《高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題10_1 橢圓試題 文（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題10_1 橢圓試題 文（含解析）（31頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

專題10.1 橢圓試題 文 【三年高考】 1. 【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 2. 【2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過的中點(diǎn)，則的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 3．【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】已知是橢圓：的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交與，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，. （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的面積； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：. 【解析】（Ⅰ）設(shè)，則由題意知.由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線的傾斜角為，又，因此直線的方程為.將代入得，解得或，所以.因此的面積. （2） 將直線的方程代入得.由得，故.由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得.由得，即.設(shè)，則是的零點(diǎn)，，所以在單調(diào)遞增，又，因此在有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)在內(nèi)，所以. 4．【2016高考北京文數(shù)】已知橢圓C：過點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn). （I）求橢圓C的方程及離心率； （Ⅱ）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值. 5．【2016高考天津文數(shù)】設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率. 【解析】（1）設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為. 6. 【2015高考廣東，文8】已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得：，因?yàn)椋?，故選C． 7.【2015高考福建，文11】已知橢圓的右焦點(diǎn)為．短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)．若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，．則四邊形是平行四邊形，故，所以 ，所以，設(shè)，則，故，從而，， ，所以橢圓的離心率的取值范圍是，故選A． 8．【2015高考浙江，文15】橢圓（）的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率是 ． 【答案】 9. 【2015高考安徽，文20】設(shè)橢圓E的方程為點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b）,點(diǎn)M在線段AB上，滿足直線OM的斜率為. （Ⅰ）求E的離心率e; （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-b）,N為線段AC的中點(diǎn)，證明：MNAB. 【解析】（Ⅰ）由題設(shè)條件知，點(diǎn)，又從而.進(jìn)而，故. （Ⅱ）證：由是的中點(diǎn)知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得.又，從而有，由（Ⅰ）得計(jì)算結(jié)果可知所以，故. 10. 【2014大綱，文9】已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1,F2離心率為，過F2的直線l交C與A、B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為，則C的方程為( ) A. B. C. D. 【答案】A 11.【2014遼寧，文15】 已知橢圓C：，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則 . 【答案】12 【解析】設(shè)MN的中點(diǎn)為G，則點(diǎn)G在橢圓C上，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于C的焦點(diǎn)F1的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)M關(guān)于C的焦點(diǎn)F2的對(duì)稱點(diǎn)為B，則有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12. 12.【2014新課標(biāo)2，文20】設(shè)，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直．直線與的另一交點(diǎn)為． （Ⅰ）若直線的斜率為，求的離心率； （Ⅱ）若直線在軸上的截距為2，且，求， 【解析】（Ⅰ）由題意得：，，∵的斜率為， ∴，又，解之：或（舍）， 故：直線的斜率為時(shí)，的離心率為； （Ⅱ）由題意知：點(diǎn)在第一象限，，，∴直線的斜率為：，則：；∵在直線上，∴，得……① ∵，∴，且，∴，∴，又∵在橢圓上，∴……② 聯(lián)立①、②解得：，. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 對(duì)橢圓的考查，重點(diǎn)考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，高考中以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的幾何性質(zhì)，為容易題或中檔題，以解答題的第二問的形式考查直線與橢圓的位置關(guān)系，一般是難題，分值一般為5-12分. 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系是高考考試的熱點(diǎn)，考查方面離心率是重點(diǎn)，其它利用性質(zhì)求橢圓方程，求焦點(diǎn)三角形的周長與面積，求弦長，求橢圓的最值或范圍問題，過定點(diǎn)問題，定值問題等．預(yù)測(cè)2017年高考，對(duì)橢圓的考查，仍重點(diǎn)考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，仍以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的幾何性質(zhì)，難度仍為容易題或中檔題，以解答題的第二問的形式考查直線與橢圓的位置關(guān)系，難度仍難題，分值保持在5-12分.在備戰(zhàn)2017年高考中，要熟記橢圓的定義，會(huì)利用定義解決橢圓上一點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題，會(huì)根據(jù)題中的條件用待定系數(shù)法、定義法等方法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)根據(jù)條件研究橢圓的幾何性質(zhì)，會(huì)用設(shè)而不求思想處理直線與橢圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)掌握與橢圓有關(guān)的最值問題、定點(diǎn)與定值問題、范圍問題的處理方法，注意題中向量條件的轉(zhuǎn)化與向量方法應(yīng)用. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)橢圓的考查有三種主要形式：一是直接考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；二是考查橢圓的幾何性質(zhì)；三是考查直線與橢圓的位置關(guān)系，從涉及的知識(shí)上講，常平面幾何、直線方程與兩直線的位置關(guān)系、圓、平面向量、函數(shù)最值、方程、不等式等知識(shí)相聯(lián)系，字母運(yùn)算能力和邏輯推理能力是考查是的重點(diǎn). 