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第1講 選擇題的解法技巧
題型概述
選擇題注重基本知識與基本技能的考查，側(cè)重于解題的靈活性和快捷性，以“小”“巧”著稱，試題層次性強，一般按照由易到難的順序排列，能充分體現(xiàn)學生靈活運用知識的能力．
解題策略：充分利用題設(shè)和選擇支兩方面所提供的信息作出判斷，一般有兩種思路：一是從題干出發(fā)考慮探求結(jié)果；二是從題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件；先定性后定量，先特殊后推理，先間接后直接，先排除后求解，一定要小題巧解，避免小題大做．
方法一 直接法
直接從題設(shè)條件出發(fā)，運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴密地推理和準確地運算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，作出相應的選擇．涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法．
例1 (1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，B＝2A，則cos A的值為( )
A. B.
C. D.
(2)某班有6位學生與班主任老師畢業(yè)前夕留影，要求班主任站在正中間且女生甲、乙不相鄰，則排法的種數(shù)為( )
A．96 B．432
C．480 D．528
解析 (1)在△ABC中，＝，
∴＝＝＝，
∴cos A＝.
(2)當甲、乙在班主任兩側(cè)時，甲、乙兩人有332種排法，共有33224種排法；當甲乙在班主任同側(cè)時，有424種排法，因此共有排法33224＋424＝528(種)．
答案 (1)A (2)D
思維升華 涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法．只要推理嚴謹，運算正確必能得出正確的答案．平時練習中應不斷提高用直接法解選擇題的能力，不能一味求快導致快中出錯．
跟蹤演練1 (1)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝，其前n項積為Tn，則T10等于( )
A. B．－
C．6 D．－6
(2)(2015四川)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 (1)D (2)D
解析 (1)由an＝?an＋1＝，所以a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，a6＝－3，…，由此可知數(shù)列{an}的項具有周期性，且周期為4，第一周期內(nèi)的四項之積為1，則a9＝a1＝2，a10＝a2＝－3，所以數(shù)列{an}的前10項之積為112(－3)＝－6.
(2)每次循環(huán)的結(jié)果依次為：
k＝2，k＝3，k＝4，k＝5＞4，
∴S＝sin ＝.故選D.
方法二 特例法
從題干(或選項)出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進行判斷．特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用．特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數(shù)等．
例2 (1)設(shè)f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為( )
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
(2)已知等比數(shù)列{an}滿足an>0，n＝1,2,3，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，當n≥1時，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
解析 (1)若a＝－1，則f(x)＝
易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；
若a＝0，則f(x)＝易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C.D正確．
(2)因為a5a2n－5＝22n(n≥3)，
所以令n＝3，代入得a5a1＝26，
再令數(shù)列為常數(shù)列，得每一項為8，
則log2a1＋log2a3＋log2a5＝9＝32.
結(jié)合選項可知只有C符合要求．
答案 (1)D (2)C
思維升華 特例法具有簡化運算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題，但用特例法解選擇題時，要注意以下兩點：
第一，取特例盡可能簡單，有利于計算和推理；
第二，若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結(jié)論相符，則應選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解．
跟蹤演練2 (1)已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A＝60，＋＝2m，則m的值為( )
A. B.
C．1 D.
(2)如圖，在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動點P、Q滿足A1P＝BQ，過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為( )
A．3∶1 B．2∶1
C．4∶1 D.∶1
答案 (1)A (2)B
解析 (1)如圖，當△ABC為正三角形時，A＝B＝C＝60，取D為BC的中點，
＝，則有＋＝2m，
∴(＋)＝2m，
∴2＝m，
∴m＝，故選A.
(2)將P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此時仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，
則有故選B.
方法三 排除法
排除法就是充分運用選擇題中單選題的特征，即有且只有一個正確選擇項這一信息，從選擇項入手，根據(jù)題設(shè)條件與各選擇項的關(guān)系，通過分析、推理、計算、判斷，對選擇項進行排除，將其中與題設(shè)矛盾的干擾項逐一排除，從而獲得正確結(jié)論的方法．
一般選擇支與題干或常識矛盾，選擇支互相矛盾時用排除法．
例3 (1)(2015課標全國Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)柱形圖．以下結(jié)論不正確的是( )
A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著
B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效
C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢
D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)
(2)已知函數(shù)f(x)＝x(1＋a|x|)．設(shè)關(guān)于x的不等式f(x＋a)
0，排除C，所以選擇A.
答案 (1)D (2)A
思維升華 排除法適應于定性型或不易直接求解的選擇題．當題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小選項的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的答案．
跟蹤演練3 (1)設(shè)函數(shù)若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
(2)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，若將其圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)的圖象( )
A．關(guān)于直線x＝對稱 B．關(guān)于直線x＝對稱
C．關(guān)于點(，0)對稱 D．關(guān)于點(，0)對稱
答案 (1)C (2)B
解析 (1)取a＝2驗證滿足題意，排除A、D，取a＝－2驗證不滿足題意，排除B.∴正確選項為C.
