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第2講 函數的應用
1．(2016天津改編)已知函數f(x)＝sin2＋sin ωx－ (ω>0，x∈R)．若f(x)在區(qū)間(π，2π)內沒有零點，則ω的取值范圍是__________．
答案 ∪
解析 f(x)＝＋sin ωx－
＝(sin ωx－cos ωx)＝sin.
因為函數f(x)在區(qū)間(π，2π)內沒有零點，
所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.
當x∈(π，2π)時，ωx－∈，若函數f(x)在區(qū)間(π，2π)內有零點，則ωπ－
0，且a≠1)在R上單調遞減，且關于x的方程|f(x)|＝2－x恰有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是____________．
答案 ∪
解析 由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上遞減，得02，即a>時，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，則Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得a＝或a＝1(舍去)；
當1≤3a≤2，即≤a≤時，由圖象可知，符合條件．
綜上所述，a∈∪.
3．(2016山東)已知函數f(x)＝ 其中m>0，若存在實數b，使得關于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________．
答案 (3，＋∞)
解析 如圖，當x≤m時，f(x)＝|x|；當x>m時，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)為增函數，若存在實數b，使方程f(x)＝b有三個不同的根，則m2－2mm＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.
4．某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內經過測量點的車輛數，單位：輛/時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長l(單位：米)的值有關，其公式為F＝.
(1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/時；
(2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/時．
答案 (1)1 900 (2)100
解析 (1)當l＝6.05時，F(xiàn)＝
＝≤＝＝1 900.
當且僅當v＝11 米/秒時等號成立，此時車流量最大為1 900輛/時．
(2)當l＝5時，F(xiàn)＝＝
≤＝＝2 000.
當且僅當v＝10 米/秒時等號成立，此時車流量最大為2 000 輛/時．
比(1)中的最大車流量增加100 輛/時．
1.求函數零點所在區(qū)間、零點個數及參數的取值范圍是高考的常見題型，主要以填空題的形式出現(xiàn).2.函數的實際應用以二次函數、分段函數模型為載體，主要考查函數的最值問題.
熱點一 函數的零點
1．零點存在性定理
如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．
2．函數的零點與方程根的關系
函數F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數y＝f(x)的圖象與函數y＝g(x)的圖象交點的橫坐標．
例1 (1)函數f(x)＝log2－x2的零點個數為________．
(2)函數f(x)＝3－x＋x2－4的零點個數是________．
答案 (1)2 (2)2
解析 (1)令f＝log2－x2＝0，log2＝x2，分別畫出左右兩個圖象如圖所示，由此可知這兩個圖象有兩個交點，也即原函數有兩個零點．
(2)f(x)＝3－x＋x2－4的零點個數，即方程3－x＝4－x2的根的個數，即函數y＝3－x＝()x與y＝4－x2圖象的交點個數．作出函數y＝()x與y＝4－x2的圖象，如圖所示，可得函數f(x)的零點個數為2.
思維升華 函數零點(即方程的根)的確定問題，常見的有：(1)函數零點值大致存在區(qū)間的確定；(2)零點個數的確定；(3)兩函數圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定．解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數形結合法，尤其是方程兩端對應的函數類型不同的方程多以數形結合法求解．
跟蹤演練1 (1)函數f(x)＝x2－4x＋5－2ln x的零點個數為________．
(2)已知函數f(x)＝則函數g(x)＝f(1－x)－1的零點個數為________．
答案 (1)2 (2)3
解析 (1)由題意可得x＞0，求函數f(x)＝x2－4x＋5－2ln x的零點個數，即求方程ln x＝(x－2)2＋的解的個數，數形結合(圖略)可得，函數y＝ln x的圖象和函數y＝(x－2)2＋的圖象有2個交點，
則f(x)＝x2－4x＋5－2ln x有2個零點．
(2)函數g(x)的零點個數，即函數y＝f(1－x)的圖象與直線y＝1的交點個數．令t＝1－x，則f(t)＝
作出函數y＝f(t)的圖象，與直線y＝1有3個交點，
故g(x)有3個零點．
熱點二 函數的零點與參數的范圍
解決由函數零點的存在情況求參數的值或取值范圍問題，關鍵是利用函數方程思想或數形結合思想，構建關于參數的方程或不等式求解．
例2 (1)已知函數f(x)＝函數g(x)＝2－f(x) ，若函數y＝f(x)－g(x)恰有4個零點，則實數a的取值范圍是________．
(2)已知函數f(x)＝g(x)＝kx＋1，若方程f(x)－g(x)＝0有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是________．
答案 (1)(2,3] (2)(，1)∪(1，e－1]
解析 (1)由題意當y＝f(x)－g(x)＝2＝0時，即方程f(x)＝1有4個解. 又由函數y＝a－與函數y＝(x－a)2的大致形狀可知，直線y＝1與函數f(x)＝的左右兩支曲線都有兩個交點，如圖所示.
