《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題五 立體幾何 第1講 空間幾何體練習(xí) 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題五 立體幾何 第1講 空間幾何體練習(xí) 文（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第1講　空間幾何體 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2015江蘇)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________． 答案　 解析　設(shè)新的底面半徑為r，由題意得πr24＋πr28＝π524＋π228，解得r＝. 2．(2016課標(biāo)全國丙改編)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________． 答案　 解析　由題意知，底面三角形的內(nèi)切圓直徑為4.三棱柱的高為3，所以球的最大直徑為3，V的最大值為. 3．(2015山東改編)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為________． 答案　 解析　過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝πAB2BC－πCE2DE＝π122－π121＝. 4．(2014江蘇)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且＝，則的值是________． 答案　 解析　設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，則＝. 由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2， 即r1h1＝r2h2，所以＝＝＝. 1.考查空間幾何體面積、體積的計算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開圖及簡單的組合體問題. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 熱點一　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多邊形；棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形；棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形． 圓柱可由矩形繞其任意一邊旋轉(zhuǎn)得到；圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到；圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上、下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到；球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到． 例1　設(shè)有以下四個命題： ①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體； ②底面是矩形的平行六面體是長方體； ③直四棱柱是直平行六面體； ④棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點． 其中真命題的序號是________． 答案?、佗? 解析　命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故命題③是錯誤的；命題④由棱臺的定義知是正確的． 思維升華　判定與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)命題的方法： (1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定． (2)通過旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)，可對得到旋轉(zhuǎn)體的平面圖形進行分解，結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的定義進行分析． 跟蹤演練1　(1)給出下列四個命題： ①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱； ②對角面是全等矩形的六面體一定是長方體； ③有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④長方體一定是正四棱柱． 其中正確命題的個數(shù)是________． (2)以下命題： ①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面； ④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． 其中正確命題的個數(shù)為________． 答案　(1)0　(2)1 解析　(1)①直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長方體；③④顯然錯誤． (2)命題①錯，因為這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐．命題②錯，因為這條腰必須是垂直于兩底的腰．命題③對．命題④錯，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以． 熱點二　幾何體的表面積與體積 空間幾何體的表面積和體積計算是高考中常見的一個考點，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體的技巧，把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補形技巧． 例2　(1)已知一個圓錐的底面積為2π，側(cè)面積為4π，則該圓錐的體積為________． (2)設(shè)棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若＝，則的值為________． 答案　(1)π　(2) 解析　(1)設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l， 則πr2＝2π，πrl＝4π，解得r＝，l＝2，故高h＝， 所以V＝πr2h＝π2＝π. (2)因為V1＝a3，S1＝6a2，V2＝rπr2＝， S2＝πrl＝πr2， 所以＝＝?＝1， 因此＝＝. 思維升華　(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個計算各個面的面積，然后求和．