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第九章 一元二次方程 考情分析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.元二次方程的概念 ★ 7～12分 2.一元二次方程的解法 ★★★ 3.一元二次方程根的判別式 ★★ 4.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 ★ 5.利用一元二次方程解決實(shí)際問題 ★★★ 知能圖譜 第19講 一元二次方程的有關(guān)概念及解法 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）一元二次方程的有關(guān)概念 1一元二次方程的定義及一般形式 定義：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫作一元二次方程. 點(diǎn)撥 對定義的理解抓住三個(gè)條件：“一元”“二次”“整式方程”,缺一不可，同時(shí)強(qiáng)調(diào)二次項(xiàng)的系數(shù)不為0. 一元二次方程的一般形式是：,其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng). 一元二次方程的形式： 項(xiàng)形式 二次項(xiàng) 一次項(xiàng) 常數(shù)項(xiàng) 一般形式 0 特殊形式 0 0 0 2—元二次方程的解的定義 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根.判定一個(gè)數(shù)是否為一元二次方程的解的方法是：只需將這個(gè)值代入一元二次方程的左右兩邊，看方程兩邊是否相等.若相等，則這個(gè)數(shù)是方程的解；若不相等，則這個(gè)數(shù)不是方程的解. 知能解讀（二）一元二次方程的解法 解一元二次方程常用的方法有配方法、公式法和因式分解法.其中因式分解法是特殊解法，而配方法和由配方法推導(dǎo)出來的公式法是一般方法，一般方法對任何一元二次方程者隨用. 1配方法 一般地，對于方程. （1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根成：，. （2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. （3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù).都有，所以方程無實(shí)數(shù)根. 如果方程能化成或的形式，那么可得或. 通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫作配方法.配方的目的是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程來解. 用配方法解一元二次方程的一般步驟： （1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1：可在方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)； （2）移項(xiàng)：使方程左邊是二次項(xiàng)和一次項(xiàng),右邊為常數(shù)項(xiàng)(移項(xiàng)時(shí)注意變號(hào))； （3）配方：方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使左邊配成完全平方形式，把方程化為的形式； （4）如果變形后的方程右邊的數(shù)為非負(fù)數(shù)，直接開平方解變形后的方程. 點(diǎn)撥 (1)配方法的一般步驟可簡記為：一移，二化，三配，四求解. (2)配方一般先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再利用等式的性質(zhì)將方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方(二次項(xiàng)系數(shù)必須為1). (3)用配方法解一元二次方程，實(shí)質(zhì)就是對一元二次方程變形，轉(zhuǎn)化為開平方所需的形式.配方：是為了降次,利用平方根的意義把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解. 2公式法 解一元二次方程時(shí),可以先將方程化為一般形式，當(dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)根可寫成的形式，這個(gè)式子叫作一元二次方程的求根公式.解一個(gè)具體的一元二次方程時(shí),把各系數(shù)直接代入求根公式，可以避免配方過程而直接得出根，這種解一元二次方程的方法叫作公式法. 點(diǎn)撥 用公式法解一元二次方程的記憶口訣 要用公式解方程，首先化成一般式. 調(diào)整系數(shù)隨其后，使其成為最簡比. 確定參數(shù)，計(jì)算方程判別式. 判別式值與零比，有無實(shí)根便得知. 若有實(shí)根套公式，若無實(shí)根要告之. 3因式分解法 通過因式分解，使一元二次方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解一元二次方程的方法叫作因式分懈法. 因式分解法體現(xiàn)了將一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的思想，運(yùn)用這種方法的步驟： （1）將所有項(xiàng)移到方程的左邊，將方程的右邊化為0； （2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積； （3）令每個(gè)因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程； （4）解這兩個(gè)一元一次方程，他們的解就是原方程的解. 方法技巧歸納 方法技巧（一）一元二次方程的識(shí)別方法 判斷一個(gè)方程是一元二次方程，應(yīng)抓住它的三個(gè)特征：①整式方程；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2且二次項(xiàng)系數(shù)不為0. 點(diǎn)撥 （1）正確理解掌握定義是解題的關(guān)鍵，尤其是準(zhǔn)確掌握中“”這一條件. （2）應(yīng)先把方程化成一般形式后，再判斷該方程是不是一元二次方程. 方法技巧（二）用配方法解一元二次方程 配方法解方程的關(guān)鍵在于配方，即先把方程整理成的形式，然后在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使左邊配成完全平方形式. 點(diǎn)撥 （1）用配方法解一元二次方程必須先把二次：項(xiàng)系數(shù)化為1才能配方，這是關(guān)鍵的一步. （2）配方的重要步驟是在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配方的目的是根據(jù)，將一般形式的一元二次方程化為的形式，然后再用直接開平方法求解. 方法技巧（三）用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步驟如下： （1）把方程化為一般形式； （2）確定的值,注意各項(xiàng)系數(shù)包括它們前面的符號(hào)； （3）計(jì)算的值； （4）當(dāng)時(shí)，把及的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根. 