC＝acsinB＝2c＝8，∴c＝4，∴b＝＝，∴＝＝.
16.過直線l：x＋y＝2上任意一點P向圓C：x2＋y2＝1作兩條切線，切點分別為A，B，線段AB的中點為Q，則點Q到直線l的距離的取值范圍為________．
答案
解析 依題意，設點P(x0,2－x0)，則直線AB的方程為x0x＋(2－x0)y＝1(注：由圓x2＋y2＝r2外一點E(x0，y0)向該圓引兩條切線，切點分別為F，G，則直線FG的方程是x0x＋y0y＝r2)，直線OP的方程是(2－x0)x－x0y＝0，其中點Q是直線AB與OP的交點，因此點Q(x，y)的坐標是方程組的解．
由得
即點Q，點Q到直線l的距離d＝＝.
注意到0<＝≤1，－2<－2≤－1,1≤<2，所以≤<，即點Q到直線l的距離的取值范圍是.
三、解答題(解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)已知等比數列{an}的前n項和Sn滿足：S3＝39，且2a2是3a1與a3的等差中項．
(1)求數列{an}的通項an；
(2)若數列{an}為遞增數列，bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，問是否存在正整數n使得Tn>成立？若存在，求出n的最小值；若不存在，請說明理由．
解 (1)設數列{an}的公比為q.
由S3＝39得a1(1＋q＋q2)＝39. ①
因為2a2是3a1與a3的等差中項，則3a1＋a3＝4a2.
即q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3.
代入①式得：當q＝1時，a1＝13，{an}的通項公式為an＝13；
當q＝3時，a1＝3，{an}的通項公式為an＝33n－1＝3n.
(2)因為數列{an}為遞增數列，所以an＝3n，bn＝＝＝.
Tn＝
＝.
由Tn>得n2－n－4>0，即n>.
又n∈N*，所以存在最小正整數n＝3，使得Tn>成立.
18.[2015德陽二診](本小題滿分12分)為了整頓食品的安全衛(wèi)生，食品監(jiān)督部門對某食品廠生產的甲、乙兩種食品進行了檢測調研，檢測某種有害微量元素的含量，隨機在兩種食品中各抽取了10個批次的食品，每個批次各隨機地抽取了一件，下表是測量數據的莖葉圖(單位：毫克)
規(guī)定：當食品中的有害微量元素含量在[0,10]時為一等品，在(10,20]時為二等品，20以上為劣質品．
(1)用分層抽樣的方法在兩組數據中各抽取5個數據，再分別從這5個數據中各選取2個．求甲的一等品數與乙的一等品數相等的概率；
(2)每生產一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣質品虧損20元．根據上表統(tǒng)計得到的甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質品的頻率分別估計這兩種食品為一等品、二等品、劣質品的概率．若分別從甲、乙食品中各抽取1件，設這兩件食品給該廠帶來的盈利為X，求隨機變量X的概率分布和數學期望．
解 (1)從甲中抽取的5個數據中，一等品有4＝2個，非一等品有3個；從乙中抽取的5個數據中，一等品有6＝3個，非一等品有2個；
設“從甲中抽取的5個數據中任取2個，一等品個數為i”為事件Ai(i＝0,1,2)，則
P(A0)＝＝，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
設“從乙中抽取的5個數據中任取2個，一等品個數為i”為事件Bi(i＝0,1,2)，則
P(B0)＝＝，P(B1)＝＝，P(B2)＝＝.
∴甲的一等品數與乙的一等品數相等的概率為：
P＝P(A2B2)＋P(A1B1)＋P(A0B0)
＝＋＋＝.
(2)由題意，設“從甲中任取一件為一等品”為事件C1，
則P(C1)＝＝，
設“從甲中任取一件為二等品”為事件C2，
則P(C2)＝＝，
設“從甲中任取一件為劣質品”為事件C3，
則P(C3)＝＝.
設“從乙中任取一件為一等品”為事件D1，
則P(D1)＝＝；
設“從乙中任取一件為二等品”為事件D2，
則P(D2)＝＝；
設“從乙中任取一件為劣質品”為事件D3，
則P(D3)＝＝.
X可?。?0,0,30,40,70,100.
P(X＝－40)＝P(C3D3)＝＝，
P(X＝0)＝P(C3D2＋C2D3)＝＋＝，
P(X＝30)＝P(C1D3＋C3D1)＝＋＝，
P(X＝40)＝P(C2D2)＝＝，
P(X＝70)＝P(C1D2＋C2D1)＝＋＝，
P(X＝100)＝P(C1D1)＝＝，
∴X的分布列為：
X
－40
0
30
40
70
100
P
E(X)＝－40＋0＋30＋40＋70＋100＝54.
19. (本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD.底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，BA∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1.E是線段PB的中點．
(1)求證：AC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
解 (1)證明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC.
又∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝，
由AC2＋BC2＝AB2得AC⊥BC.
又PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC.
(2)解法一：由(1)知AC⊥PC，AC⊥EC，
∴∠PCE就是二面角P－AC－E的平面角，
即cos∠PCE＝.
設PC＝a，則PB＝.
因為E是線段PB的中點，有CE＝PE＝.
在△PCE中，PE2＝PC2＋CE2－2PCCEcos∠PCE，
即＝a2＋－2a，
解得a＝1.