(2)求體積時可以把空間幾何體進行分解，把復(fù)雜的空間幾何體的體積分解為一些簡單幾何體體積的和或差．求解時注意不要多算也不要少算． 跟蹤演練2　已知圓錐的母線長為5，高為，則此圓錐的底面積和側(cè)面積之比為________． 答案　2∶5 解析　由題意得圓錐的底面半徑為＝2， 因此圓錐的底面積和側(cè)面積之比為＝＝. 熱點三　多面體與球 與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑．如球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點”“接點”)作出截面圖． 例3　(1)已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60，則球O的表面積為________． (2)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為________ cm3. 答案　(1)16π　(2) 解析　(1)在△ABC中， BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 60＝3， ∴AC2＝AB2＋BC2， 即AB⊥BC， 又SA⊥平面ABC， ∴三棱錐S－ABC可補成分別以AB＝1，BC＝，SA＝2為長、寬、高的長方體， ∴球O的直徑＝＝4， 故球O的表面積為4π22＝16π. (2)過球心與正方體中點的截面如圖，設(shè)球心為點O，球半徑為R cm，正方體上底面中心為點A，上底面一邊的中點為點B， 在Rt△OAB中，OA＝(R－2)cm， AB＝4 cm，OB＝R cm， 由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5， ∴V球＝πR3＝π(cm3)． 思維升華　三棱錐P－ABC可通過補形為長方體求解外接球問題的兩種情形： (1)點P可作為長方體上底面的一個頂點，點A、B、C可作為下底面的三個頂點； (2)P－ABC為正四面體，則正四面體的棱都可作為一個正方體的面對角線． 跟蹤演練3　在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面積分別為，，，則三棱錐A－BCD的外接球體積為________． 答案　π 解析　如圖，以AB，AC，AD為棱把該三棱錐擴充成長方體，則該長方體的外接球恰為三棱錐的外接球， ∴三棱錐的外接球的直徑是長方體的體對角線長． 據(jù)題意解得 ∴長方體的體對角線長為＝， ∴三棱錐外接球的半徑為. ∴三棱錐外接球的體積為V＝π()3＝π. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如圖，三棱錐A－BCD中，E是AC的中點，F(xiàn)在AD上，且2AF＝FD，若三棱錐A－BEF的體積是2，則四棱錐B－ECDF的體積為________． 押題依據(jù)　簡單幾何體的表面積和體積的計算是高考考查的重點，本題從兩幾何體的體積關(guān)系進行考查，符合高考命題思想． 答案　10 解析　因為＝＝， V總＝6VA－BEF＝12， 則四棱錐B－ECDF的體積為10. 2．在正三棱錐S－ABC中，點M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB＝2，則正三棱錐S－ABC的外接球的表面積為________． 押題依據(jù)　多面體的外接球一般借助補形為長方體的外接球解決，解法靈活，是高考的熱點． 答案　12π 解析　因為三棱錐S－ABC為正三棱錐，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理，SA⊥SC，即SA，SB，SC三線兩兩垂直，且AB＝2，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝322＝12，所以球的表面積S＝4πR2＝12π. 3．已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的體積與圓柱的體積的比值為________． 押題依據(jù)　求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡單組合體的體積．本題通過球的內(nèi)接圓柱，來考查球與圓柱的體積計算，設(shè)問角度新穎，值得關(guān)注． 答案　 解析　如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的側(cè)面積為S＝2πr2＝4πr≤4π＝2π(當(dāng)且僅當(dāng)r2＝1－r2，即r＝時取等號)． 所以當(dāng)r＝時，＝＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A組　專題通關(guān) 1．以下四個命題： ①正棱錐的所有側(cè)棱相等； ②直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形； ③圓柱的母線垂直于底面； ④用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，所得的截面一定是全等的等腰三角形． 其中，真命題的個數(shù)為________． 答案　3 解析　由正棱錐的定義可知所有側(cè)棱相等，故①正確；由于直棱柱的底面不一定是正多邊形，故側(cè)面矩形不一定全等，因此②不正確；由圓柱母線的定義可知③正確；結(jié)合圓錐軸截面的作法可知④正確．綜上，正確的命題有3個． 2．下圖是棱長為2的正方體的表面展開圖，則多面體ABCDE的體積為________． 答案　 解析　多面體ABCDE為四棱錐(如圖)，利用割補法可得其體積V＝4－＝. 3．設(shè)M，N分別為三棱錐P—ABC的棱AB，PC的中點，三棱錐P—ABC的體積記為V1，三棱錐P—AMN的體積記為V2，則＝________. 答案　 解析　三棱錐P—AMN的體積等于三棱錐P－AMC的體積的一半，等于三棱錐P—ABC的體積的四分之一． 4．已知圓錐的母線長為10 cm，側(cè)面積為60π cm2，則此圓錐的體積為________ cm3. 答案　96π 解析　由題意得：πrl＝60π，l＝10?r＝6?h＝8，因此圓錐的體積為πr2h＝π628＝96π. 5．如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′BCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為______． 答案　π 解析　如圖所示，取BD的中點E，BC的中點O，連結(jié)A′E，EO，A′O，OD.因為平面A′BD⊥平面BCD，A′E⊥BD， 平面A′BD∩平面BCD＝BD， A′E?平面A′BD， 所以A′E⊥平面BCD. 因為A′B＝A′D＝CD＝1，BD＝， 所以A′E＝，EO＝，所以O(shè)A′＝. 在Rt△BCD中，OB＝OC＝OD＝BC＝， 所以四面體A′BCD的外接球的球心為O，球的半徑為，所以V球＝π()3＝π. 6．