《高三數(shù)學(xué)第一篇八 選修系列刺 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)第一篇八 選修系列刺 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文（34頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第1 1講講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系與參數(shù)方程考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用考點(diǎn)二 參數(shù)方程及其應(yīng)用考點(diǎn)三 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問題考點(diǎn)一 極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用1.圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(0,0),半徑為r,則圓的方程為:2-20cos(-0)+-r2=0.幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程:(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn),半徑為r時:=r;(2)當(dāng)圓心位于M(a,0),半徑為a時:=2acos;(3)當(dāng)圓心位于M,半徑為a時:=2asin.20,2a2.直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn)M(0,0),且與極軸所成的角為,則它的極坐標(biāo)方程為sin(-)=0sin(0-).幾個特殊位置的直線

2、的極坐標(biāo)方程:(1)直線過極點(diǎn)的極坐標(biāo)方程為=0和=+0;(2)直線過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸的極坐標(biāo)方程為cos=a;(3)直線過點(diǎn)M且平行于極軸的極坐標(biāo)方程為sin=b.,2b3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法 點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x,y)極坐標(biāo)(,)互化公式x,ycossin222xy,y(0)xtanx典型例題典型例題(2017課標(biāo)全國,22,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos=4.(1)M為曲線C1上的動點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)

3、A的極坐標(biāo)為,點(diǎn)B在曲線C2上,求OAB面積的最大值.解析解析(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(,)(0),M的極坐標(biāo)為(1,)(10).由題設(shè)知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程為=4cos(0).2,34cos因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B,)(B0).由題設(shè)知|OA|=2,B=4cos,于是OAB的面積S=|OA|BsinAOB=4cos=22+.當(dāng)=-時,S取得最大值2+.所以O(shè)AB面積的最大值為2+.12sin33sin 23231233方法歸納方法歸納(1)求曲線的極坐標(biāo)方程的一般思路求曲線的極坐標(biāo)方程問題通

4、常可利用互化公式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中的問題求解,然后再次利用互化公式即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程,熟練掌握互化公式是解決問題的關(guān)鍵.(2)解決極坐標(biāo)問題的一般思路一是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo),再將其化為極坐標(biāo);二是將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,根據(jù)限制條件求出極坐標(biāo).跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.在極坐標(biāo)系中,已知圓O:=cos+sin 和直線l:sin=(0,02).(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)(0,)時,求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).422解析解析(1)圓O:=cos+sin,即2=cos+sin,故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-x-y=0.直線l:sin=,即sin-c

5、os=1,即直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+1=0.(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程,將兩方程聯(lián)立得解得即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為(0,1),將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為,即為所求.422220,10,xyxyxy 0,1,xy1,22.(2017安徽合肥第二次質(zhì)量檢測)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為=4cos.(1)求出圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)已知圓C與x軸相交于A,B兩點(diǎn),直線l:y=2x關(guān)于點(diǎn)M(0,m)(m0)對稱的直線為l.若直線l上存在點(diǎn)P使得APB=90,求實(shí)數(shù)m的最大值.解析解析(1)由=4cos

6、 得2=4cos,即x2+y2-4x=0,故圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x=0.(2)l:y=2x關(guān)于點(diǎn)M(0,m)對稱的直線l的方程為y=2x+2m,而AB為圓C的直徑,故直線l上存在點(diǎn)P使得APB=90的充要條件是直線l與圓C有公共點(diǎn),故2,解得-2-m-2,又m0,所以-2-m0或0b0)的參數(shù)方程為(為參數(shù));雙曲線-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為(為參數(shù));拋物線y2=2px(p0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).22xa22ybcos,sinxayb22xa22yb,costanaxyb22,2xptypt 典型例題典型例題(2017課標(biāo)全國,22,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方

7、程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為,求a.解析解析(1)曲線C的普通方程為+y2=1.當(dāng)a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0.由3cos,sinxy4,1xatyt 1729x22430,19xyxy解得或從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),.(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(diǎn)(3cos,sin)到l的距離為d=.當(dāng)a-4時,d的最大值為,由題設(shè)得=,所以a=8;當(dāng)a-4時,d的最大值為,3,0 xy21,2524.25xy 21 24,25

8、 25|3cos4sin4|17a917a917a17117a 由題設(shè)得=,所以a=-16.綜上,a=8或a=-16.117a 17參數(shù)方程與普通方程的互化及參數(shù)方程的應(yīng)用(1)將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程,常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等,往往需要對參數(shù)方程進(jìn)行變形,為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.(2)在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中,參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍,尤其是求取值范圍和最值問題,可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中,根據(jù)參數(shù)的取值條件求解.方法歸納方法歸納跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017云南昆明模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(

9、t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為=.(1)寫出直線l的普通方程和曲線C1的參數(shù)方程;(2)若將曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)縮短為原來的,得到曲線C2,設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.12,232xtyt 66622解析解析(1)直線l的普通方程為x-y+2=0,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(2)由題意知,曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)).可設(shè)點(diǎn)P(cos,sin),則點(diǎn)P到直線l的距離d=,所以dmin=,即點(diǎn)P到直線l距離的最小值為.336cos,6sinxycos,3sinxy3|3cos3sin

