高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題11_1 概率試題 文（含解析）
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專題1 概率（文科） 【三年高考】 1. 【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 2. 【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】因?yàn)榧t燈持續(xù)時(shí)間為40秒.所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選B. 3．【2016高考天津文數(shù)】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋? ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】甲不輸概率為選A. 4．【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖： 記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元）,表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù). （I）若=19,求y與x的函數(shù)解析式； （II）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于”的頻率不小于0.5,求的最小值； （III）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件？ 【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以與的函數(shù)解析式為. （Ⅱ）由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的概率為0.46,不大于19的概率為0.7,故的最小值為19. （Ⅲ）若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買19個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為3800,20臺(tái)的費(fèi)用為4300,10臺(tái)的費(fèi)用為4800,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為.比較兩個(gè)平均數(shù)可知,購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)易損零件. 5．【2016高考山東文數(shù)】某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下： ①若，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)； ②若，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)； ③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶. 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng). （I）求小亮獲得玩具的概率； （II）請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說(shuō)明理由. （）記“”為事件，“”為事件.則事件包含的基本事件共有個(gè)，即所以，則事件包含的基本事件共有個(gè)，即所以，因?yàn)樗?，小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 6. 【2015高考新課標(biāo)1，文4】如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】從中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C. 7.【2015高考山東，文7】在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】由得，，所以，由幾何概型概率的計(jì)算公式得，，故選. 8.【2015高考重慶，文15】在區(qū)間上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程有兩個(gè)負(fù)根的概率為________. 【答案】 9.【2015高考山東，文16】某中學(xué)調(diào)查了某班全部名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人） 參加書法社團(tuán) 未參加書法社團(tuán) 參加演講社團(tuán) 未參加演講社團(tuán) （1）從該班隨機(jī)選名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率； （2）在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的名同學(xué)中，有5名男同學(xué)名女同學(xué)現(xiàn)從這名男同學(xué)和名女同學(xué)中各隨機(jī)選人，求被選中且未被選中的概率. 【解析】（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有人，故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有人，所以從該班級(jí)隨機(jī)選名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為 10. 【2014高考福建卷文第13題】如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為___________. 【答案】 【解析】由隨機(jī)數(shù)的概念及幾何概型得， 所以估計(jì)陰影部分的面積為. 11. 【2014高考重慶卷文第15題】某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:30—7:50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_____（用數(shù)字作答） 【答案】 【解析】用表示小張到校的時(shí)間，,用表示小王到校的時(shí)間，，則所有可能的結(jié)果對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的正方形區(qū)域，記“小張比小王至少早到5分鐘”為事件M,則M所對(duì)區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，所以，所以答案應(yīng)填：. 12. 【2014高考大綱卷文第20題】設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別是0.6， 0.5,0.5,0.4，各人是否使用設(shè)備相互獨(dú)立， （1）求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率； (2)實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購(gòu)買k臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于0.1，求k的最小值. 