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第二章 實數(shù) 高頻考點 考查頻率 所占分值 1．實數(shù)的有關(guān)概念 ★★ 2．實數(shù)的運算 ★★ 3．實數(shù)與數(shù)軸 ★ 3～5分 4．無理數(shù)的估算 ★ 5．無理數(shù)的識別 ★★★ 知能圖譜 平方根與立方根 平方根 立方根 實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系→實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng) 有理數(shù) 正有理數(shù) 0 實數(shù) 實數(shù)的分類 負(fù)有理數(shù) 無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù) 實數(shù)的運算及運算律 實數(shù)的大小比較 第3講 平方根與立方根 知識能力解讀 知能解讀 (一)算術(shù)平方根、平方根的定義及性質(zhì) 1．算術(shù)平方根的定義、表示及性質(zhì) (1)定義：一般地，如果一個正數(shù)的平方等于，即，那么這個正數(shù)叫作的算術(shù)平方根．規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0． (2)表示方法：的算術(shù)平方根記作，讀作“根號”，叫作被開方數(shù)． (3)性質(zhì)：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身，即． 注意：與的區(qū)別與聯(lián)系 (1)區(qū)別：①是先開方再求平方；是先求平方再開方，兩者運算順序不同．②中 的取值范圍是，中 取正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都可以． (2)聯(lián)系：當(dāng)時，． 2．平方根的定義及性質(zhì) (1)定義：一般地，如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫作的平方根或二次方根．這就是說，如果，那么叫作的平方根． (2)表示方法：正數(shù)的平方根表示為，讀作“正、負(fù)根號”． (3)性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根． 3．開平方運算 求一個數(shù)的平方根的運算，叫作開平方．平方與開平方互為逆運算．根據(jù)這種互逆關(guān)系，可以求一個數(shù)的平方根．如的平方為，所以，16的平方根為，即． 4．平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別及聯(lián)系 (1)區(qū)別： ①定義不同：“一個正數(shù)”與“一個數(shù)”含義不同． ②個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，而一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個． ③表示方法不同：正數(shù)的平方根表示為，正數(shù)的算術(shù)平方根表示為． (2)聯(lián)系： ①具有包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的一種． ②存在條件相同：平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有． ③0的平方根、算術(shù)平方根均為0． ④可以利用平方和開平方的互逆關(guān)系求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根． 5．平方根(或算術(shù)平方根)的幾個結(jié)論 (1)式子有意義的條件為； (2)表示的算術(shù)平方根，是非負(fù)數(shù)，即． (二)立方根的定義及性質(zhì) (1)定義：一般地，如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫作的立方根或三次方根．這就是說，如果，那么叫作的立方根． (2)表示方法：的立方根(或三次方根)表示為，其中 為被開方數(shù)，“”中的3為根指數(shù)(根指數(shù)3不能省略)；讀作“三次根號”或“ 的立方根”． (3)性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0． (4)有關(guān)立方根的補(bǔ)充說明和公式： ①在中，被開方數(shù)可為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)，且的正負(fù)與一致；②；③． (5)開立方：求一個數(shù)的立方根的運算，叫作開立方． 開立方與立方是互為逆運算的關(guān)系，負(fù)數(shù)(在實數(shù)范圍內(nèi))不能開平方，但可以進(jìn)行開立方運算．如的立方為，即，反過來，的立方根為，即；3的立方為27，即，反過來，27的立方根為3，即． (6)平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系： 名稱 內(nèi)容 平方根 立方根 表示方法 區(qū)別個數(shù) 正數(shù)有兩個平方根，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根 任意數(shù)都只有一個立方根 被開方數(shù) 非負(fù)數(shù) 任意數(shù) 聯(lián)系 ①都是開方運算的結(jié)果；②0的平方根、立方根都是0 (三)用計算器求平方根或立方根 (1)利用計算器求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時，只需要直接按書寫順序按鍵即可；求一個非負(fù)數(shù)的平方根時，則先求出它的算術(shù)平方根，再在前面添加符號．(不同計算器有不同的按鍵順序) 注意：(1)用計算器求一個非負(fù)數(shù)的負(fù)的平方根時，一般先求出算術(shù)平方根，然后再求其相反數(shù)，即負(fù)的平方根． (2)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)時應(yīng)化為小數(shù)；被開方數(shù)后面的0或小數(shù)點后的0比較多時，可先寫成科學(xué)記數(shù)法的形式，再根據(jù)將被開方數(shù)化簡． (2)利用計算器求一個數(shù)的立方根時，只需要直接按書寫頃序按鍵即可，若遇到被開方數(shù)是負(fù)數(shù)時，“－”的輸入可按，也可以按． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)平方根與立方根的求法 我們知道，平方與開平方、立方與開立方都互為逆運算，根據(jù)這種互逆關(guān)系，可以求一個數(shù)的平方根和立方根． (二)平方根與立方根性質(zhì)的應(yīng)用 平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根，即只有非負(fù)數(shù)才有平方根． 立方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根，一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根，0的立方根是0． (三)算術(shù)平方根與立方根的綜合應(yīng)用 (四)用計算器求算術(shù)平方根、立方根 (五)根據(jù)一個數(shù)的平方根求這個數(shù) 易混易錯辨析 易混易錯知識 1．混淆與． 表示的算術(shù)平方根，可以取任意實數(shù)；表示的算術(shù)平方根的平方，只能取非負(fù)數(shù)． 2．混淆平方根與立方根的性質(zhì)． 性質(zhì) 名稱 正數(shù) 負(fù)數(shù) 0 平方根 有兩個平方根 沒有平方根 0 立方根 一個正的立方根 一個負(fù)的立方根 0 注意：開平方時，被開方數(shù)要大于或等于0；開立方時，被開方數(shù)可以是任意實數(shù)． 