《高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題10_2 雙曲線試題 理（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題10_2 雙曲線試題 理（含解析）（23頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

專題10.2 雙曲線 【三年高考】 1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】A 2．【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，,則的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D）2 【答案】A 【解析】因?yàn)榇怪庇谳S，所以，因?yàn)?，即，化簡得，故雙曲線離心率.選A. 3．【2016高考天津理數(shù)】已知雙曲線（b>0），以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的 圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】D 4．【2016年高考北京理數(shù)】雙曲線（，）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長為2，則_______________. 【答案】2 【解析】∵是正方形，∴，即直線方程為，此為雙曲線的漸近線，因此，又由題意，∴，．故填：2． 5．【2016高考上海理數(shù)】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過且與雙曲線交于兩點(diǎn). （1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程； （2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率. 【解析】（1）設(shè)．由題意，，，，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，即，解得．故雙曲線的漸近線方程為． （2）由已知，，．設(shè)，，直線．顯然． 由，得．因?yàn)榕c雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，且．設(shè)的中點(diǎn)為．由即，知，故．而，，，所以，得，故的斜率為． 6. 【2015高考福建，理3】若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則 等于（?。? A．11 　　　 B．9 C．5 　　　D．3 【答案】B 【解析】由雙曲線定義得，即，解得，故選B． 7.【2015高考新課標(biāo)1，理5】已知M（）是雙曲線C：上的一點(diǎn)，是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是( ) （A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，） 【答案】A 8.【2015高考湖北，理8】將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長同時(shí)增加個(gè)單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（ ） A．對任意的， B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， C．對任意的， D．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 【答案】D 【解析】依題意，，， 因?yàn)椋捎?，，? 所以當(dāng)時(shí)，，，，，所以； 當(dāng)時(shí)，，，而，所以，所以. 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 9.【2015高考重慶，理10】設(shè)雙曲線（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為1，過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是　　　?。ā　。? A、 B、 C、 D、 【答案】A 10.【2014新課標(biāo)1，理4】已知是雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為 （ ） . .3 . . 【答案】A 【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則焦點(diǎn)（，0）到漸近線方程為距離為=，故選A. 11. 【2014天津，理5】已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為（　?。? （A）　　 （B） （C）　 　（D） 【答案】A 【解析】依題意得，所以，，雙曲線的方程為 ，故選A. 12.【2014江西，理20】如圖，已知雙曲線:()的右焦點(diǎn),點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，軸，∥(為坐標(biāo)原點(diǎn)）. （1） 求雙曲線的方程； （2） 過上一點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值 . 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 對雙曲線的考查以選擇、填空為主，主要側(cè)重以下幾點(diǎn)：(1)雙曲線定義的應(yīng)用；（2）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)以雙曲線的方程為載體，研究與參數(shù)及漸近線有關(guān)的問題，其中離心率和漸近線是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，高考題中以選擇、填空題為主，分值為5分，難度為容易題和中檔題. 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)性質(zhì)問題是高考考試的重點(diǎn)，每年必考，一般是小題形式出現(xiàn),解答題很少考查,主要以利用性質(zhì)求雙曲線方程，求焦點(diǎn)三角形的周長與面積，求弦長，求雙曲線的離心率,最值或范圍問題，過定點(diǎn)問題，定值問題等, 直線與雙曲線的位置關(guān)系，難度一般不是太大, 故預(yù)測2016年高考仍會(huì)延續(xù)這種情形，以雙曲線的方程與性質(zhì)為主．備考時(shí)應(yīng)熟練掌握雙曲線的定義、求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，能靈活運(yùn)用雙曲線定義及幾何性質(zhì)確定基本元素.另外，要深入理解參數(shù)的關(guān)系、漸近線及其幾何意義，應(yīng)注意與向量、直線、圓等知識的綜合. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 高考對雙曲線的考查有兩種主要形式：一是考雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；二是考查雙曲線的幾何性質(zhì)；三是考查直線與雙曲線的簡單位置關(guān)系，從涉及的知識上講，常平面幾何、平面向量、方程數(shù)學(xué)、不等式等知識相聯(lián)系，字母運(yùn)算能力和邏輯推理能力是考查是的重點(diǎn). 