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專題10.1 橢圓 【三年高考】 1. 【2016高考新課標3理數(shù)】已知為坐標原點，是橢圓：的左焦點，分別為的左，右頂點.為上一點，且軸.過點的直線與線段交于點，與軸交于點.若直線經(jīng)過的中點，則的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 2. 【2016高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標系中，是橢圓 的右焦點，直線 與橢圓交于兩點，且,則該橢圓的離心率是 . 【答案】 3．【2016高考山東理數(shù)】平面直角坐標系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點F是C的一個頂點. （I）求橢圓C的方程； （II）設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M. （i）求證：點M在定直線上;（ii）直線與y軸交于點G，記的面積為，的面積為，求 的最大值及取得最大值時點P的坐標. 【解析】（Ⅰ）由題意知，可得：.因為拋物線的焦點為，所以， 所以橢圓C的方程為. （Ⅱ）（i）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.設(shè)，聯(lián)立方程，得，由，得且，因此,將其代入得，因為，所以直線方程為.聯(lián)立方程，得點的縱坐標為，即點在定直線上. 4．【2016年高考北京理數(shù)】已知橢圓C： （）的離心率為 ，，，，的面積為1. （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)的橢圓上一點，直線與軸交于點M，直線PB與軸交于點N.求證：為定值. 【解析】（1）由題意得解得.所以橢圓的方程為. （2）由（Ⅰ）知，，設(shè)，則.當時，直線的方程為.令，得.從而.直線的方程為.令，得.從而.所以. 當時，，所以.上，為定值. 5．【2016高考新課標2理數(shù)】已知橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于兩點，點在上，． （Ⅰ）當時，求的面積； （Ⅱ）當時，求的取值范圍． （II）由題意，，.將直線的方程代入得.由得，故.由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得，即.當時上式不成立，因此.等價于，即.由此得，或，解得.因此的取值范圍是. 6. 【2015高考新課標1，理14】一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為 . 【答案】 7.【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為，點O為坐標原點，點A的坐標為，點B的坐標為，點M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為. （I）求E的離心率e； （II）設(shè)點C的坐標為，N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標為，求E的方程. 【解析】（I）由題設(shè)條件知，點的坐標為，又，從而，進而得，故. （II）由題設(shè)條件和（I）的計算結(jié)果可得，直線的方程為，點的坐標為，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則線段的中點的坐標為.又點在直線上，且,從而有解得，所以，故橢圓的方程為. 8.【2015高考重慶，理21】如題（21）圖，橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點，且 （1）若，求橢圓的標準方程 （2）若求橢圓的離心率 (2)解法一：如圖(21)圖，設(shè)點P在橢圓上，且，則，求得由,得,從而由橢圓的定義，,從而由，有，又由，知，因此，于是解得. 9.【2015高考陜西，理20】已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點， 的直線的距離為． （I）求橢圓的離心率； （II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的方程． 【解析】（I）過點，的直線方程為，則原點到直線的距離，由，得，解得離心率. 10. 【2014全國大綱理 6】已知橢圓C：的左、右焦點為、，離心率為，過的直線交C于A、B兩點，若的周長為，則C的方程為 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因為△AF1B的周長為4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因為橢圓的離心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1,故選A． 11. 【2014江西，理15】過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為 【答案】 12. 【2014全國課標Ⅱ，理 20】設(shè)，分別是橢圓：的左，右焦點，是上一點且與軸垂直．直線與的另一交點為． （Ⅰ）若直線的斜率為，求的離心率； （Ⅱ）若直線在軸上的截距為2，且，求， 【解析】（Ⅰ）由題意得：，，∵的斜率為， ∴，又，解之：或（舍）， 故：直線的斜率為時，的離心率為 （Ⅱ）由題意知：點在第一象限，，，∴直線的斜率為：，則：；∵在直線上，∴，得……① ∵，∴，且，∴，∴，又∵在橢圓上，∴……② 聯(lián)立①、②解得：， 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 對橢圓的考查，重點考查橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，高考中以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標準方程及橢圓的幾何性質(zhì)，為容易題或中檔題，以解答題的第二問的形式考查直線與橢圓的位置關(guān)系，一般是難題，分值一般為5-12分. 