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專題八統(tǒng)計與概率 第二十二章統(tǒng)計初步 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 考情分析 1.用樣本估計總體 2.數(shù)據(jù)分析中的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù) 3.數(shù)據(jù)分析中的方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差 4.條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖 5.頻數(shù)、頻率 6.頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖及頻數(shù)折線圖 ★★★ ★★ ★ ★★★ ★★ ★★★ 9～12分 智能圖譜 第51講全面調(diào)查與抽樣調(diào)查 知識能力解讀 （一）全面調(diào)查和抽樣調(diào)查 （1）全面調(diào)查：考察全體對象的調(diào)查叫作全面調(diào)查（也叫普查）. （2）抽樣調(diào)查：只抽取一部分對象進(jìn)行調(diào)查，然后根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)推斷全體對象的情況，這種調(diào)查辦法稱為抽樣調(diào)查. （二）總體、個體、樣本、樣本容量（拓展） 總體是指要考察的全體對象，個體是指組成總體的每一個考察對象，從總體中取出的一部分個體叫作這個總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)量叫作樣本容量. 注意 總體和個體是特指數(shù)據(jù)，是表示事物某一特征的數(shù)據(jù)，不是指事物本身. （三）隨機(jī)抽樣 在抽取樣本的過程中，總體中的每一個個體都有相等的機(jī)會被抽到，像這樣的抽樣方法是一種簡單隨機(jī)抽樣. 具體做法是：（1）將每個個體編號；（2）將寫有這些編號的紙條或小球放入盒子并攪勻；（3）用抽簽的方法抽出一個編號，這個編號對應(yīng)的個體就被選入樣本. 也可使用計算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬試驗(yàn). （四）等距抽樣（拓展） 從總體中抽取樣本時，每隔一定的間隔抽取一個個體的方法叫等距抽樣，如抽取等號碼就是一種等距抽樣. （五）分層抽樣（拓展） 先將總體分成幾層，然后再在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣的方法叫分層抽樣. 注意 用分層抽樣的方式所獲得的樣本，一般具有較好的、廣泛的代表性和合理性，因此在實(shí)踐中應(yīng)用較普遍. （六）用樣本估計總體 在抽樣調(diào)查中，如果抽取樣本的方法得當(dāng)，一般樣本能客觀地反映總體的情況，抽樣調(diào)查的結(jié)果會比較接近總體的情況. 所以當(dāng)樣本容量取得恰當(dāng)，且抽樣的方法科學(xué)時，可以用樣本的特征來估計總體的特征. 注意 用樣本估計總體時，樣本必須具有代表性. 方法技巧歸納 （一）調(diào)查方式的選擇方法 （1）判斷一種調(diào)查方式是否合適，要看這種調(diào)查方式是否具有可行性和代表性.（2）在現(xiàn)實(shí)生活中，用簡單的隨機(jī)抽樣方法選中的樣本要既有代表性，又有隨機(jī)性，在不影響樣本代表性的前提下，也可以釆取另外的抽樣方法，但應(yīng)該保證調(diào)查對象在總體中有代表性. 點(diǎn)撥 普查適合于所調(diào)查的數(shù)據(jù)較少，所費(fèi)的人力、物力較少的情況，抽樣調(diào)查適合于不追求精確的數(shù)據(jù)信息或者收集數(shù)據(jù)所費(fèi)人力、物力、時間較多的情況. （二）簡單隨機(jī)抽樣的判別方法 樣本的選取方法是否為簡單隨機(jī)抽樣，一般從以下幾個方面來判斷：（1）選取的樣本是否具有代表性；（2）選取的樣本容量是否合適；（3）選取的樣本各層次是否有遺漏；（4）樣本是否可代表總體. 點(diǎn)撥 選取樣本時，容量越大，樣本的情況越能反映總體的情況，因此抽樣時樣本容量要合適，而且要保證每個個體都有可能成為調(diào)查對象. （三）總體、個體、樣本、樣本容量的識別方法 對于抽樣調(diào)查中總體、個體、樣本、樣本容量的識別主要依據(jù)定義，明確考察對象，正確區(qū)分并作出判斷. （四）用樣本估計總體的方法 利用樣本估計總體，常見的是用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，用樣本方差估計總體方差，用樣本頻數(shù)分布估計總體頻數(shù)分布等. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.全面調(diào)查與抽樣調(diào)查相混淆. 全面調(diào)查與抽樣調(diào)查是進(jìn)行調(diào)查、收集數(shù)據(jù)的兩種方式，這兩種方式各有所長，各有所短.全面調(diào)查收集的數(shù)據(jù)全面而精確，但卻需要花費(fèi)大量的時間、人力和物力；抽樣調(diào)查雖然省時、省力，但收集的數(shù)據(jù)沒有全面調(diào)查那樣準(zhǔn)確. 2.抽樣調(diào)查時，選取的樣本不合理. 在選取樣本時，由于對樣本不理解，選出的樣本不具有代表性而出現(xiàn)錯誤. 對抽樣調(diào)查的樣本選取認(rèn)識錯誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講在中考中主要考查調(diào)查方式的選擇以及用樣本估計總體的思想，題目內(nèi)容多與實(shí)際相聯(lián)系，特別是圖表信息題及具有時代氣息的題目更是中考的熱點(diǎn)，題型常以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)，多為中低檔題. （一）調(diào)查方式的選擇 （二）樣本與總體 （三）用樣本估計總體 第52講數(shù)據(jù)的收集、整理與描述 知識能力解讀 （—）收集數(shù)據(jù)的一般步驟 第一步：明確調(diào)查問題；第二步：確定調(diào)查對象；第三步：選擇調(diào)查方法；第四步：展開調(diào)查；第五步：記錄結(jié)果；第六步：得出結(jié)論. （二）數(shù)據(jù)的整理 數(shù)據(jù)的整理方法：列表法. 