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________． 答案　2＋ 解析　如圖，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為點E， 則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45，∴BE＝. 而四邊形AECD為矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1. 由此可還原原圖形如圖． 在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2， B′C′＝＋1， 且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′， ∴這塊菜地的面積為 S＝(A′D′＋B′C′)A′B′ ＝(1＋1＋)2＝2＋. 7．已知正三棱柱的各條棱長均為a，圓柱的底面直徑和高均為b，若它們的體積相等，則a3∶b3＝________. 答案　π∶ 解析　正三棱柱的體積為a2a＝a3， 圓柱的體積為π()2b＝b3， 因此a3＝b3?a3∶b3＝π∶. 8.如圖所示，從棱長為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD—A1B1C1D1中分離出來由三個正方形面板組成的幾何圖形．如果用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多能盛的水的體積為________ cm3. 答案　36 解析　最多能盛多少水，實際上是求三棱錐C1—CD1B1的體積． ＝(66)6＝36(cm3)， 所以用圖示中這樣一個裝置來盛水，最多能盛36 cm3體積的水． 9．已知三個球的半徑R1、R2、R3滿足R1＋R3＝2R2，記它們的表面積分別為S1、S2、S3，若S1＝1，S3＝9，則S2＝________. 答案　4 解析　由題意知4πR＝1,4πR＝9，所以16π2RR＝9，即R1R3＝，又4πR＋4πR ＝4π[(R1＋R3)2－2R1R3]＝10， 所以4π[(2R2)2－2R1R3]＝10， 所以化簡得：4πR＝4，即S2＝4. 10．(教材改編)如圖所示，從三棱錐P－ABC的頂點P沿著三條側(cè)棱PA，PB，PC剪開成平面圖形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3. (1)在三棱錐P－ABC中，求證：PA⊥BC； (2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱錐P－ABC的體積． (1)證明　由題設(shè)知A，B，C分別是P1P3，P1P2，P2P3的中點，且P2P1＝P2P3， 從而PB＝PC，AB＝AC， 取BC的中點D，連結(jié)AD，PD(如圖)，則AD⊥BC，PD⊥BC. 又AD∩PD＝D，∴BC⊥平面PAD， 又PA?平面PAD，∴PA⊥BC. (2)解　由題設(shè)有 AB＝AC＝P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10， PB＝PC＝P1B＝13， ∴AD＝PD＝＝12. 在等腰三角形DPA中， 底邊PA上的高h＝ ＝， ∴S△DPA＝PAh＝5. 又BC⊥平面PAD， ∴VP－ABC＝VB－PDA＋VC－PDA ＝BDS△DPA＋DCS△PDA ＝BCS△PDA＝105 ＝. B組　能力提高 11．如圖，已知正三角形ABC的三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值是____________． 答案　 解析　設(shè)正三角形ABC的中心為O1，如圖，連結(jié)O1A，O1O，O1C，OC.∵A，B，C三點在球面上， ∴O1O⊥平面ABC，O1O⊥O1C. ∵球的半徑R＝2，球心O到平面ABC的距離為1，∴在Rt△O1OC中，O1C＝＝. ∵△ABC為正三角形，∴AO1＝O1C＝. 又∵點E為AB的中點，∴AE＝AO1cos 30＝. ∵過點E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的面積最小，此時截面圓以AB為直徑，∴截面圓的半徑r＝，可得截面面積為S＝πr2＝π. 12．已知在三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝PA＝2，且在△ABC中，∠BAC＝120，則三棱錐P—ABC的外接球的體積為________． 答案　 解析　由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC，∴BC2＝22＋22－222(－)＝12， ∴BC＝2.設(shè)平面ABC截球所得截面圓半徑為r，則2r＝＝4，∴r＝2.由PA＝2且PA⊥平面ABC知，球心到平面ABC的距離為1，∴球的半徑為R＝＝，所以V球＝πR3＝. 13．如圖，側(cè)棱長為2的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40，過點A作截面△AEF，則截面△AEF的周長的最小值為____________． 答案　6 解析　沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V－ABC展開在一個平面內(nèi)，如圖， 則AA′即為截面△AEF周長的最小值，且∠AVA′＝340＝120. 在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6，故答案為6. 14．如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，點E在線段AB上．過點E作EF∥BC交AC于點F，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點A與點P重合)，使得∠PEB＝30. (1)求證：EF⊥PB； (2)試問：當(dāng)點E在何處時，四棱錐P—EFCB的側(cè)面PEB的面積最大？并求此時四棱錐P—EFCB的體積． (1)證明　∵EF∥BC且BC⊥AB， ∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE. 又BE∩PE＝E，∴EF⊥平面PBE， 又PB?平面PBE，∴EF⊥PB. (2)解　設(shè)BE＝x，PE＝y(tǒng)，則x＋y＝4. ∴S△PEB＝BEPEsin∠PEB ＝xy≤2＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時，S△PEB的面積最大． 此時，BE＝PE＝2. 由(1)知EF⊥平面PBE，∴平面PBE⊥平面EFCB， 在平面PBE中，作PO⊥BE于點O， 又平面PBE∩平面EFCB＝BE，∴PO⊥平面EFCB. 即PO為四棱錐P—EFCB的高． 又PO＝PEsin 30＝2＝1， SEFCB＝(2＋4)2＝6， ∴VP—BCFE＝61＝2.