【2017年高考復習建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系是高考考試的熱點，考查方面離心率是重點，其它利用性質(zhì)求橢圓方程，求焦點三角形的周長與面積，求弦長，求橢圓的最值或范圍問題，過定點問題，定值問題等．預(yù)測2017年高考，對橢圓的考查，仍重點考查橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，仍以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標準方程及橢圓的幾何性質(zhì)，難度仍為容易題或中檔題，以解答題的第二問的形式考查直線與橢圓的位置關(guān)系，難度仍難題，分值保持在5-12分.在備戰(zhàn)2017年高考中，要熟記橢圓的定義，會利用定義解決橢圓上一點與橢圓的焦點構(gòu)成的三角形問題，會根據(jù)題中的條件用待定系數(shù)法、定義法等方法求橢圓的標準方程，會根據(jù)條件研究橢圓的幾何性質(zhì)，會用設(shè)而不求思想處理直線與橢圓的位置關(guān)系，重點掌握與橢圓有關(guān)的最值問題、定點與定值問題、范圍問題的處理方法，注意題中向量條件的轉(zhuǎn)化與向量方法應(yīng)用. 【2017年高考考點定位】 高考對橢圓的考查有三種主要形式：一是直接考查橢圓的定義與標準方程；二是考查橢圓的幾何性質(zhì)；三是考查直線與橢圓的位置關(guān)系，從涉及的知識上講，常平面幾何、直線方程與兩直線的位置關(guān)系、圓、平面向量、函數(shù)最值、方程、不等式等知識相聯(lián)系，字母運算能力和邏輯推理能力是考查是的重點. 【考點1】橢圓的定義與標準方程 【備考知識梳理】 1.橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫焦距，符號表述為：(). 注意：（1）當時，軌跡是線段.(2)當時，軌跡不存在. 2.橢圓的標準方程：（1） 焦點在軸上的橢圓的標準方程為；焦點在y軸上的橢圓的標準方程為.給定橢圓，要根據(jù)的大小判定焦點在那個坐標軸上，焦點在分母大的那個坐標軸上.(2)橢圓中關(guān)系為：. 【規(guī)律方法技巧】 1.利用橢圓的定義可以將橢圓上一點到兩焦點的距離進行轉(zhuǎn)化，對橢圓上一點與其兩焦點構(gòu)成的三角形問題，常用橢圓的定義與正余弦定理去處理. 2.求橢圓的標準方程方法 (1)定義法：若某曲線（或軌跡）上任意一點到兩定點的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于兩點之間的距離），符合橢圓的定義，該曲線是以這兩定點為焦點，定值為長軸長的橢圓，從而求出橢圓方程中的參數(shù)，寫出橢圓的標準方程. (2)待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求橢圓標準方程，一般分三步完成，①定性-確定它是橢圓；②定位判定中心在原點，焦點在哪條坐標軸上；③定量-建立關(guān)于基本量的關(guān)系式，解出參數(shù)即可求出橢圓的標準方程. 3.若若橢圓的焦點位置不定，應(yīng)分焦點在x軸上和焦點在y軸上，也可設(shè)橢圓方程為，可避免分類討論和繁瑣的計算. 【考點針對訓練】 1. 【2016屆淮南市高三第二次?！恳噪p曲線的左右焦點為焦點，離心率為的橢圓的標準方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得，雙曲線的焦點坐標為，即，又離心率為，即，解得，所以，所以橢圓的方程為，故選C． 2. 【2016屆廣西柳州高中高三4月高考模擬】已知為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且的面積為，則 . 【答案】. 【考點2】橢圓的幾何性質(zhì) 【備考知識梳理】 1.橢圓的幾何性質(zhì) 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標準方程 焦點 (c,0) (0，c) 焦距 |F1F2|＝2c(c2＝a2－b2) 范圍 |x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a 頂點 長軸頂點(a,0)，短軸頂點(0，b) 長軸頂點(0，a)，短軸頂點(b,0) 對稱性 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱 離心率 e＝∈(0，1)，其中c＝ 2.點與橢圓關(guān)系（1）點在橢圓內(nèi)；（2）點在橢圓上；（3）點在橢圓外. 【規(guī)律方法技巧】 1.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖像進行分析，即使不畫圖形，思考時也要聯(lián)想到圖像.當涉及到頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2.橢圓取值范圍實質(zhì)實質(zhì)是橢圓上點的橫坐標、縱坐標的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應(yīng)用. 3.求離心率問題，關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.離心率與的關(guān)系為：=. 4.橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離的取值范圍為[]. 4.橢圓的通徑（過焦點垂直于焦點所在對稱軸的直線被橢圓截得的弦叫通徑）長度為，是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得弦長的最小值. 【考點針對訓練】 1. 【2016屆湖北省級示范高中聯(lián)盟高三模擬】橢圓的左焦點為為上頂點，為長軸上任意一點，且在原點的右側(cè)，若的外接圓圓心為，且，橢圓離心率的范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2. 