【考點(diǎn)1】雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 【備考知識梳理】 1.雙曲線的定義：把平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫焦距，符號表述為：(). 注意：（1）當(dāng)時(shí)，軌跡是直線去掉線段.(2)當(dāng)時(shí)，軌跡不存在. 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1） 焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.給定橢圓，要根據(jù)的正負(fù)判定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，焦點(diǎn)在分母為正的那個(gè)坐標(biāo)軸上. (2)雙曲線中關(guān)系為：. 【規(guī)律方法技巧】 1.利用雙曲線的定義可以將雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對雙曲線上一點(diǎn)與其兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題，常用雙曲線的定義與正余弦定理去處理. 2.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方法 (1)定義法：若某曲線（或軌跡）上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差（或距離之差的絕對值）為常數(shù)（常數(shù)小于兩點(diǎn)之間的距離），符合雙曲線的定義，該曲線是以這兩定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為實(shí)軸長的雙曲線，從而求出雙曲線方程中的參數(shù)，寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意是距離之差的絕對值是雙曲線的兩只，是距離之差是雙曲線的一只，要注意是哪一只. (2)待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，一般分三步完成，①定性-確定它是雙曲線；②定位-判定中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；③定量-建立關(guān)于基本量的關(guān)系式，解出參數(shù)即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 3.若雙曲線的焦點(diǎn)位置不定，應(yīng)分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上，也可設(shè)雙曲線的方程為，其中異號且都不為0，可避免分類討論和繁瑣的計(jì)算. 4.若已知雙曲線的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）可避免分類討論. 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1. 【2016年江西師大附中?？肌恳阎行脑谠c(diǎn)的雙曲線的離心率等于,其中一條準(zhǔn)線方程，則雙曲線 的方程是（ ） A . B． C． D． 【答案】B 2. 【2016屆寧夏石嘴山三中高三下三模】過雙曲線的左焦點(diǎn)，作圓的切線交雙曲線右支于點(diǎn)P，切點(diǎn)為T，的中點(diǎn)為M，則_____________． 【答案】 【考點(diǎn)2】雙曲線的幾何性質(zhì) 【備考知識梳理】 1.雙曲線的幾何性質(zhì) 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn) (c,0) (0，c) 焦距 |F1F2|＝2c(c2＝a2+b2) 范圍 |x|≥a；y∈R x∈R；|y|≥a 頂點(diǎn) 實(shí)軸頂點(diǎn)(a,0)，虛軸頂點(diǎn)(0，b) 實(shí)軸頂點(diǎn)(0，a)，虛軸頂點(diǎn)(b,0) 對稱性 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱 離心率 e＝∈(1，+)，其中c＝ 漸近線 2.等軸雙曲線： 實(shí)軸與虛軸相等的雙曲線叫等軸雙曲線，，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為，漸近線為. 【規(guī)律方法技巧】 1.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖像進(jìn)行分析，圍繞雙曲線中的“六點(diǎn)”（兩個(gè)頂點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)、虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)），“四線”（兩條對稱軸，兩條漸近線），“兩形”（中心、焦點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的特征三角形，雙曲線上一點(diǎn)與兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形），研究它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2.雙曲線取值范圍實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應(yīng)用. 3.求離心率問題，關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.離心率與的關(guān)系為：=. 4.雙曲線的漸近線方程為，可變形為，即，所以雙曲線的漸近線方程可以看作把其標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換為0得來的. 4.橢圓的通徑（過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在對稱軸的直線被橢圓截得的弦叫通徑）長度為，是過橢圓焦點(diǎn)的直線被橢圓所截得弦長的最小值. 5. 雙曲線上一點(diǎn)到雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[). 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1. 【2016年湖北安慶一中高三一模測試】設(shè)點(diǎn)、分別是雙曲線（,）的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),直線交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)．若是等腰三角形,則此雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D . 解得 .故選D. 2. 【2016年河北石家莊高三二?！恳阎p曲線的一條漸近線方程為，則實(shí)數(shù)的值為______. 