【考點(diǎn)1】橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 【備考知識(shí)梳理】 1.橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫焦距，符號(hào)表述為：(). 注意：（1）當(dāng)時(shí)，軌跡是線段.(2)當(dāng)時(shí)，軌跡不存在. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1） 焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.給定橢圓，要根據(jù)的大小判定焦點(diǎn)在那個(gè)坐標(biāo)軸上，焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)坐標(biāo)軸上.(2)橢圓中關(guān)系為：. 【規(guī)律方法技巧】 1.利用橢圓的定義可以將橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對(duì)橢圓上一點(diǎn)與其兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題，常用橢圓的定義與正余弦定理去處理. 2.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方法 (1)定義法：若某曲線（或軌跡）上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于兩點(diǎn)之間的距離），符合橢圓的定義，該曲線是以這兩定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為長軸長的橢圓，從而求出橢圓方程中的參數(shù)，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般分三步完成，①定性-確定它是橢圓；②定位判定中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；③定量-建立關(guān)于基本量的關(guān)系式，解出參數(shù)即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 3.若若橢圓的焦點(diǎn)位置不定，應(yīng)分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上，也可設(shè)橢圓方程為，可避免分類討論和繁瑣的計(jì)算. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆淮南市高三第二次?！恳噪p曲線的左右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，又離心率為，即，解得，所以，所以橢圓的方程為，故選C． 2. 【2016屆廣西柳州高中高三4月高考模擬】已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為，則 . 【答案】. 【考點(diǎn)2】橢圓的幾何性質(zhì) 【備考知識(shí)梳理】 1.橢圓的幾何性質(zhì) 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn) (c,0) (0，c) 焦距 |F1F2|＝2c(c2＝a2－b2) 范圍 |x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a 頂點(diǎn) 長軸頂點(diǎn)(a,0)，短軸頂點(diǎn)(0，b) 長軸頂點(diǎn)(0，a)，短軸頂點(diǎn)(b,0) 對(duì)稱性 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱 離心率 e＝∈(0，1)，其中c＝ 2.點(diǎn)與橢圓關(guān)系（1）點(diǎn)在橢圓內(nèi)；（2）點(diǎn)在橢圓上；（3）點(diǎn)在橢圓外. 【規(guī)律方法技巧】 1.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖像進(jìn)行分析，即使不畫圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖像.當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2.橢圓取值范圍實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應(yīng)用. 3.求離心率問題，關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.離心率與的關(guān)系為：=. 4.橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[]. 4.橢圓的通徑（過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在對(duì)稱軸的直線被橢圓截得的弦叫通徑）長度為，是過橢圓焦點(diǎn)的直線被橢圓所截得弦長的最小值. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆湖北省級(jí)示范高中聯(lián)盟高三模擬】橢圓的左焦點(diǎn)為為上頂點(diǎn)，為長軸上任意一點(diǎn)，且在原點(diǎn)的右側(cè)，若的外接圓圓心為，且，橢圓離心率的范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2. 【2016屆福建福州三中高三最后模擬】橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過作直線垂直于軸，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若若為等腰直角三角形，且，則橢圓C的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 軸，∴ ．∵ 為等腰直角三角形，∴ ，∴ ，化為 ．解得 ．故選：A． 【考點(diǎn)3】直線與橢圓的位置關(guān)系 【備考知識(shí)梳理】 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，若判別式Δ＞0，則直線與橢圓交；若△=0，則直線與橢圓相切；若△＜0，則直線與橢圓相離. 【規(guī)律方法技巧】 1. 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，則一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，常設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，用根與系數(shù)關(guān)系將橫坐標(biāo)之和與之積表示出來，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)． 2．直線y＝kx＋b(k≠0)與圓錐曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 3．對(duì)中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法和參數(shù)法. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測(cè)試】已知橢圓，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則直線的方程為 ． 【答案】或 2. 【2016屆湖北省八校高三二聯(lián)】定義：在平面內(nèi)，點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)到曲線的距離.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：及點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到圓的距離與到點(diǎn)的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為曲線. （Ⅰ）求曲線的方程； （Ⅱ）過原點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸重合）與曲線交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，且，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 １．焦點(diǎn)三角形問題的求解技巧 (1)所謂焦點(diǎn)三角形，就是以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上的三角形． (2)解決此類問題要注意應(yīng)用三個(gè)方面的知識(shí)：①橢圓的定義；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式與三角形的面積公式． ２．