【2016屆福建福州三中高三最后模擬】橢圓的左、右焦點為，過作直線垂直于軸，交橢圓C于A，B兩點，若若為等腰直角三角形，且，則橢圓C的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 軸，∴ ．∵ 為等腰直角三角形，∴ ，∴ ，化為 ．解得 ．故選：A． 【考點3】直線與橢圓的位置關(guān)系 【備考知識梳理】 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，若判別式Δ＞0，則直線與橢圓交；若△=0，則直線與橢圓相切；若△＜0，則直線與橢圓相離. 【規(guī)律方法技巧】 1. 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，則一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐標，常設(shè)出交點坐標，用根與系數(shù)關(guān)系將橫坐標之和與之積表示出來，這是進一步解題的基礎(chǔ)． 2．直線y＝kx＋b(k≠0)與圓錐曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 3．對中點弦問題常用點差法和參數(shù)法. 【考點針對訓練】 1. 【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測試】已知橢圓，直線與橢圓交于，兩點，點，且，則直線的方程為 ． 【答案】或 2. 【2016屆湖北省八校高三二聯(lián)】定義：在平面內(nèi)，點到曲線上的點的距離的最小值稱為點到曲線的距離.在平面直角坐標系中，已知圓：及點，動點到圓的距離與到點的距離相等，記點的軌跡為曲線. （Ⅰ）求曲線的方程； （Ⅱ）過原點的直線（不與坐標軸重合）與曲線交于不同的兩點，點在曲線上，且，直線與軸交于點，設(shè)直線的斜率分別為，求 【解析】（Ⅰ）由分析知：點在圓內(nèi)且不為圓心，故,所以點的軌跡為以、為焦點的橢圓， 設(shè)橢圓方程為，則，所以，故曲線的方程為 【應(yīng)試技巧點撥】 １．焦點三角形問題的求解技巧 (1)所謂焦點三角形，就是以橢圓的焦點為頂點，另一個頂點在橢圓上的三角形． (2)解決此類問題要注意應(yīng)用三個方面的知識：①橢圓的定義；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式與三角形的面積公式． ２．離心率的求法 橢圓的離心率就是的值，有些試題中可以直接求出的值再求離心率，在有些試題中不能直接求出的值，由于離心率是個比值，因此只要能夠找到一個關(guān)于或的方程，通過這個方程解出或，利用公式求出，對雙曲線來說，，對橢圓來說，. 3． 有關(guān)弦的問題 (1)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點弦長問題，要重視橢圓定義的運用，以簡化運算． ①斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點，，則所得弦長或，其中求與時通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形： ，. ②當斜率不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式)． (2)弦的中點問題 有關(guān)弦的中點問題，應(yīng)靈活運用“點差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運算． 4.直線與橢圓的位置關(guān)系 在直線與橢圓的位置關(guān)系問題中，一類是直線和橢圓關(guān)系的判斷，利用判別式法.另一類常與“弦”相關(guān)：“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點弦”問題關(guān)鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式.在求解弦長問題中，要注意直線是否過焦點，如果過焦點，一般可采用焦半徑公式求解；如果不過，就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來確定自變量的范圍，涉及二次方程時一定要注意判別式的限制條件. 5.避免繁復運算的基本方法 可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復的運算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因為對普通方程運算復雜的問題，用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標系下運算復雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標系下運算復雜的問題，在極坐標系下可能會簡單“所謂尋求”. 6．注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓上點的坐標時，則，這往往在求與點有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易忽略導致求最值錯誤的原因． 7．注意橢圓上點的坐標范圍，特別是把橢圓上某一點坐標視為某一函數(shù)問題求解，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值有重要意義． 二年模擬 1. 【2016屆海南省農(nóng)墾中學高三第九次月考】設(shè)斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點P,Q，若點P、Q在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】設(shè)點在軸上的射影分別為焦點，，從而，得. 2. 【2016屆河南省新鄉(xiāng)衛(wèi)輝一中高考押題一】已知某橢圓的方程為，上頂點為，左頂點為，設(shè)是橢圓上的任意一點，且面積的最大值為，若已知，，點為橢圓上的任意一點，則的最小值為（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 3. 