對于收集到的數(shù)據(jù)，往往需要整理才能看出數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，常采用表格，利用劃記法來整理數(shù)據(jù)，從而可以清楚地看出所需要調(diào)查的情況.所謂劃記法就是用“正”字的每一劃（筆畫）代表一個數(shù)據(jù). （三）扇形統(tǒng)計圖 用圓代表總體，每一個扇形代表總體中的一部分，通過扇形的大小來反映各個部分占總體的百分比，這樣的統(tǒng)計圖叫作扇形統(tǒng)計圖. （1）通過扇形統(tǒng)計圖可清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)量的百分比. （2）扇形統(tǒng)計圖中所有扇形表示的百分比之和為1. 繪制扇形統(tǒng)計圖的一般步驟： （1）將數(shù)據(jù)分組整理，列出統(tǒng)計表； （2）分別計算各部分在整體中所占的百分比； （3）分別計算各部分相應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)； （4）用圓規(guī)畫圓，再利用量角器作出各圓心角，從而把圓面按百分比分成若干個扇形； （5）分別將各部分占整體的百分比及相應(yīng)的名稱標(biāo)注在扇形上，并填寫標(biāo)題. （四）條形統(tǒng)計圖 條形統(tǒng)計圖一般是由兩條互相垂直的數(shù)軸和若干長方形組成，兩條數(shù)軸分別表示兩個不同的項(xiàng)目，長方形的高表示其中一個項(xiàng)目的數(shù)據(jù). 條形統(tǒng)計圖的作用：能清晰地表示各個項(xiàng)目的實(shí)際數(shù)據(jù). （五）折線統(tǒng)計圖 折線統(tǒng)計圖是用一個單位長度來表示一定的數(shù)量，用折線起伏來表示數(shù)量增減變化的一種統(tǒng)計圖. 繪制折線統(tǒng)計圖的一般步驟： （1）畫出橫縱兩條互相垂直的數(shù)軸（有時不畫箭頭）分別表示兩個不同的項(xiàng)目； （2）根據(jù)橫縱各個方向上的各對對應(yīng)的項(xiàng)目數(shù)據(jù)描點(diǎn)； （3）用線段依次把相鄰兩點(diǎn)連接起來. 折線統(tǒng)計圖的作用：能清晰地顯示各個項(xiàng)目的數(shù)據(jù)在一段時間內(nèi)的變化，分析數(shù)據(jù)的變化趨勢. （六）頻數(shù)分布直方圖 （1）定義：根據(jù)頻數(shù)的分布繪制的條形統(tǒng)計圖叫作頻數(shù)分布直方圖. （2）結(jié)構(gòu)：頻數(shù)分布直方圖由橫軸、縱軸、條形圖三部分組成.橫軸表示分組情況，縱軸表示頻數(shù)，條形圖是直方圖的主體部分，每一條都是立于橫軸之上的一個矩形，底邊長都相等，且等于組距，高分別等于各組的頻數(shù). （3）畫頻數(shù)分布直方圖的步驟：①計算極差；②決定組距與組數(shù)；③決定分點(diǎn)，寫出各組范圍；④列出頻數(shù)分布表⑤畫出頻數(shù)分布直方圖. （4）相關(guān)概念：①組距：把所有的數(shù)據(jù)分成若干組，每個小組的兩個端點(diǎn)之間的距離（組內(nèi)數(shù)據(jù)的取值范圍）稱為組距.②頻數(shù)：落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)稱為頻數(shù). （七）頻數(shù)折線圖 為了更直觀地反映數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，我們也常常采用頻數(shù)折線圖.在頻數(shù)分布直方圖中，把每個小矩形的上端寬的中點(diǎn)順次連接，就得到頻數(shù)折線圖. （八）統(tǒng)計圖表的選擇 常見的統(tǒng)計圖表有頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)折線圖，它們都能在各個范圍之內(nèi)直觀清楚地反映數(shù)據(jù). 扇形統(tǒng)計圖能準(zhǔn)確地反映出各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)量的百分比. 頻數(shù)分布直方圖能準(zhǔn)確地反映出各部分的具體數(shù)量. 頻數(shù)折線圖則能反映出各部分?jǐn)?shù)據(jù)的變化趨勢. 因此要想準(zhǔn)確地反映數(shù)據(jù)的不同特征，就要選擇合適的統(tǒng)計圖表. 注意 （1）如果需要表示的數(shù)據(jù)是分散的，并且需要清晰地表示各組的實(shí)際數(shù)據(jù)，那么使用條形統(tǒng)計圖較為適宜. （2）如果需要表示各組數(shù)據(jù)占整體的百分比，那么使用扇形統(tǒng)計圖較為適宜. （3）如果需要清晰地顯示各組的數(shù)據(jù)在一段時期內(nèi)的變化，或分析數(shù)據(jù)的變化趨勢，那么使用折線統(tǒng)計圖較為適宜. 方法技巧歸納 （一）收集數(shù)據(jù)的方法 收集數(shù)據(jù)時，應(yīng)首先明確要調(diào)查的問題，確定要調(diào)查的對象；其次，選用合適的調(diào)查方法進(jìn)行調(diào)查，并正確記錄調(diào)查結(jié)果，通過對記錄結(jié)果的分析，得出結(jié)論. （二）統(tǒng)計圖表的應(yīng)用 統(tǒng)計表：將收集到的數(shù)據(jù)制成表格的形式，使數(shù)據(jù)直觀、清楚，便于進(jìn)行分析； 條形統(tǒng)計圖：能清楚地反映每個項(xiàng)目的具體數(shù)目； 折線統(tǒng)計圖：能清楚地反映事物的變化情況； 扇形統(tǒng)計圖：能清楚地反映出各部分在總體中所占的比例. （三）條形圖與直方圖的識別技巧 條形圖和直方圖非常相似，但又有區(qū)別，我們要區(qū)分清楚：條形圖和直方圖都用來描述數(shù)據(jù)，這是它們的相同之處.