離心率的求法 橢圓的離心率就是的值，有些試題中可以直接求出的值再求離心率，在有些試題中不能直接求出的值，由于離心率是個(gè)比值，因此只要能夠找到一個(gè)關(guān)于或的方程，通過這個(gè)方程解出或，利用公式求出，對(duì)雙曲線來說，，對(duì)橢圓來說，. 3． 有關(guān)弦的問題 (1)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長問題，要重視橢圓定義的運(yùn)用，以簡化運(yùn)算． ①斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，，則所得弦長或，其中求與時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形： ，. ②當(dāng)斜率不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式)． (2)弦的中點(diǎn)問題 有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運(yùn)算． 4.直線與橢圓的位置關(guān)系 在直線與橢圓的位置關(guān)系問題中，一類是直線和橢圓關(guān)系的判斷，利用判別式法.另一類常與“弦”相關(guān)：“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦”問題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式.在求解弦長問題中，要注意直線是否過焦點(diǎn)，如果過焦點(diǎn)，一般可采用焦半徑公式求解；如果不過，就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來確定自變量的范圍，涉及二次方程時(shí)一定要注意判別式的限制條件. 5.避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法 可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標(biāo)系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因?yàn)閷?duì)普通方程運(yùn)算復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程可能會(huì)簡單；在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，通過移軸可能會(huì)簡單；在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，在極坐標(biāo)系下可能會(huì)簡單“所謂尋求”. 6．注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，則，這往往在求與點(diǎn)有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易忽略導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因． 7．注意橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍，特別是把橢圓上某一點(diǎn)坐標(biāo)視為某一函數(shù)問題求解，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值有重要意義． 二年模擬 1. 【2016屆海南省農(nóng)墾中學(xué)高三第九次月考】設(shè)斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P,Q，若點(diǎn)P、Q在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 2. 【2016屆河南省新鄉(xiāng)衛(wèi)輝一中高考押題一】已知某橢圓的方程為，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，且面積的最大值為，若已知，，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】設(shè)，因此面積為，從而，， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，選B. 3. 【2016屆河北省衡水中學(xué)高三下練習(xí)五】橢圓的離心率是，則實(shí)數(shù)為（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 4. 【2016屆福建省廈門市高三5月月考】已知點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè),因,且,故，所以， ,故應(yīng)選B. 5. 【2016屆福建省泉州市高三5月質(zhì)檢】已知橢圓,其長軸長為且離心率為,在橢圓上任取一點(diǎn), 過點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 6. 【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺四】若P為橢圓上任意一點(diǎn)，EF為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是______. 【答案】 【解析】因?yàn)?．又因?yàn)闄E圓的，為橢圓的右焦點(diǎn)，∴∴．故答案為：． 7. 【2016屆河南省禹州市名校高三三?！恳阎獮闄E圓的右焦點(diǎn), 點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn), 且的最小值為,則 ． 【答案】 【解析】由，得，由于，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，那么 ，解得． 8. 【2016屆四川南充高中高三4月模擬三】如圖，為橢圓的長軸的左、右端點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上不同于的三點(diǎn)，直線圍成一個(gè)平行四邊形，則 . 【答案】 9. 【2016屆湖北省黃岡中學(xué)高三5月一?！恳阎獧E圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，的周長最大值為8. （1）求橢圓的方程； （2）若直線過點(diǎn)，求當(dāng)面積最大時(shí)直線的方程. 【解析】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓的定義，得，而的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，又離心率為，所以，所以橢圓的方程為. （2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得.設(shè)，則，且，，所以②，令，則②式可化為.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. 所以直線的方程為或. 10. 【2016屆天津市和平區(qū)高三第四次模擬】橢圓的上頂點(diǎn)為是橢圓上一點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）若動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且軸上存在著兩個(gè)定點(diǎn)，它們到直線的距離之積等于1，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)． （Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓方程，消去，整理，得．由，得．假設(shè)存在著定點(diǎn)滿足題設(shè)條件．、到直線的距離分別為、，則由，對(duì)于恒成立，可得解得或故滿足條件．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，仍符合題意． 11.【2015屆湖北省襄陽市第五中學(xué)高三第一學(xué)期11月質(zhì)檢】若橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則這個(gè)橢圓的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，故能排除A，B，C答案為D. 12.【2015屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，且軸，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 13. 