那么，有
即解得20，所以f(x)min＝f(ln 2)＝2－2ln 2＋a.由于所以f(x)有零點當且僅當2－2ln 2＋a≤0，所以a≤2ln 2－2.
(2)當x<3時，令ln|x－1|＝0，求得x＝0或x＝2，
即f(x)在(－∞，3)上有兩個不同的零點．
由題意，知f(x)＝2x－a在[3，＋∞)上有且僅有一個零點，則由f(x)＝0，得a＝2x∈[8，＋∞)．
熱點三 函數的實際應用問題
解決函數模型的實際應用問題，首先考慮題目考查的函數模型，并要注意定義域．其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應的數學問題；(2)數學建模：弄清題目中的已知條件和數量關系，建立函數關系式；(3)解函數模型：利用數學方法得出函數模型的數學結果；(4)實際問題作答：將數學問題的結果轉化成實際問題作出解答．
例3 某經銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經市場調研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當每臺凈化器的利潤為x(單位：元，x>0)時，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關系滿足：若x不超過20，則q(x)＝；若x大于或等于180，則銷售量為零；當200，f(x)單調遞增，
當80180時，f(x)＝0.
答 當x等于80元時，總利潤取得最大值240 000元．
思維升華 (1)關于解決函數的實際應用問題，首先要耐心、細心地審清題意，弄清各量之間的關系，再建立函數關系式，然后借助函數的知識求解，解答后再回到實際問題中去．
(2)對函數模型求最值的常用方法：單調性法、基本不等式法及導數法．
跟蹤演練3 (1)國家規(guī)定個人稿費納稅辦法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過部分的14%納稅；超過4 000元的按全稿酬的11%納稅．某人出版了一本書共納稅420元，則他的稿費為________元．
(2)某租賃公司擁有汽車100輛．當每輛車的月租金為3 000元時，可全部租出．當每輛車的月租金每增加50元時，未出租的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元，要使租賃公司的月收益最大，則每輛車的月租金應定為________元．
答案 (1)3 800 (2)4 050
解析 (1)假設個人稿費為x元，所繳納稅費為y元，由已知條件可知y為x的函數，且滿足
y＝
共納稅420元，
所以有0.14(x－800)＝420?x＝3 800.
(2)設每輛車的月租金為x(x>3 000)元，則租賃公司月收益為y＝(100－)(x－150)－50，整理得y＝－＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.
所以當x＝4 050時，y取最大值為307 050，即當每輛車的月租金定為4 050元時，租賃公司的月收益最大為307 050元.
1．函數f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數為________．
押題依據 函數的零點是高考的一個熱點，利用函數圖象的交點確定零點個數是一種常用方法．
答案 5
解析 令2sin πx－x＋1＝0，則2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，則f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數問題就轉化為兩個函數h(x)與g(x)圖象的交點個數問題．h(x)＝2sin πx的最小正周期為T＝＝2，畫出兩個函數的圖象，如圖所示，因為h(1)＝g(1)，h()>g()，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，所以兩個函數圖象的交點一共有5個，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數為5.