【解析】記Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i=0,1,2.B表示事件：甲需使用設(shè)備. C表示事件：丁需使用設(shè)備.D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備.E表示事件：同一工作日4人需使用設(shè)備.F表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k. （1）D=A1BC+A2B+A2C，P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=.所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2C)= P(A1BC)+P(A2B)+P(A2C)= P(A1P)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)p()p(C)=0.31. (2)由（1）知，若k=3，則P(F)==0.31>0.1.又E=BCA2,P(E)=P(BCA2)= P(B)P(C)P(A2)=0.06； 若k=4，則P(F)=0.06<0.1.所以k的最小值為3. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 概率問題是每年高考必考內(nèi)容.主要考查等可能事件的概率計(jì)算公式,互斥事件的概率加法公式，對(duì)立事件的概率減法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)種恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式，以及幾何概型，條件概率等基本公式的應(yīng)用. 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 只要我們理解和掌握各種概率公式及其應(yīng)用,夯實(shí)基礎(chǔ),利用化歸轉(zhuǎn)化思想方法,就能順利解答高考概率與統(tǒng)計(jì)試題.概率統(tǒng)計(jì)試題在試卷中的題型逐年發(fā)生變化，本部分題多為中低檔題.一般是一個(gè)選擇題、一道解答題.選擇題或填空題以中低檔題為主， 解答題中等難度，重點(diǎn)考查基本概念及運(yùn)算，往往與統(tǒng)計(jì)問題綜合在一起，如以直方圖或莖葉圖提供問題的背景信息，在同一個(gè)問題中同時(shí)考查概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，成為近年命題的一個(gè)明顯趨勢(shì).預(yù)測(cè)2017年的高考在概率依然會(huì)有一道小題，一道大題，難度中等，但應(yīng)充分注意以統(tǒng)計(jì)為載體問題實(shí)質(zhì)涉及概率與統(tǒng)計(jì)的綜合解答題有可能連續(xù)出現(xiàn)，本節(jié)的內(nèi)容還是一個(gè)重點(diǎn)考查的內(nèi)容，因?yàn)檫@部分內(nèi)容與實(shí)際生活聯(lián)系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來(lái)越重視這部分的內(nèi)容，概率統(tǒng)計(jì)將是重點(diǎn)考查內(nèi)容.概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過對(duì)課本原題進(jìn)行改編，通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時(shí)代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問題.這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人文教育的精神. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 本節(jié)內(nèi)容高考的重點(diǎn)就是利用等可能事件的概率計(jì)算公式,互斥事件的概率加法公式，對(duì)立事件的概率減法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式, 事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)種恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式等基本公式的應(yīng)用, 重點(diǎn)考查學(xué)生的抽象概括能力，分析問題，解決問題的能力及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.題型既有選擇題也有填空題,難度中等偏下. 【考點(diǎn)1】隨機(jī)事件的概率 【備考知識(shí)梳理】 事件A的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),事件A發(fā)生的頻率總接近于某個(gè)常數(shù),在它附近擺動(dòng),這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率,記作P（A）.由定義可知0≤P（A）≤1,顯然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0. 等可能性事件的概率：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件,通常此試驗(yàn)中的某一事件A由幾個(gè)基本事件組成.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè),即此試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè),那么事件A的概率P（A）=.使用公式P（A）=計(jì)算時(shí),確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在,其計(jì)算方法靈活多變,沒有固定的模式,可充分利用排列組合知識(shí)中的分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理,必須做到不重復(fù)不遺漏. 【規(guī)律方法技巧】 求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步驟：（1）先確定一次試驗(yàn)是什么,此時(shí)一次試驗(yàn)的可能性結(jié)果有多少，即求出A.（2）再確定所研究的事件A是什么,事件A包括結(jié)果有多少,即求出m.（3）應(yīng)用等可能性事件概率公式P=計(jì)算. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1．【2016屆河北省邯鄲市高三下第二次模擬】某單位從包括甲、乙在內(nèi)的5名應(yīng)聘者中招聘2人，如果這5名應(yīng)聘者被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲、乙兩人中至少有1人被錄用的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2.【2016屆天津市和平區(qū)高三三模】已知集合，集合，從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，則的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】從集合中選一個(gè)數(shù)有種可能,從集合中選一個(gè)數(shù)有種可能,共有種可能；其中滿足的有,共種可能,由古典概型公式可.