10、2 3|3 132sin2422 3622 3622.(2017河南鄭州質(zhì)量預(yù)測(二)已知曲線C1的極坐標(biāo)方程是=1,在以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸的平面直角坐標(biāo)系中,將曲線C1所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍(縱坐標(biāo)不變),得到曲線C2.(1)求曲線C2的參數(shù)方程;(2)直線l過點(diǎn)M(1,0),傾斜角為,與曲線C2交于A,B兩點(diǎn),求|MA|MB|的值.4解析解析(1)曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1,則曲線C2的直角坐標(biāo)方程為+y2=1.曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(2)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入曲線C2的直角坐標(biāo)方程+y2=1,化簡得5t2+t-8=0,設(shè)A,B對

11、應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2.依直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義知|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|,|MA|MB|=|t1t2|=.29x3cos,sinxy21cos1,4220sin42xttytt 29x285考點(diǎn)三 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問題典型例題典型例題(2017課標(biāo)全國,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時,P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:(cos+sin)-=0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.解

12、析解析(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2).2,xtykt2,xmmyk 21k設(shè)P(x,y),由題設(shè)得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y0).(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2-sin2)=4(02,).聯(lián)立得cos-sin=2(cos+sin).故tan=-,從而cos2=,sin2=,代入2(cos2-sin2)=4得2=5,(2),1(2).yk xyxk222(cossin)4,(cossin)2013910110所以交點(diǎn)M的極徑為.5解決極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合問題應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)(1)在對

13、于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下,可以先化成普通方程或直角坐標(biāo)方程,這樣思路可能更加清晰.(2)對于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問題,用參數(shù)方程計(jì)算會比較簡捷.(3)利用極坐標(biāo)方程解決問題時,要注意題目所給的限制條件及隱含條件.方法歸納方法歸納跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017湖北四校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為cos=.(1)求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)M為曲線C上的動點(diǎn),求點(diǎn)M到直線l的距離的最大值.5cos1,5sin2xy43 22解析解析(1)曲線C的普通方程為(x+

14、1)2+(y-2)2=5.因?yàn)閏os=,所以(cos-sin)=,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-3=0.(2)設(shè)M(cos-1,sin+2),則點(diǎn)M到直線l的距離d=,所以dmax=3+.43 22223 2255|5cos5sin6|210cos642252.(2017福建福州五校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C:2=(02),若直線l與y軸正半軸交于點(diǎn)M,與曲線C交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在第一象限.(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程及點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)tM(用表示);(2)設(shè)曲線C的左焦點(diǎn)為F1,若|F1B|=|AM|,求直線l的傾

15、斜角的值.2cos,sinxtyt,02t為參數(shù)2312sin 解析解析(1)由2=得2+22sin2=3,+y2=1,即曲線C的直角坐標(biāo)方程為+y2=1.又由題意可知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為0,代入x=-+tcos,得tcos=,tM=.(2)由(1)知,F1的坐標(biāo)為(-,0),則直線l過點(diǎn)F1.將代入+y2=1,化簡可得(1+2sin2)t2-2cos t-1=0,設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,|t1+t2|=|tM|,即=,2312sin cos,sin,xy23x23x222cos22cos,sinxtyt 23x222 2cos12sin2cos得sin=,又0,=.12261.(201

16、7安徽合肥模擬)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是=4cos.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù)).(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=,求直線l的傾斜角的值.1cos,sinxtyt 14隨堂檢測隨堂檢測解析解析(1)由=4cos 得其直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4.(2)將代入圓C的直角坐標(biāo)方程得(tcos-1)2+(tsin)2=4,化簡得t2-2tcos-3=0.設(shè)A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,則|AB|=|t1-t2|=,4cos2=2,故cos=,即=或.1

17、cos,sinxtyt 121 22cos,3,ttt t 2121 2()4ttt t24cos12 14224342.(2017河北石家莊質(zhì)量檢測(一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos2+22sin2=12,且直線l與曲線C交于P,Q兩點(diǎn).(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l恒過的定點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)在(1)的條件下,若|AP|AQ|=6,求直線l的普通方程.2cos,sinxtyt解析解析(1)x=cos,y=sin,C:x2+2y2=12.直線l恒過的定點(diǎn)為A(2,0).(2)把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中得:(sin2+1)t2+4cos t-8=0.設(shè)P,Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,由t的幾何意義知|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,點(diǎn)A在橢圓內(nèi),這個方程必有兩個實(shí)根,t1t2=-,|AP|AQ|=|t1t2|=6,即=6,sin2=,(0,),28sin1 281 sin 13sin=,cos=,直線l的斜率k=,因此,直線l的方程為y=(x-2)或y=-(x-2).3363222222