(2)∵f(x)的最小正周期為π，∴＝π，ω＝2，
∴f(x)的圖象向右平移個單位后得到g(x)＝sin[2(x－)＋φ]＝sin(2x－＋φ)的圖象，又g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，∴－＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|<，∴|＋kπ|<，∴k＝－1，φ＝－，∴f(x)＝sin(2x－)，當x＝時，2x－＝－，∴A，C錯誤，當x＝時，2x－＝，∴B正確，D錯誤．
方法四 數(shù)形結(jié)合法
根據(jù)命題條件中的函數(shù)關(guān)系或幾何意義，作出函數(shù)的圖象或幾何圖形，將數(shù)的問題(如解方程、解不等式、判斷單調(diào)性、求取值范圍等)與某些圖形結(jié)合起來，利用圖象的直觀性，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到解決，這種方法稱為數(shù)形結(jié)合法．
例4 若直角坐標平面內(nèi)的兩點P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y＝f(x)的圖象上；②P，Q關(guān)于原點對稱，則稱點對[P，Q]是函數(shù)y＝f(x)的一對“友好點對”(注：點對[P，Q]與[Q，P]看作同一對“友好點對”)．已知函數(shù)f(x)＝則此函數(shù)的“友好點對”有( )
A．0對 B．1對
C．2對 D．3對
解析 根據(jù)題意，將函數(shù)f(x)＝－x2－4x(x≤0)的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)180后，得到的圖象所對應的解析式為y＝x2－4x(x≥0)，再作出函數(shù)y＝log2x(x>0)的圖象，如圖所示．由題意，知函數(shù)y＝x2－4x(x>0)的圖象與函數(shù)f(x)＝log2x(x>0)的圖象的交點個數(shù)即為“友好點對”的對數(shù)．由圖可知它們的圖象交點有2個，所以此函數(shù)的“友好點對”有2對．
答案 C
思維升華 數(shù)形結(jié)合法是依靠圖形的直觀性進行分析的，用這種方法解題比直接計算求解更能抓住問題的實質(zhì)，并能迅速地得到結(jié)果．使用數(shù)形結(jié)合法解題時一定要準確把握圖形、圖象的性質(zhì)，否則會因為錯誤的圖形、圖象得到錯誤的結(jié)論．
跟蹤演練4 (1)已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為( )
A．60 B．90
C．120 D．150
(2)已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
答案 (1)B (2)D
解析 (1)如圖，因為〈a，b〉＝120，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC與CO的夾角為90，即a與c的夾角為90.
(2)函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖所示．
①當a＝0時，|f(x)|≥ax顯然成立．
②當a>0時，只需在x>0時，ln(x＋1)≥ax成立．比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y＝ax的增長速度．顯然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③當a<0時，只需x<0，x2－2x≥ax成立，即a≥x－2成立，∴a≥－2.
綜上所述：－2≤a≤0.故選D.
方法五 構(gòu)造法
構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是綜合運用各種知識和方法，依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論給出的信息，把問題作適當?shù)募庸ぬ幚?，?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學模式，揭示問題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法．
例5 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導函數(shù)，且對于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，則有( )
A．e2 018f(－2 018)e2 018f(0)
B．e2 018f(－2 018)f(0)，f(2 018)>e2 018f(0)
D．e2 018f(－2 018)>f(0)，f(2 018)f′(x)，并且ex>0，
所以g′(x)<0，
故函數(shù)g(x)＝在R上單調(diào)遞減，
所以g(－2 018)>g(0)，g(2 018)f(0)，f(0)，
f(2 018)0時，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
(2)若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，給出下列五個命題：
①四面體ABCD每組對棱相互垂直；
②四面體ABCD每個面的面積相等；
③從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90而小于180；
④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分；
⑤從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長．
其中正確命題的個數(shù)是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 (1)A (2)B
解析 (1)因為f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.當x≠0時，令g(x)＝，則g(x)為偶函數(shù)，且g(1)＝g(－1)＝0.則當x＞0時，g′(x)＝′＝＜0，故g(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，在(－∞，0)上為增函數(shù)．所以在(0，＋∞)上，當0＜x＜1時，g(x)＞g(1)＝0?＞0?f(x)＞0；在(－∞，0)上，當x＜－1時，g(x)＜g(－1)＝0?＜0?f(x)＞0.綜上，得使f(x)＞0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0,1)，選A.
(2)構(gòu)造長方體，使三組對棱恰好是長方體的三組平行面中異面的對角線，在此背景下，長方體的長、寬、高分別為x、y、z.
對于①，需要滿足x＝y(tǒng)＝z，才能成立；
因為各個面都是全等的三角形(由對棱相等易證)，則四面體的同一頂點處對應三個角之和一定恒等于180，故②成立，③顯然不成立；
對于④，由長方體相對面的中心連線相互垂直平分判斷④成立；
從每個頂點出發(fā)的三條棱的長恰好分別等于各個面的三角形的三邊長，⑤顯然成立．故正確命題有②④⑤.
方法六 估算法
由于選擇題提供了唯一正確的選項，解答又無需過程，因此，有些題目不必進行準確的計算，只需對其數(shù)值特點和取值界限作出適當?shù)墓烙?，便能作出正確的判斷，這就是估算法．估算法往往可以減少運算量，但是加強了思維的層次．
例6 (1)圖中陰影部分的面積S是h的函數(shù)(0≤h≤H)，則該函數(shù)的大致圖象是( )
(2)已知三棱錐S—ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積是( )
A. B.
C. D.
解析 (1)由題圖知，隨著h的增大，陰影部分的面積S逐漸減小，且減小得越來越慢，結(jié)合選項可知選B.
(2)容易得到△ABC的面積為，而三棱錐的高一定小于球的直徑2，所以V<2＝，立即排除B、C、D，答案選A.
答案 (1)B (2)A
思維升華 估算法一般包括范圍估算，極端值估算和推理估算．當題目從正面解析比較麻煩，特值法又無法確定正確的選項時(如難度稍大的函數(shù)的最值或取值范圍、函數(shù)圖象的變化等問題)常用此種方法確定選項．
跟蹤演練6 (1)已知x1是方程x＋lg x＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根，則x1＋x2等于( )
A．6 B．3
C．2 D．1
(2)(2015湖北)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則( )
A．p1
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