因此應(yīng)選C． 【考點(diǎn)2 】互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率 【備考知識(shí)梳理】 事件A、B的和記作A+B，表示事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生.當(dāng)A、B為互斥事件時(shí)，事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的，因此當(dāng)A和B互斥時(shí)，事件A+B的概率滿足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1. 當(dāng)計(jì)算事件A的概率P（A）比較困難時(shí)，有時(shí)計(jì)算它的對(duì)立事件的概率則要容易些，為此有P（A）=1－P（）. 對(duì)于n個(gè)互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式為P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）. 概率加法公式僅適用于互斥事件，即當(dāng)A、B互斥時(shí)，P（A+B）=P（A）+P（B），否則公式不能使用. 【規(guī)律方法技巧】 如果某事件A發(fā)生包含的情況較多，而它的對(duì)立事件（即A不發(fā)生）所包含的情形較少，利用公式P（A）=1－P（）計(jì)算A的概率則比較方便.這不僅體現(xiàn)逆向思維，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)思維的靈活性是非常有益的. 求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的對(duì)立事件的概率. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1．【2016屆河北省邯鄲市高三下第二次模擬】甲、乙、丙三人將獨(dú)立參加某項(xiàng)體育達(dá)標(biāo)測(cè)試.根據(jù)平時(shí)訓(xùn)練的經(jīng)驗(yàn)，甲、乙、丙三人能達(dá)標(biāo)的概率分別為、、，則三人中有人達(dá)標(biāo)但沒有全部達(dá)標(biāo)的概率為_______. 【答案】 【解析】因三人中有一人或兩人達(dá)標(biāo)，其概率為,故應(yīng)填. 2.【2016屆廣東省佛山市高三上期末】某學(xué)校10位同學(xué)組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)．每次獻(xiàn)愛心活動(dòng)均需該組織4位同學(xué)參加．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給4位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到．則甲冋學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【考點(diǎn)3】相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 【備考知識(shí)梳理】 1.事件A與B的積記作AB，AB表示這樣一個(gè)事件，即A與B同時(shí)發(fā)生. 當(dāng)A和B是相互獨(dú)立事件時(shí)，事件AB滿足乘法公式P（AB）=P（A）P（B），還要弄清，的區(qū)別. 表示事件與同時(shí)發(fā)生，因此它們的對(duì)立事件A與B同時(shí)不發(fā)生，也等價(jià)于A與B至少有一個(gè)發(fā)生的對(duì)立事件即，因此有≠，但=. 2.條件概率及其性質(zhì) (1)對(duì)于任何兩個(gè)事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)來(lái)表示，其公式為. 在古典概型中，若用表示事件中基本事件的個(gè)數(shù)，則. (2)條件概率具有的性質(zhì)： ①； ② 如果和是兩互斥事件，則． 【規(guī)律方法技巧】 1. 條件概率的求法 (1)定義法：先求和，再由，求； (2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件數(shù)，再求事件所包含的基本事件數(shù)，得. 2. 求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法 (1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解； (2)正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算． 相互獨(dú)立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個(gè)明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時(shí)先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨(dú)立)，再選擇相應(yīng)的公式計(jì)算求解． 3.應(yīng)用公式時(shí)，要注意前提條件，只有對(duì)于相互獨(dú)立事件A與B來(lái)說(shuō)，才能運(yùn)用公式P（AB）=P（A）P（B）..在學(xué)習(xí)過程中，要善于將較復(fù)雜的事件分解為互斥事件的和及獨(dú)立事件的積，或其對(duì)立事件. 首先要搞清事件間的關(guān)系（是否彼此互斥、是否互相獨(dú)立、是否對(duì)立），當(dāng)且僅當(dāng)事件A和事件B互相獨(dú)立時(shí)，才有P（AB）=P（A）P（B）.A、B中至少有一個(gè)發(fā)生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否則不成立.（2）若A、B相互獨(dú)立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（AB）+P（A）+P（B）；法二：P（A+B）=1－P（）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）. 某些事件若含有較多的互斥事件，可考慮其對(duì)立事件的概率，這樣可減少運(yùn)算量，提高正確率.要注意“至多”“至少”等題型的轉(zhuǎn)化. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.【2016屆江西省上高二中高三全真模擬】某射擊手射擊一次擊中目標(biāo)的概率是0．7，連續(xù)兩次均擊中目標(biāo)的的概率是0．4，已知某次射中，則隨后一次射中的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)“某次射中”為事件，“隨后一次的射中”為事件，則，所以，故選C． 2.【2016屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三5月調(diào)研考試】某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和．若在任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考點(diǎn)4】幾何概型 【備考知識(shí)梳理】 1．