【答案】 【考點(diǎn)3】直線與雙曲線的位置關(guān)系 【備考知識梳理】 設(shè)雙曲線的方程為，直線，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程. (1) 若≠0，當(dāng)△＞0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)△=0時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線相切. 當(dāng)△＜0時(shí)，直線與雙曲線無公共點(diǎn). （2）當(dāng)=0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行. 【規(guī)律方法技巧】 1. 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，則一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，常設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，用根與系數(shù)關(guān)系將橫坐標(biāo)之和與之積表示出來，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)． 2．直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 3．對中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法和參數(shù)法. 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1. 【2016年江西師大附中鷹潭一中聯(lián)考】過雙曲線的右焦點(diǎn)作一條直線，當(dāng)直線斜率為1時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率為3時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線離心 率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 【2016屆黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三考前訓(xùn)練一】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn).若為等邊三角形，則該雙曲線的離心率為________． 【答案】 【解析】根據(jù)雙曲線的定義，可得，∵是等邊三角形，即，∴，即，又∵，∴，∵中，，，，∴，即，解之得，由此可得雙曲線的離心率，故答案為：. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 １．焦點(diǎn)三角形問題的求解技巧 (1)所謂焦點(diǎn)三角形，就是以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線上的三角形． (2)解決此類問題要注意應(yīng)用三個(gè)方面的知識：①雙曲線的定義；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式與三角形的面積公式． ２．離心率的求法 雙曲線的離心率就是的值，有些試題中可以直接求出的值再求離心率，在有些試題中不能直接求出的值，由于離心率是個(gè)比值，因此只要能夠找到一個(gè)關(guān)于或的方程，通過這個(gè)方程解出或，利用公式求出，對雙曲線來說，，對橢圓來說，. 3． 有關(guān)弦的問題 (1)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長問題，要重視雙曲線的定義的運(yùn)用，以簡化運(yùn)算． ①斜率為的直線與雙曲線的交于兩點(diǎn)，，則所得弦長或，其中求與時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形： ，. ②當(dāng)斜率不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式)． (2)弦的中點(diǎn)問題 有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運(yùn)算． 4.求解雙曲線的的離心率，基本思路有兩種：一是根據(jù)圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)等分別求出，然后根據(jù)離心率的定義式求解；二是根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于的方程，多為二次齊次式，然后通過方程的變形轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解，要靈活利用橢圓、雙曲線的定義求解相關(guān)參數(shù)． 二年模擬 1. 【2016屆邯鄲市一中高三十研】中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩條漸近線與圓：都相切，則雙曲線的離心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 【2016年江西省九江市三?！窟^雙曲線的左焦點(diǎn)作圓⊙的切線，且點(diǎn)為，延長交雙曲線右支于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（ ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，依題意可得，，則∴，即. 3. 【2016屆云南省玉溪一中高三下第八次月考】已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 4. 【2016年河南省商丘市高三三?！?已知拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依題意,拋物線焦點(diǎn),設(shè),因?yàn)?所以,所以,代入得,所以令,得雙曲線的漸近線為,即. 5..【2016年湖南師大附中高三三?！恳阎c(diǎn)P為雙曲線－＝1(a>0，b>0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且|F1F2|＝，G為三角形PF1F2的內(nèi)心，若S△GPF1＝S△GPF2＋λS△GF1F2成立， 則λ的值為（ ） A. B．2－1 C.＋1 D.－1 【答案】D 6. 【2016屆陜西省安康市高三第三次聯(lián)考】設(shè)雙曲線的一條漸近線與直線的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,若,則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意得，所以，選B. 7. 【2017屆廣州省惠州市高三第一次調(diào)研】雙曲線：的實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為、，點(diǎn)為雙曲線上除、外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（ ） （A）圓 （B）橢圓 （C）雙曲線 （D）拋物線 【答案】C 【解析】設(shè),實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn), ∵QA⊥PA，∴，可得同理根據(jù)QB⊥PB，可得兩式相乘可得,∵點(diǎn)為雙曲線M上除A、B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，整理得 故選C． 