但它們的側(cè)重點(diǎn)不同：條形圖突出各組的具體數(shù)據(jù)，側(cè)重比較數(shù)據(jù)之間的差別，而直方圖側(cè)重表示各組頻數(shù)的分布情況，用于判別各組之間的頻數(shù)的差別. 從圖表上看，條形圖橫軸上的數(shù)據(jù)是孤立的；而直方圖橫軸上的數(shù)據(jù)是連續(xù)的；條形圖中，各長方形是分開的；而直方圖中，各長方形是靠在一起的. （四）從統(tǒng)計圖中獲取信息的技巧 對于多種統(tǒng)計圖綜合考查的題目，要利用它們提供的信息解答問題，注意不同統(tǒng)計圖中相關(guān)數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.條形圖與直方圖. 條形圖與直方圖是極其相似的，但又有所不同：條形圖突出各組的具體數(shù)據(jù)，橫軸上的數(shù)據(jù)是獨(dú)立的，各長方形是分開的；直方圖側(cè)重各組頻數(shù)的分布情況，橫軸上的數(shù)據(jù)是連續(xù)的，各長方形是靠在一起的. 2.扇形統(tǒng)計圖所表示的意義. 扇形統(tǒng)計圖形象地表示了每一部分所占總體比例的大小，而不是表示每部分的大小. 3.對頻數(shù)分布直方圖中小矩形的長和寬表示的意義理解不到位致錯. （一）繪制扇形統(tǒng)計圖時，計算各部分的百分比之和不等于100%而出錯 （二）繪制圖形不標(biāo)準(zhǔn)致錯 中考試題研究 中考試題研究 本講的考點(diǎn)也是中考的熱點(diǎn)之一，主要考查頻數(shù)的計算、各種統(tǒng)計圖表的設(shè)計以及對統(tǒng)計得到的數(shù)據(jù)和制作的統(tǒng)計圖表進(jìn)行分析，從中獲取有用的信息，題型多以選擇題、填空題出現(xiàn)，有時也有較簡單的解答題，多為中、低檔的題目. （一）獲取圖表信息 由統(tǒng)計圖表獲取信息，關(guān)鍵是明確圖表中數(shù)據(jù)所表示的意義，依據(jù)所表示的實(shí)際意義獲取正確的信息. （二）利用統(tǒng)計圖表解決實(shí)際問題 第53講平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù) （一）平均與加權(quán)平均數(shù) 1平均數(shù) 若一組數(shù)據(jù)為，它們的平均數(shù)為，則. 平均數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的一種常用指標(biāo)，反映了這組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)的平均大小或者是集中趨勢. 一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)只有一個. 2加權(quán)平均數(shù) （1）一般地，若個數(shù)的權(quán)分別是，則叫作這個數(shù)的加權(quán)平均數(shù). （2）在求個數(shù)的平均數(shù)時，如果出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，…，出現(xiàn)次（這里），那么這個數(shù)的平均數(shù)也叫作，這個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)，其中分別叫做的權(quán). 3平均數(shù)的性質(zhì) 數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為；的平均數(shù)為（為常數(shù)）. 點(diǎn)撥 （1）當(dāng)所給數(shù)據(jù)比較離散時，一般選用公式計算算術(shù)平均數(shù). （2）當(dāng)所給數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，一般選用加權(quán)平均數(shù)公式. （3）當(dāng)數(shù)據(jù)較大、較多且在某一個常數(shù)附近擺動時，用公式計算較容易，其中是原數(shù)據(jù)與的差組成的新數(shù)據(jù)的平均數(shù). （二）中位數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則稱處于中間位置的數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則稱中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù). 注意 （1）一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的. （2）當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，它的中位數(shù)一定是這組數(shù)據(jù)中的某一個；當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時，它的中位數(shù)不一定是這組數(shù)據(jù)中的某一個. （三）眾數(shù) 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能不止一個. 拓展：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系 名稱 區(qū)別 聯(lián)系 平均數(shù) （1）平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個數(shù)據(jù)的變動都會引起相應(yīng)平均數(shù)的變動；（2）—組數(shù)據(jù)中平均數(shù)唯一；（3）平均數(shù)不一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù) （1）平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，其中以平均數(shù)最為重要，其應(yīng)用最為廣泛；（2）在實(shí)際問題中，求得的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都有單位，它們的單位都與原數(shù)據(jù)的單位相同 