（1）隨機(jī)數(shù)的概念： 隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的. （2）隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法 ①利用函數(shù)計(jì)算器可以得到0~1之間的隨機(jī)數(shù)； ②在Scilab語(yǔ)言中，應(yīng)用不同的函數(shù)可產(chǎn)生0~1或a~b之間的隨機(jī)數(shù). 2.幾何概型 （1）定義：如果某個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積等）成比例，則稱這樣的概率模型為為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型． （2）特點(diǎn)：①無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)； ②等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． （3）幾何概型的解題步驟： 首先是判斷事件是一維問題還是二維、三維問題（事件的結(jié)果與一個(gè)變量有關(guān)就是一維的問題，與兩個(gè)變量有關(guān)就是二維的問題，與三個(gè)變量有關(guān)就是三維的問題）；接著，如果是一維的問題，先確定試驗(yàn)的全部結(jié)果和事件構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（角度、弧長(zhǎng)等），最后代公式 ；如果是二維、三維的問題，先設(shè)出二維或三維變量，再列出試驗(yàn)的全部結(jié)果和事件分別滿足的約束條件，作出兩個(gè)區(qū)域，最后計(jì)算兩個(gè)區(qū)域的面積或體積代公式. （4）求幾何概型時(shí)，注意首先尋找到一些重要的臨界位置，再解答.一般與線性規(guī)劃知識(shí)有聯(lián)系. 3．幾種常見的幾何概型 （1）設(shè)線段l是線段L的一部分,向線段L上任投一點(diǎn).若落在線段l上的點(diǎn)數(shù)與線段L的長(zhǎng)度成正比,而與線段l在線段l上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在線段l上的概率為： P=l的長(zhǎng)度/L的長(zhǎng)度 （2）設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分,向區(qū)域G上任投一點(diǎn),若落在區(qū)域g上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域g的面積成正比,而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域g上概率為： P=g的面積/G的面積 （3）設(shè)空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分,向區(qū)域V上任投一點(diǎn).若落在區(qū)域v上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域v的體積成正比,而與區(qū)域v在區(qū)域v上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域V上的概率為： P=v的體積/V的體積 【規(guī)律方法技巧】 1.幾何概型的常見類型的判斷方法 (1)與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)；求與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度(角度)．然后求解，要特別注意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同．解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長(zhǎng)度、角度)． (2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，以求面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解． (3)與體積有關(guān)的幾何概型．對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求． 2.幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來(lái)表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域Ω，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來(lái)解決.將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解． 數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，利用公式可求． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1．【2016屆安徽省安慶市高三第三次模擬】我們知道，可以用模擬的方法估計(jì)圓周率的近似值，如圖，在圓內(nèi)隨機(jī)撒一把豆子，統(tǒng)計(jì)落在其內(nèi)接正方形中的豆子數(shù)目，若豆子總數(shù)為，落到正方形內(nèi)的豆子數(shù)為，則圓周率的估算值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)圓的半徑為，則，得，故選B. 2. 【2016屆山東省臨沂十八中高三三?！恳阎堑膶?dǎo)函數(shù)，則在區(qū)間任取一個(gè)數(shù)使得的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，因此所求概率為，選D. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1. 解決概率問題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”： ① 求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì) 即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種. 第二步，判斷事件的運(yùn)算 即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件. 第三步，運(yùn)用公式求解 第四步，答，即給提出的問題有一個(gè)明確的答復(fù). 2.事件A的概率的計(jì)算方法，關(guān)鍵要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.因此必須解決以下三個(gè)方面的問題：第一，本試驗(yàn)是否是等可能的；第二，本試驗(yàn)的基本事件數(shù)有多少個(gè)；第三，事件A是什么？它包含的基本事件有多少．回答好這三個(gè)方面的問題，解題才不會(huì)出錯(cuò)． 3．幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)：一是無(wú)限性，即在一次試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)可以是無(wú)限的；二是等可能性，即每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的．