【2016屆河北省衡水中學高三下練習五】橢圓的離心率是，則實數(shù)為（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由橢圓，（1）當時，，得；（2）當時，，得，故選項為C． 4. 【2016屆福建省廈門市高三5月月考】已知點，是橢圓上的動點，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 5.【2016屆湖南省郴州市高三第四次教學質(zhì)量檢測理】 已知橢圓的左、右焦點分別為、,點是橢圓與圓在第一象限的交點, 且點到的距離等于.若橢圓上一動點到點與到點的距離之差的最大值為,則橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)點為橢圓上的動點，則．當三點共線時，取得最大值，此時．又，所以點是線段上靠近的一個三等分點，所以，代入橢圓方程，得，即，解得，即，故選B． 6. 【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺四】若P為橢圓上任意一點，EF為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是______. 【答案】 【解析】因為 ．又因為橢圓的，為橢圓的右焦點，∴∴．故答案為：． 7. 【2016屆河南省禹州市名校高三三?！恳阎獮闄E圓的右焦點, 點,點為橢圓上任意一點, 且的最小值為,則 ． 【答案】 8. 【2016屆廣西來賓高中高三5月模擬理】如圖，橢圓，圓，橢圓的左右焦點分別為，過橢圓上一點和原點作直線交圓于兩點，若，則的值為___________． 【答案】 【解析】由已知， ，所以．故答案為. 9. 【2016屆湖北省黃岡中學高三5月一?！恳阎獧E圓的左焦點為，離心率為，直線與橢圓相交于兩點，當軸時，的周長最大值為8. （1）求橢圓的方程； （2）若直線過點，求當面積最大時直線的方程. 10. 【2016屆陜西省黃陵中學高三下第六次模擬理】已知點與都在橢圓上，直線交軸于點． （Ⅰ）求橢圓的方程，并求點的坐標； （Ⅱ）設(shè)為原點，點與點關(guān)于軸對稱，直線交軸于點．問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由． 11.【2015屆湖北省襄陽市第五中學高三第一學期11月質(zhì)檢】若橢圓的中心在原點，一個焦點為（0，2），直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點的縱坐標為1，則這個橢圓的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】橢圓的中心在原點，一個焦點為（0，2），所以橢圓的焦點在軸上，且，故能排除A，B，C答案為D. 12.【2015屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】設(shè)、是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，且軸，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意，，軸，∴，∴A點坐標為，設(shè)， 則，∴，∴，代入橢圓方程可得，∵，∴． 13. 【江蘇省啟東中學2015屆高三下學期期初調(diào)研】已知點是橢圓 上的一點，是橢圓的兩個焦點，若的內(nèi)切圓的半徑為，則此橢圓的離心率為 ． 【答案】； 14.【2015屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，它的一個頂點為（0，），且離心率等于，過點（0，2）的直線與橢圓相交于，不同兩點，點在線段上． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）設(shè)，試求的取值范圍． 15.【2015屆甘肅省天水市一中高三高考信息卷一理】如圖，、為橢圓的左、右焦點，、是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率，．若在橢圓上，則點稱為點的一個“好點”．直線與橢圓交于、兩點，、兩點的“好點”分別為、，已知以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由． （Ⅱ）設(shè)、，則、． ①當直線的斜率不存在時，即，，由以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點可得， 即，解得，又點在橢圓上，所以，解得，所以． ②當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為．由，消得，， 由根與系數(shù)的關(guān)系可得， ，由以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點可得，即，即． 故，，整理得，即．所以． ，而，故 ， 而點到直線的距離，所以． 綜合①②可知的面積為定值1． 拓展試題以及解析 1. 已知橢圓的離心率為，直線與以的長軸為直徑的圓交于兩點,且曲線恰好將線段三等分,則的值為( ) A． B． C． D． 【答案】C 【入選理由】本題考查橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系、橢圓的簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力．以及運算求解能力，直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考考查的熱點，故選此題. 2．如圖，已知橢圓上有一個點，它關(guān)于原點的對稱點為，點為橢圓的右焦點，且滿足，當時，橢圓的離心率為___________. 【答案】 【解析】設(shè)橢圓的左焦點為F1,連接AF1,BF1,由對稱性及可知，四邊形AFBF1是矩形，所以|AB=|F1F|=2c，所以在Rt△ABF中，，，由橢圓定義得，即． 【入選理由】本題考查橢圓的方程，橢圓的定義，解直角三角形，三角恒等變形，橢圓的簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運算求解能力，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是高考考查的熱點，故選此題. 3.