中位數(shù) （1）某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中存在個別極端數(shù)據(jù)時，可用中位數(shù)來描述其集中趨勢；（2）—組數(shù)據(jù)中中位教唯一；（3）中位數(shù)不一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù) 眾數(shù) （1）眾數(shù)著眼于對各數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻數(shù)的考察，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往是我們關(guān)心的一種統(tǒng)計量；（2）—組數(shù)據(jù)中眾數(shù)不一定唯一；（3）眾數(shù)一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù) （四）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的使用 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都可以反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們各有自己的特點(diǎn)，能夠從不同的角度提供信息.在實(shí)際應(yīng)用中，需要分析具體問題的情況，選擇適當(dāng)?shù)牧糠从硵?shù)據(jù)的集中趨勢. 類別 特點(diǎn) 平均數(shù) 計算要用到所有數(shù)據(jù)，能夠充分利用數(shù)據(jù)提供的信息，但受極端值的影響較大 中位數(shù) 一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，常使用眾數(shù)，不易受極端值的影響 眾數(shù) 需要很少計算，不易受極端值的影響 方法技巧歸納 （一）平增數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法 對一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，要嚴(yán)格按照其定義進(jìn)行計算，特別是中位數(shù)的計算，要注意數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，其中位數(shù)是中間兩個數(shù)據(jù)的乎均數(shù)（大小順序排列后），一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)只有一個，而眾數(shù)可能不止一個. （二）利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)解決實(shí)際問題的方法 平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，其中平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛.這三個統(tǒng)計量的各自特點(diǎn)是： （1）用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，比較可靠和穩(wěn)定，它與這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都有關(guān)系，對這組數(shù)據(jù)所包含的信息的反映最為充分，因而其應(yīng)用最為廣泛，特別是在進(jìn)行統(tǒng)計推斷時有重要的作用，但計算比較煩瑣，并且容易受到極端數(shù)據(jù)的影響. （2）用眾數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，著眼于對各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)的考察，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，可靠性比較差，但眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往是我們關(guān)心的一種統(tǒng)計量. （3）用中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性也比較差，但中位數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用它來描述其集中趨勢. （三）平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)幫你做決策 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，它們刻畫了一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，但它們各有特點(diǎn)：計算平均數(shù)時，所有的數(shù)據(jù)都參加運(yùn)算，它能充分地利用數(shù)據(jù)所提供的信息.因此在現(xiàn)實(shí)生活中較為常用，但它容易受極端值的影響；中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是計算簡單，受極端值的影響較小，但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)提供的信息；當(dāng)一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，眾數(shù)往往是人們尤為關(guān)心的一個量，但當(dāng)各個數(shù)據(jù)的重復(fù)次數(shù)大致相等時，眾數(shù)往往沒有特別大的意義. （四）統(tǒng)計圖與平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的綜合應(yīng)用 根據(jù)統(tǒng)計圖獲取相關(guān)信息，利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)進(jìn)行相關(guān)計算. 易混易錯知識 易混易錯知識 1.