因此，用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”．即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長(zhǎng)度)”與“試驗(yàn)的基本事件所占的總面積(總體積、長(zhǎng)度)”之比來(lái)表示． 4.求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解．一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解．對(duì)于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解．注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：①在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同．牢記公式，，并深刻理解其含義． 5．解答條件概率問題時(shí)應(yīng)注意的問題 (1)正確理解事件之間的關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵． (2)在求時(shí)，要判斷事件與事件之間的關(guān)系，以便采用不同的方法求．其中，若，則)，從而. 6.幾何概型求解時(shí)應(yīng)注意： (1)對(duì)于一個(gè)具體問題能否應(yīng)用幾何概型概率公式計(jì)算事件的概率，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化；也可根據(jù)實(shí)際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上，將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個(gè)可度量區(qū)域． (2)由概率的幾何定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞應(yīng)理解為對(duì)應(yīng)于每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無(wú)關(guān)． 7.如果題設(shè)條件比較復(fù)雜，且備選答案數(shù)字較小，靠考慮窮舉法求解，如果試題難度較大并和其他知識(shí)聯(lián)系到一起，感覺不易求解，一般不要花費(fèi)過多的時(shí)間，可通過排除法模糊確定，一般可考慮去掉數(shù)字最大與最小的答案 8. 概率計(jì)算題的核心環(huán)節(jié)就是把一個(gè)隨機(jī)事件進(jìn)行類似本題的分拆，這中間有三個(gè)概念，事件的互斥，事件的對(duì)立和事件的相互獨(dú)立，在概率的計(jì)算中只要弄清楚了這三個(gè)概念，根據(jù)實(shí)際情況對(duì)事件進(jìn)行合理的分拆，就能把復(fù)雜事件的概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算，達(dá)到解決問題的目的． 9．在解含有相互獨(dú)立事件的概率題時(shí)，首先把所求的隨機(jī)事件分拆成若干個(gè)互斥事件的和，其次將分拆后的每個(gè)事件分拆為若干個(gè)相互獨(dú)立事件的乘積，這兩個(gè)事情做好了，問題的思路就清晰了，接下來(lái)就是按照相關(guān)的概率值進(jìn)行計(jì)算的問題了，如果某些相互獨(dú)立事件符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型，就把這部分歸結(jié)為用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型，用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的概率計(jì)算公式解答． 10．相當(dāng)一類概率應(yīng)用題都是比如擲硬幣、擲骰子、摸球等概率模型賦予實(shí)際背景后得出來(lái)的，我們?cè)诮忸}時(shí)就要把實(shí)際問題再還原為我們常見的一些概率模型，這就要根據(jù)問題的具體情況去分析，對(duì)照常見的概率模型，把不影響問題本質(zhì)的因素去除，抓住問題的本質(zhì)． 二年模擬 1. 【2016屆廣東省深圳市高三第二次調(diào)研】將一顆骰子擲兩次，則第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的3倍的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】基本事件總數(shù)有種，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的倍的事件有兩種，故概率為. 2. 【2016年山西榆林高三二模】在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和在區(qū)間內(nèi)的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3. 【2016屆廣西柳州市高三下4月模擬】在長(zhǎng)為2的線段上任意取一點(diǎn)，以線段為半徑的圓面積小于的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因以為半徑的圓面積為,故,所以,由幾何概型的計(jì)算公式可得,故應(yīng)選答案B. 4. 【2016年福建廈門一中高三周考】從1,2,3,4,5種任取2個(gè)不同的數(shù)，事件“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，由條件概率公式 5. 【2016年福建漳州】高三二模手若能連續(xù)命中兩次，即停止投籃，晉級(jí)下一輪．假設(shè)某選手每次命中率都是0．6，且每次投籃結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好投籃4次晉級(jí)下一輪的概率為 （A） （B） ?。–） （D） 【答案】 【解析】根據(jù)題意得，第一次中或不中，第二次不中，第三次和第四次必須投中，得概率為. 6. 【2016福建省廈門一中高三周測(cè)】在2015年全國(guó)青運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為1，2，3，4，5的5名火炬手，若從中任選2人，則選出的火炬手的編號(hào)相連的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 7. 【2016屆海南省農(nóng)墾中學(xué)高三第九次月考】盒子中有6只燈泡，其中4只正品，2只次品，有放回地從中任取兩次，每次只取一只，則事件：取到的兩只中正品、次品各一只的概率（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】從只燈泡中有放回的任取兩只，共有種不同的取法，分成兩種情況：第一種情況：第一次取到正品，第二次取到次品；第二種情況：第一次取到次品，第二次取到正品，則. 8. 【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺四】一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a,b,c，當(dāng)且僅當(dāng)a>b,b下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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