2．已知函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－2x恰有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是____________．
押題依據 利用函數零點個數可以得到函數圖象的交點個數，進而確定參數范圍，較好地體現(xiàn)了數形結合思想．
答案 [－1,2)
解析 g(x)＝f(x)－2x＝要使函數g(x)恰有三個不同的零點，只需g(x)＝0恰有三個不同的實數根，
所以或
所以g(x)＝0的三個不同的實數根為x＝2(x>a)，x＝－1(x≤a)，x＝－2(x≤a)．
再借助數軸，可得－1≤a<2.
所以實數a的取值范圍是[－1,2)．
3．已知f是定義在R上的偶函數，且對于任意的x∈，滿足f＝f，若當x∈，f＝，則函數 y＝f－1在區(qū)間上的零點個數為________．
押題依據 結合函數的奇偶性、周期性等性質考查函數的零點問題，利用數形結合思想解決此類問題是關鍵．
答案 7
解析 ∵偶函數f滿足f＝f，∴函數f的周期為2.又當x∈，f＝，∴f＝f＝1，f＝1，∴f＝f＝f＝f＝f＝f＝f＝1.函數y＝f－1的零點的個數等于方程f－1＝0解的個數．在區(qū)間上，方程f－1＝0的解有：－2，－1，0,1,2,3,4共7個．
4．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________m.
押題依據 函數的實際應用是高考的必考點，函數的最值問題是應用問題考查的熱點．
答案 20
解析 如圖，過A作AH⊥BC交于點H，交DE于點F，易知＝＝＝?AF＝x?FH＝40－x，則S＝x(40－x)≤()2，當且僅當40－x＝x，即x＝20時取等號，所以滿足題意的邊長x為20 m.
A組 專題通關
1．(教材改編)若函數f(x)＝x2－mx＋3在R上存在零點，則實數m的取值范圍是________________．
答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析 ∵函數f(x)＝x2－mx＋3在R上存在零點，
∴x2－mx＋3＝0有解，∴Δ＝m2－43≥0，
解得，m≥2或m≤－2.
2．已知函數y＝f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
則函數y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有______個．
答案 3
解析 依題意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根據零點的存在性定理可知，f(x)在區(qū)間(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一個零點，故函數y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有3個．
3．已知x0(x0>1)是函數f(x)＝ln x－的一個零點，若a∈(1，x0)，b∈(x0，＋∞)，則f(a)________0，f(b)________0.
答案 < >
解析 由題意得f(x0)＝0，又y＝ln x在(1，＋∞)上單調遞增，y＝－在(1，＋∞)上單調遞增，故f(x)在(1，＋∞)上單調遞增．又10時，令f(x)＝|ln x|－1＝0，解得x＝e或，均滿足題意；
當x≤0時，令f(x)＝－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1(x＝3舍去)．所以函數y＝f(x)的零點的個數為3.
5．已知定義域為R的函數f(x)＝若關于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3個不同的實根x1，x2，x3，則x＋x＋x＝________.
答案 5
解析 作出f(x)的圖象，如圖所示．
由圖象知，只有當f(x)＝1時有3個不同的實根；
∵關于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3個不同的實根x1，x2，x3，
∴必有f(x)＝1，從而x1＝1，x2＝2，x3＝0，
故可得x＋x＋x＝5.
6．若函數f(x)＝有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是________．
答案 (0,1]
解析 當x>0時，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因為函數f(x)有兩個不同的零點，
則當x≤0時，函數f(x)＝2x－a有一個零點，
令f(x)＝0得a＝2x，
因為0<2x≤20＝1，所以00，b>0)的函數因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故生動地稱為“囧函數”，若當a＝1，b＝1時的“囧函數”與函數y＝lg|x|的交點個數為n，則n＝________.
答案 4
解析 由題意知，當a＝1，b＝1時，
y＝＝
在同一坐標系中畫出“囧函數”與函數y＝lg|x|的圖象如圖所示，易知它們有4個交點．
9．某駕駛員喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)隨時間x(小時)變化的規(guī)律近似滿足表達式《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應的處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不超過0.02毫克/毫升．此駕駛員至少要過______小時后才能開車．(不足1小時部分算1小時，結果精確到1小時)
答案 4
解析 因為0≤x≤1，所以－2≤x－2≤－1，
所以5－2≤5x－2≤5－1，而5－2>0.02，
又由x>1，得x≤，
得x≤，所以x≥4.