【江蘇省啟東中學(xué)2015屆高三下學(xué)期期初調(diào)研】已知點(diǎn)是橢圓 上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，則此橢圓的離心率為 ． 【答案】； 【解析】一方面的面積為；另一方面的面積為，，∴，∴，∴，又∴，∴橢圓的離心率為. 14.【2015屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，），且離心率等于，過點(diǎn)（0，2）的直線與橢圓相交于，不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)，試求的取值范圍． （Ⅱ）設(shè)，，，若直線與軸重合，則，得，得；若直線與軸不重合，則設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得，得①， ②， 由得，整理得，將①②代入得，又點(diǎn)在直線上，所以，于是有，因此，由得，所以，綜上所述，有 ． 15.【2015屆清華附中考前適應(yīng)性練習(xí)】已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為、，為正三角形且周長為6． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）已知圓:，若直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且直線與圓相切于點(diǎn)；求的最大值． 拓展試題以及解析 1. 已知橢圓的離心率為，直線與以的長軸為直徑的圓交于兩點(diǎn),且曲線恰好將線段三等分,則的值為( ) A． B． C． D． 【答案】C 【入選理由】本題考查橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系、橢圓的簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力．以及運(yùn)算求解能力，直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考考查的熱點(diǎn)，故選此題. 2．如圖，已知橢圓上有一個(gè)點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且滿足，當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率為___________. 【答案】 【入選理由】本題考查橢圓的方程，橢圓的定義，解直角三角形，三角恒等變形，橢圓的簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運(yùn)算求解能力，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是高考考查的熱點(diǎn)，故選此題. 3.已知橢圓的離心率為，長軸上個(gè)等分點(diǎn)從左到右依次為點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方；過點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方；以此類推，過點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，則條直線的斜率乘積為 【答案】 【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，又，所以，設(shè) ，由橢圓對(duì)稱性知,從而條直線的斜率乘積配成組，每組乘積皆為，因此結(jié)果為 【入選理由】本題考查橢圓的方程，直線的斜率，橢圓的簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運(yùn)算求解能力，本題初看似乎很難，細(xì)細(xì)分析，利用橢圓的對(duì)稱性很容易解出，本題構(gòu)思巧妙，是一個(gè)好題，故選此題. 4.設(shè)橢圓，定義橢圓的“隱圓”方程為，若拋物線的準(zhǔn)線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形. （Ⅰ）求橢圓的方程和“隱圓”的方程； （Ⅱ）過“隱圓”上任意一點(diǎn)作“隱圓”的切線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn). (i)證明:為定值； (ii)連接并延長交“隱圓”于點(diǎn)，求面積的取值范圍. （Ⅱ）（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線AB方程為，則，所以，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程設(shè)為，設(shè)，聯(lián)立方程組得,即, △=,即， ，因?yàn)橹本€與隱圓相切，所以 ，為定值 ； 【入選理由】本題考查橢圓的方程，直線和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡單幾何性質(zhì),新定義,圓的性質(zhì),焦三角等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運(yùn)算求解能力，本題構(gòu)思巧妙，是一個(gè)好題，故選此題. 5.已知橢圓：的右焦點(diǎn)到直線的距離為,且橢圓的一個(gè)長軸端點(diǎn)與一個(gè)短軸端點(diǎn)間的距離為． （1）求橢圓的方程； （2）如圖，連接橢圓短軸端點(diǎn)與橢圓上不同于的兩點(diǎn)，與以橢圓短軸為直徑的圓分別交于 兩點(diǎn)，且恰好經(jīng)過圓心，求面積的最大值． 【入選理由】本題考查橢圓的方程，直線和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡單幾何性質(zhì),基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運(yùn)算求解能力，本題是一個(gè)常規(guī)題，直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考考查的熱點(diǎn)，故選此題. 6.已知橢圓的離心率為，直線與軸分別交于點(diǎn). （Ⅰ）求證：直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)； （Ⅱ）設(shè)為直線與橢圓的交點(diǎn)，若，求橢圓的離心率； （Ⅲ）求證：直線上的點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離和的最小值為 【入選理由】本題考查橢圓的方程，直線和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡單幾何性質(zhì), 函數(shù)最值基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運(yùn)算求解能力，本題是一個(gè)常規(guī)題，第二問出題形式新穎，故選此題. 7.已知、分別是離心率為的橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，△（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的周長為3. (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (Ⅱ)過作與軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【入選理由】本題考查橢圓的方程，橢圓的定義，直線和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運(yùn)算求解能力，本題是一個(gè)常規(guī)題，求參數(shù)范圍是高考考試的重點(diǎn)，故選此題. 8.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值4，離心率為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）已知過（0,1）作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求△面積的取值范圍． 【解析】（Ⅰ）由題知，解得，所以=4，所以橢圓的方程為. （Ⅱ）可設(shè)直線的方程為，代入方程整理得，,設(shè)直【入選理由】本題考查橢圓的方程，直線和橢圓的位置 關(guān)系,橢圓的簡單幾何性質(zhì),三角形的面積,函數(shù)與導(dǎo)數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合分析問題、解決問題的能力，以及運(yùn)算求解能力，本題是一個(gè)常規(guī)題，但綜合性比較強(qiáng),特別是與導(dǎo)數(shù)結(jié)合出題,是一個(gè)好題，故選此題.