已知橢圓的離心率為，長軸上個等分點從左到右依次為點，過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在軸上方；過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在軸上方；以此類推，過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在軸上方，則條直線的斜率乘積為 【答案】 【入選理由】本題考查橢圓的方程，直線的斜率，橢圓的簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運算求解能力，本題初看似乎很難，細細分析，利用橢圓的對稱性很容易解出，本題構(gòu)思巧妙，是一個好題，故選此題. 4.設(shè)橢圓，定義橢圓的“隱圓”方程為，若拋物線的準線恰好過橢圓的一個焦點，且橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形. （Ⅰ）求橢圓的方程和“隱圓”的方程； （Ⅱ）過“隱圓”上任意一點作“隱圓”的切線與橢圓交于兩點，為坐標原點. (i)證明:為定值； (ii)連接并延長交“隱圓”于點，求面積的取值范圍. 【解析】（Ⅰ）由拋物線得的準線方程為x=1，因為過橢圓的一個焦點，所以，又因為橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形，所以，故橢圓的方程為， “隱圓”的方程為 ； （ii）由于是“隱圓”的直徑，所以，所以要求面積的取值范圍，只需求弦長的取值范圍，當直線AB的斜率不存在時，由（i）知 ，因為 , ① 時為所以,所以,所以，當且僅當時取”=” ②當時,．|AB |的取值范圍為，面積的取值范圍是. 【入選理由】本題考查橢圓的方程，直線和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡單幾何性質(zhì),新定義,圓的性質(zhì),焦三角等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運算求解能力，本題構(gòu)思巧妙，是一個好題，故選此題. 5.已知橢圓：的右焦點到直線的距離為,且橢圓的一個長軸端點與一個短軸端點間的距離為． （1）求橢圓的方程； （2）如圖，連接橢圓短軸端點與橢圓上不同于的兩點，與以橢圓短軸為直徑的圓分別交于 兩點，且恰好經(jīng)過圓心，求面積的最大值． （2）由題意知直線的斜率存在且不為0，，不妨設(shè)直線的斜率為，則：，由，得，或，∴．∴．用代替，且由得，∴,設(shè)（μ≥2，當且僅當k=1時取等號），則．（當且僅當，即時取等號）. 【入選理由】本題考查橢圓的方程，直線和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡單幾何性質(zhì),基本不等式等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運算求解能力，本題是一個常規(guī)題，直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考考查的熱點，故選此題. 6.已知橢圓的離心率為，直線與軸分別交于點. （Ⅰ）求證：直線與橢圓有且僅有一個交點； （Ⅱ）設(shè)為直線與橢圓的交點，若，求橢圓的離心率； （Ⅲ）求證：直線上的點到橢圓兩焦點距離和的最小值為 （Ⅱ）由題意得，因為，所以 因為，所以 （Ⅲ）設(shè)為橢圓的左右焦點，為直線上任意一點.設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則.由得，因此所以， 即直線上的點到橢圓兩焦點距離和的最小值為 【入選理由】本題考查橢圓的方程，直線和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡單幾何性質(zhì), 函數(shù)最值基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運算求解能力，本題是一個常規(guī)題，第二問出題形式新穎，故選此題. 7.已知、分別是離心率為的橢圓：的左、右焦點，是橢圓上一點，線段的中點為，△（O為坐標原點）的周長為3. (Ⅰ)求橢圓的標準方程； (Ⅱ)過作與軸不垂直的直線交橢圓于兩點，，若，求實數(shù)的取值范圍. (Ⅱ)設(shè)，的中點為，顯然直線的斜率不能為0，故設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，，∴，，∴，∴，∴，由知，，∴=，∴， ∵，∴，∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍為. 【入選理由】本題考查橢圓的方程，橢圓的定義，直線和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運算求解能力，本題是一個常規(guī)題，求參數(shù)范圍是高考考試的重點，故選此題. 8.橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上任意一點，的最大值4，離心率為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）已知過（0,1）作一條直線與橢圓相交于兩點，求△面積的取值范圍． （Ⅱ）可設(shè)直線的方程為，代入方程整理得，,設(shè)直線交橢圓于兩點，則，，　所以====，所以=，設(shè)，則，且，∴ ===，設(shè)，∴＞0，∴在[3,+∞）上是增函數(shù)，∴當即，即時，=，即，∴，∴，∴0＜≤ 此時取值范圍為（0，]． 【入選理由】本題考查橢圓的方程，直線和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡單幾何性質(zhì),三角形的面積,函數(shù)與導數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運算求解能力，本題是一個常規(guī)題，但綜合性比較強,特別是與導數(shù)結(jié)合出題,是一個好題，故選此題.