由(1)知AC⊥平面PBC，AC?平面ACE，
所以平面ACE⊥平面PBC.
過點P在平面PBC內作PH⊥CE，垂足為點H，連接AH，
于是PH⊥平面ACE，
∠PAH就是直線PA與平面EAC所成的角．
由cos∠PCE＝，可得sin∠PCE＝，
于是PH＝PCsin∠PCH＝.
同時，PA＝＝.
在Rt△PHA中，sin∠PAH＝＝.
故直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.
解法二：設AB的中點為F，連接CF，則CF⊥AB，
又AB∥CD，所以CF⊥CD，
以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)．
設P(0,0，a)(a>0)，則E，
＝(1,1,0)，＝.
設n＝(x，y，z)是平面ACE的法向量，
所以則
令x＝a，得y＝－a，z＝－2，
∴n＝(a，－a，－2)，
又由(1)知CB⊥平面PAC，
即＝(1，－1,0)是平面PAC的法向量．
依題意，|cos〈，n〉|＝＝＝，
解得a＝1.
于是n＝(1，－1，－2)，＝(1,1，－1)．
設直線PA與平面EAC所成的角為θ，
有sinθ＝＝＝.
故直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.
20.(本小題滿分12分)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，過點M(1,0)的直線l交橢圓C于A，B兩點，|MA|＝λ|MB|，且當直線l垂直于x軸時，|AB|＝.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若λ∈，求弦長|AB|的取值范圍．
解 (1)由已知e＝，得＝，
又當直線垂直于x軸時，|AB|＝，所以橢圓過點，
代入橢圓方程得＋＝1，
∵a2＝b2＋c2，聯(lián)立方程可得a2＝2，b2＝1，
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)當過點M的直線斜率為0時，點A，B分別為橢圓長軸的端點，
λ＝＝＝3＋2>2或λ＝＝＝3－2<，不符合題意．
∴直線的斜率不能為0.
設直線方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線方程代入橢圓方程得：
(m2＋2)y2＋2my－1＝0，由根與系數的關系可得，
將①式平方除以②式可得：
＋＋2＝－，
由已知|MA|＝λ|MB|可知，＝－λ，
∴－λ－＋2＝－，
又知λ∈，∴－λ－＋2∈，
∴－≤－≤0，解得m2∈.
|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝82＝82，
∵m2∈，∴∈，
∴|AB|∈.
21.[2016福建質檢](本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ln x＋－1，a∈R.
(1)若函數f(x)的最小值為0，求a的值；
(2)證明：ex＋(ln x－1)sinx>0.
解 (1)f(x)＝ln x＋－1的定義域為(0，＋∞)，
且f′(x)＝－＝.
若a≤0，則f′(x)>0，于是f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
故f(x)無最小值，不符合題意．
若a>0，則當0a時，f′(x)>0.
故f(x)在(0，a)上單調遞減，在(a，＋∞)上單調遞增．
于是當x＝a時，f(x)取得最小值ln a．
由已知得ln a＝0，解得a＝1.
綜上，a＝1.
(2)證明：①下面先證當x∈(0，π)時，ex＋(ln x－1)sinx>0.
因為x∈(0，π)，所以只要證>1－ln x．
由(1)可知≥1－ln x，
于是只要證>，即只要證xex－sinx>0.
令h(x)＝xex－sinx，則h′(x)＝(x＋1)ex－cosx.
當01e0－1＝0，
所以h(x)在(0，π)上單調遞增．
所以當0h(0)＝0，即xex－sinx>0.
故當x∈(0，π)時，不等式ex＋(ln x－1)sinx>0成立．
②當x∈[π，＋∞)時，由(1)知≥1－ln x，
于是有x≥1－ln，即x≥1＋ln x．
所以ex≥e1＋ln x，即ex≥ex，
又因為ex≥e(1＋ln x)，所以ex≥e(1＋ln x)，
所以ex＋(ln x－1)sinx≥e(ln x＋1)＋(ln x－1)sinx
＝(e＋sinx)ln x＋(e－sinx)>0.
綜上，不等式ex＋(ln x－1)sinx>0成立.
請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．
22.(本小題滿分10分)選修4－4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)．在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的方程為ρ＝2sinθ.
(1)寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；
(2)若點P坐標為(3，)，圓C與直線l交于A、B兩點，求|PA|＋|PB|的值．
解 (1)由得直線l的普通方程為x＋y－3－＝0.
又由ρ＝2sinθ得圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5.
(2)把直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得
2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－44＝2>0，故可設t1、t2是上述方程的兩實數根，
所以t1＋t2＝3，t1t2＝4.
又直線l過點P(3, )，A、B兩點對應的參數分別為t1、t2，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
23.(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講
設函數f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a∈R)．
(1)當a＝4時，求不等式f(x)≥5的解集．
(2)若f(x)≥4對a∈R恒成立，求實數a的取值范圍．
解 (1)當a＝4時，|x－1|＋|x－a|≥5等價于
或或
解得x≤0或x≥5.
所以不等式f(x)≥5的解集為{x|x≤0或x≥5}．
(2)因為f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，所以f(x)min＝|a－1|.
要使f(x)≥4對a∈R恒成立，則|a－1|≥4即可，
所以a≤－3或a≥5，
即實數a的取值范圍是{a|a≤－3或a≥5}.
高考數學大二輪專題復習 全真模擬試題2 理
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