3．誤認(rèn)為負(fù)數(shù)沒有立方根． 任何數(shù)都有立方根，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0． 易混易錯 (一)審題不認(rèn)真，忽視語言敘述中含有的運算 (二)混淆平方根與算術(shù)平方根 (三)在求形如“”的等式中的值時易漏掉為負(fù)值的情況 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講是中考的熱點內(nèi)容，注重考查對概念、性質(zhì)和意義的理解，如平方根、算術(shù)平方根的概念以及它們的性質(zhì)和意義，另外對算術(shù)平方根非負(fù)性的考查也是重中之重，題型以填空題、選擇題為主，有時也與其他知識點綜合以解答題的形式出現(xiàn)． 中考試題 (一)平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念、性質(zhì) (二)算術(shù)平方根的非負(fù)性 第4講 實數(shù) 知識能力解讀 知能解讀 (一)無理數(shù)、實數(shù)的定義及分類 1．無理數(shù)的定義 無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)． 點撥：判斷一個數(shù)是不是無理數(shù)，應(yīng)看這個數(shù)是否滿足“小數(shù)”“無限”和“不循環(huán)”這三個條件． 2．實數(shù)的定義及分類 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)，實數(shù)分類如下： (1)按定義分類 實數(shù) (2)按性質(zhì)分類 正實數(shù) 正有理數(shù) 實數(shù) 正無理數(shù) 零 負(fù)實數(shù) 負(fù)有理數(shù) 負(fù)無理數(shù) (二)實數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)以后，實數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對值的意義完全一樣． (1)實數(shù)的相反數(shù)為；0的相反數(shù)是其本身；若與互為相反數(shù)，則，反之亦然． (2)實數(shù)的絕對值表示為；一個正實數(shù)的絕對值是它本身，一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，即． (3)實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)． 點撥：已知實數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為，，則用，分別表示點、點到原點的距離；表示點到點的距離．這是絕對值的幾何意義． 與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣，對于數(shù)軸上的兩個點，右邊的點表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大． (三)實數(shù)的運算 實數(shù)和有理數(shù)一樣，可進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方運算；有理數(shù)范圍內(nèi)的運算律、運算法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用． 交換律：，； 結(jié)合律：，； 分配律：． (四)實數(shù)的大小比較 (1)數(shù)軸比較法： (2)代數(shù)比較法； (3)差值比較法； (4)商值比較法； (5)倒數(shù)比較法：若，，，則； (6)平方比較法：若，，，則； (7)開方比較法：若，，，則； (8)估算法：在實數(shù)的大小比較中，當(dāng)遇到無理數(shù)時，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)去代替，再進(jìn)行比較． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)無理數(shù)的識別 識別無理數(shù)，常常與有理數(shù)綜合在一起進(jìn)行辨析，主要把握“無限”和“不循環(huán)”兩個特點． 初中所學(xué)的無理數(shù)歸納起來有三類： (1)開方開不盡的數(shù)的方根，如；(2)化簡后含有的數(shù)，如；(3)特殊結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)(構(gòu)造型的無理數(shù))，如(相鄰兩個2之間依次多一個0)． (二)實數(shù)大小比較的方法 實數(shù)的大小比較包括有理數(shù)的大小比較和無理數(shù)的大小比較，另外還包括有理數(shù)與無理數(shù)的大小比較．有時綜合多個知識點進(jìn)行考查．常用的方法有特殊值法、平方法等． (三)實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系 所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但數(shù)軸上的點不全表示有理數(shù)，因此有理數(shù)與數(shù)軸上的點之間不是一一對應(yīng)關(guān)系；所有的無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點來表示，但數(shù)軸上的點并不都表示無理數(shù)，所以無理數(shù)與數(shù)軸上的點也不是一一對應(yīng)關(guān)系；數(shù)軸上的每一個點都表示實數(shù)，且所有的實數(shù)都能用數(shù)軸上的點來表示，所以實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系． 拓展：有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面上的點之間也是一一對應(yīng)關(guān)系． (四)實數(shù)的運算 當(dāng)數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運算，任意一個實效可以進(jìn)行開立方運算．在進(jìn)行實數(shù)運算時，有理數(shù)的運算法則及運算律等同樣適用． (五)實數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 (六)借助數(shù)軸化簡 易混易錯辨析 易混易錯知識 1．對無理數(shù)的概念理解不透徹，只看表面形式． (1)帶根號的不一定都是無理數(shù)，如是有理數(shù)； (2)不帶根號的不一定不是無理數(shù)，如是無理數(shù)． 2．誤認(rèn)為有分?jǐn)?shù)線的數(shù)就是分?jǐn)?shù)，導(dǎo)致判斷失誤，如不是分?jǐn)?shù)，它是無理數(shù)． 3．混淆有理數(shù)與數(shù)軸和實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，誤認(rèn)為有理數(shù)和數(shù)軸上的點也是一一對應(yīng)的． 易混易錯 混淆無理數(shù)與有理數(shù) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講主要考查實數(shù)的概念、性質(zhì)及計算，尤其是實數(shù)的大小比較、實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系、實數(shù)中的新定義運算及規(guī)律探究等，是中考熱點，無理數(shù)的估算是近幾年中考的熱點題目．題型以填空題、選擇題為主． 中考試題 (一)實數(shù)的大小比較 (二)無理數(shù)的估算 (三)無理數(shù)的識別 (四)實數(shù)的運算 (五)實數(shù)中的新定義題 (六)實數(shù)運算中的規(guī)律探究問題(探究性考點)