故至少要過4小時后才能開車．
10．隨著機構改革工作的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員2a人(140<2a<420，且a為偶數)，每人每年可創(chuàng)利b萬元．據評估，在經營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利0.01b萬元，但公司需付下崗職員每人每年0.4b萬元的生活費，并且該公司正常運轉所需人數不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經濟效益，該公司應裁員多少人？
解 設裁員x人，可獲得的經濟效益為y萬元，則
y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx
＝－[x2－2(a－70)x]＋2ab.
依題意得2a－x≥2a，
所以0，即1400(其中f′(x)為函數f(x)的導函數)．
則方程f(x)＝|sin x|在[－2π，2π]上的根的個數為________．
答案 8
解析 由(1)知，函數f(x)為偶函數；
由(2)知，f(x＋π)＝1－f(x)，
故f(x＋2π)＝1－f(x＋π)＝1－[1－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是周期函數，其周期為2π.
由(3)知，函數f(x)的圖象在y＝0與y＝1之間．
由(4)知，當x∈時，f′(x)<0，
故函數f(x)在上單調遞減；
當x∈時，f′(x)>0，
故函數f(x)在上單調遞增．
綜上，當x∈[0，π]時，f(x)＝|1－x|，畫出函數f(x)和y＝|sin x|在[－2π，2π]上的圖象，如圖所示，兩函數在[－2π，2π]上共有8個交點，所以方程f(x)＝|sin x|在[－2π，2π]上共有8個零點．
12．某桶裝水經營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價與日均銷售量的關系如下表所示.
銷售單價/元
6
7
8
9
10
11
12
日均銷售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
請根據以上數據分析，這個經營部定價在_________元/桶才能獲得最大利潤．
答案 11.5
解析 設每桶水的價格為元，公司日利潤y元，則：y＝－200＝－40x2＋440x＋280，∵－40<0，∴當x＝－＝5.5時函數有最大值，因此，每桶水的價格為11.5元，公司日利潤最大．
13．已知函數f(x)＝|ln x|，g(x)＝則方程|f(x)＋g(x)|＝1實根的個數為________．
答案 4
解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，則h(x)＝
當1＜x＜2時，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故當1＜x＜2時h(x)單調遞減，在同一坐標系中畫出y＝|h(x)|和y＝1的圖象如圖所示．
由圖象可知|f(x)＋g(x)|＝1的實根個數為4.
14．已知函數f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，給出下列命題：
①?a∈R，使f(x)為偶函數；
②若f(0)＝f(2)，則f(x)的圖象關于直線x＝1對稱；
③若a2－b≤0，則f(x)在區(qū)間[a，＋∞)上是增函數；
④若a2－b－2>0，則函數h(x)＝f(x)－2有2個零點．
其中正確命題的序號為________．
答案 ①③
解析?、佼攁＝0時，f(x)＝|x2＋b|顯然是偶函數，故①正確．②由f(0)＝f(2)，得|b|＝|4－4a＋b|，
而f(x＋1)＝|(x＋1)2－2a(x＋1)＋b|＝|x2＋(2－2a)x＋1－2a＋b|，f(1－x)＝|(1－x)2－2a(1－x)＋b|
＝|1－2x＋x2－2a＋2ax＋b|
＝|x2＋(2a－2)x＋1－2a＋b|.
f(x＋1)≠f(1－x)，
∵|b|＝|4－4a＋b|不能判定a＝1，
∴f(x)的圖象不關于直線x＝1對稱，故②錯誤．③f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在區(qū)間[a，＋∞)上是增函數，故③正確．④如圖所示，當a2－b－2>0時，函數f(x)的圖象與直線y＝2有4個交點，故h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4個零點，故④錯誤．
高考數學大二輪總復習與增分策略 專題二 函數與導數 第2講 函數的應用練習 文
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