混淆眾數(shù)與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù). 眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，而不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù). 2.混淆算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù). 由于部分學(xué)生對加權(quán)平均數(shù)的概念理解不透，只注重“平均”，常把不能直接用算術(shù)平均數(shù)的問題錯誤應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)求解. 3.誤認(rèn)為一組敎據(jù)的眾數(shù)只有一個. 如果一組數(shù)據(jù)中，若干個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這若干個數(shù)據(jù)都是眾數(shù)， 4.求中位數(shù)時，沒有按順序排列數(shù)據(jù). 中位數(shù)是指將數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列后，處于中間位置的數(shù)，它與數(shù)據(jù)個數(shù)有關(guān)，當(dāng)該組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個時，中位數(shù)等于中間兩個數(shù)的平均數(shù)；當(dāng)該組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個時，中位數(shù)等于中間那個數(shù)，解題時常由于排列順序出錯導(dǎo)致錯誤. （一）對平均數(shù)的概念理解不透而導(dǎo)致出錯 （二）誤將一個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)當(dāng)作眾數(shù) （三）求中位數(shù)時忘記排序而導(dǎo)致出錯 （四）忽視一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個 中考試題研究 中考命題規(guī)律 （一）對基本概念的理解 （二）利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)解決實(shí)際問題 第54講方差 知識能力解讀 （一）方差 （1）概念：設(shè)有個數(shù)據(jù)，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是，我們用這些值的平均數(shù)，即用來衡量這組數(shù)據(jù)波動的大小，并把它叫作這組數(shù)據(jù)的方差，記作. （2）方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定. 點(diǎn)撥： 數(shù)據(jù)，的方差為，則（1），的方差為（為常數(shù)）；（2）的方差為（為不為零的常數(shù)）. （二）用計算器求方差 使用計算器計算方差通常需要先按動有關(guān)鍵，使計算器進(jìn)入統(tǒng)計狀態(tài)，然后依次輸入數(shù)據(jù)，最后按動求方差的功能鍵（如鍵），便可求出方差. 注意 不同品牌的計算器的操作步驟有所不同，操作時需要參閱計算器的使用說明書. （三）拓展：度量數(shù)據(jù)波動程度的其他量 （1）極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差. （2）平均差：一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的絕對值的平均數(shù)，叫作這組數(shù)據(jù)的平均差，即為：. （3）標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根叫作這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，即 點(diǎn)撥 （1）極差受極端值的影響較大. （2）標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原始數(shù)據(jù)的單位相同. 方法技巧歸納 （一）方差的計算方法 計算方差時，首先計算平均數(shù)，然后代入方差公式計算即可. （二）方差的實(shí)際應(yīng)用 方差刻畫的是數(shù)據(jù)的波動程度：方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小. 利用方差，我們可以解決實(shí)際生活中的“優(yōu)勝劣汰”問題。 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.易將方差與標(biāo)準(zhǔn)差弄混. 標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，標(biāo)準(zhǔn)差的單位是原數(shù)據(jù)的單位，方差的單位是原數(shù)據(jù)單位的平方. 例如原數(shù)據(jù)的單位是分，則方差的單位是分2. 2.忽視方差判定數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的作用. 在對數(shù)據(jù)作評價時，方差是刻畫數(shù)據(jù)波動程度的特征量，用來判定數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度. 對方差的意義理解不透，在具體問題中搞不清該用方差衡量還是用平均數(shù)衡量，導(dǎo)致錯誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 方差歷來是中考的必考點(diǎn)之一，主要考查它的計算和簡單的應(yīng)用，題型主要是填空題、選擇題及解答題，多為中低檔題，多與平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)以及統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表綜合在一起進(jìn)行考查. （一）對方差作用的理解 （二）方差的計算 （三）方差的實(shí)際應(yīng)用