8. 【2016屆河南省禹州市名校高三三?！恳阎c(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線的斜率為，若為的內(nèi)心，且，則的值為 ． 【答案】 9．【2016屆天津市和平區(qū)高三三模】設(shè)雙曲線的半焦距為，原點(diǎn)到直線的距離等于，則的最小值為 ． 【答案】 【解析】由題設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,即.而（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）,所以,即,解之得,即的最小值為. 10. 【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測試】已知的邊在直角坐標(biāo)平面的軸上，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，又點(diǎn)在邊上，且滿足，以、為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過、兩點(diǎn)． （Ⅰ）求及此雙曲線的方程； （Ⅱ）若圓心為的圓與雙曲線右支在第一象限交于不同兩點(diǎn)，，求點(diǎn)橫坐標(biāo)取值范圍． 11.【2015屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則的焦距等于（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】∵雙曲線的離心率為2，∴，∵雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)，即，則，，∵焦點(diǎn)到漸近線的距離為，∴，即，解得，則焦距為． 12.【2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第五次模擬】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，正三角形的一邊與雙曲線左支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率的值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)，則,所以，因此離心率等于，選D． 13.【2015屆浙江省余姚市高三第三次模擬考試】設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是的右支上的點(diǎn)，射線平分,過原點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),若,則的離心率為（ ） A. B.3 C. D. 【答案】A 14. 【山東省濟(jì)南市2015屆高三上學(xué)期期末考試】已知是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段為直徑的圓外，則該雙曲線離心率的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】D 15.【2015屆甘肅省天水市一中高三高考信息卷一】我們把離心率的雙曲線稱為黃金雙曲線．如圖是雙曲線的圖象，給出以下幾個(gè)說法：①雙曲線是黃金雙曲線；②若，則該雙曲線是黃金雙曲線；③若為左右焦點(diǎn)，為左右頂點(diǎn)，（0，），（0，﹣）且，則該雙曲線是黃金雙曲線；④若經(jīng)過右焦點(diǎn)且，，則該雙曲線是黃金雙曲線．其中正確命題的序號為 ． 【答案】①②③④ 【解析】對于①，，則，，，所以雙曲線是黃金雙曲線；對于②，，整理得，解得，所以雙曲線是黃金雙曲線；對于③，由勾股定理得，整理得由②可知所以雙曲線是黃金雙曲線；對于④由于，把代入雙曲線方程得，解得，，由對稱關(guān)系知為等腰直角三角形，，即，由①可知所以雙曲線是黃金雙曲線． 拓展試題以及解析 1.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線與雙曲線兩條漸近線的左、右交點(diǎn)分別為，若四邊形的面積為，則雙曲線的離心率為（ ） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【答案】A 【入選理由】本題考查雙曲線的方程及其幾何性質(zhì),直線與雙曲線的位置關(guān)系,面積公式等基礎(chǔ)知識，意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，本題是一個(gè)常規(guī)題，是高考?？碱}型,故選此題. 2.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】拋物線方程化為，∴拋物線的焦點(diǎn)為，雙曲線的右焦點(diǎn)為，∴，∴，故選D. 【入選理由】本題考查拋物線的方程及簡單的幾何性質(zhì)，雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，本題是一個(gè)常規(guī)題，是高考?？碱}型,故選此題. 3.在雙曲線中，已知成等差數(shù)列，則該雙曲線的漸近線的斜率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【入選理由】本題考查雙曲線的方程，雙曲線的性質(zhì),等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，本題是一個(gè)常規(guī)題，是高考?？碱}型,故選此題. 4.設(shè)雙曲線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，帶入雙曲線方程得，則，所以雙曲線的漸近線方程為，故該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，故選C． 【入選理由】本題考查拋物線的方程及簡單的幾何性質(zhì)，雙曲線的方程與簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，本題是一個(gè)常規(guī)題，是高考?？碱}型,故選此題. 5.已知雙曲線與兩條平行直線：與：相交所得的平行四邊形的面積為，則雙曲線的離心率為（ ） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．2 【答案】B 【入選理由】本題考查雙曲線方程,雙曲線的簡單幾何性質(zhì)直線與雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想和綜合分析問題解決問題的能力，試題形式新穎，故選此題. 6.已知雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，且雙曲線與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)M的坐標(biāo)，則雙曲線的方程為—————. 【答案】. 【入選理由】本題考查拋物線的方程及簡單的幾何性質(zhì)，雙曲線的方程與簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，本題是一個(gè)常規(guī)題，是高考常考題型,故選此題.