點(diǎn)撥 用公式法解方程注意三點(diǎn)：一是將方程化為一般形式；二是熟記求根公式；三是掌握用此法解方程的步驟（前面已講）. 方法技巧（四）用因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是要將方程的右邊化為0；二是熟練掌握因式分解的方法(提公因式法和公式法）；三是切忌方程兩邊同時(shí)除以含未知數(shù)的整式. 注意 （1）用因式分解法解一元二次方程時(shí)，方程右邊必須為0. （2）第（2）題中的方程兩邊不能同除以，這樣容易丟掉根.遇到此類情形要先移項(xiàng)把方程一邊化為0. （3）第（4）題中，得出，不能只寫成. 方法技巧（五）一元二次方程中的閱讀理解題 點(diǎn)撥 本題體現(xiàn)了換元法在解高次方程中的應(yīng)用，突出了解方程中的降次思想和轉(zhuǎn)化思想. 方法技巧（六）含字母系數(shù)的方程的解法 注意 由于原方程對的取值沒有限制條件，所以它不一定是一元二次方程，顯然當(dāng)或時(shí)，方程分別是不同的一元一次方程，當(dāng)且時(shí)，方程才是一元二次方程，這種分類討論思想要注意掌握. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 對一元二次方程的定義理解不透或思維不嚴(yán)謹(jǐn)，易出現(xiàn)錯(cuò)解.如判定一元二次方程時(shí)忽略“”的條件. 易混易錯(cuò)（一）忽略一元二次方程中“”的條件 易混易錯(cuò)（二）用求根公式時(shí)未化成一般形式致錯(cuò) 易混易錯(cuò)（三）解一元二次方程時(shí)丟根 易混易錯(cuò)（四）配方時(shí)未將系數(shù)化為1 易混易錯(cuò)（五）亂用因式分解 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的主要考點(diǎn)有一元一次方程的一般形式和一元二次方程的解法等，題型有填空題、選擇題、解答題，近幾年部分地區(qū)中考出現(xiàn)了閱讀理解題、開放題等新題型，應(yīng)予以關(guān)注. 中考試題（一）對一元二次方程相關(guān)概念的理解 點(diǎn)撥 已知一元二次方程的根求未知系數(shù)或有關(guān)代數(shù)式的值時(shí)，常把方程的根代入一元二次方程中求解. 中考試題（二）解一元二次方程 （1）用配方法解方程 （2）用公式法解方程 點(diǎn)撥 用公式法求解，先把一元二次方程化為一般形式，再計(jì)算，最后代入公式求解. （3）用因式分解法解方程 中考試題（三）一元二次方程的探究創(chuàng)新 第20講一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）一元二次方程根的判別式及應(yīng)用 1一元二次方程根的判別式 將配方成后，可以看出，只有當(dāng)時(shí)，方程才有實(shí)數(shù)根，這樣的值就決定著一元一次方程根的情況.一般地，式子叫作一元二次方程根的判別式，通常用“”表示它，即. 的符號(hào) 方程根的情況 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即 方程無實(shí)數(shù)根 上面的結(jié)論反過來也成立，即當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，. 注意 （1）只適用于一元二次方程.只有確定是一元二次方程時(shí)，才能確定、、，求出. （2）使用時(shí)，要先將一元二次方程化為一般形式后，才能確定、、，求出. （3）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根. 2一元二次方程根的判別式的應(yīng)用 一元二次方程根的判別式主要有以下應(yīng)用：①不解一元二次方程，判別根的情況；②根據(jù)方程根的情況，確定方程中字母系數(shù)的取值范圍. 知能解讀（二）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用 1內(nèi)容 若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，由求根公式得，令，.由此可得，.所以，.即對于一元二次方程來說，若是它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，. 這一結(jié)論可表述為：一元一次方程兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.此結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系. 注意 （1）根與系數(shù)的關(guān)系是在方程有根的前提下（即)才能夠成立的，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)首先要檢驗(yàn)是否非負(fù). （2）根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用：①不解方程，求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值；②已知方程一根，求方程的另一根；③與根的判別式相結(jié)合,解決一些綜合題. 2應(yīng)用 （1）驗(yàn)根：不解方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩根. （2）已知方程的一個(gè)根，求另一根及未知系數(shù). （3）不解方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求關(guān)于的對稱式的值. （4）已知方程的兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值. 3拓展 （1）與兩根有關(guān)的幾個(gè)代數(shù)式的變形： ①； ②； ③； ④. （2）討論一元二次方程根的符號(hào) 且 兩根同為正數(shù) 兩根同為負(fù)數(shù) 且 異號(hào)且正根絕對值大 異號(hào)且負(fù)根絕對值大 （3）以為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）為. 方程技巧歸納 方法技巧（一）一元二次方程根的判別式的應(yīng)用 一元二次方根根的判別式闡明了根的存在性與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，它的應(yīng)用非常廣泛，現(xiàn)舉例說明如下： 1不解方程，判斷方程根的情況 解題時(shí)，一般分兩步：（1）先求出的值；（2）由與零的關(guān)系判斷方程根的情況. 點(diǎn)撥 判斷一元二次方程根的情況要根據(jù)的值是大于0，小于0還是等于0來判斷.當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. 2根據(jù)方程根的情況確定待定系數(shù)的取值 注意 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則；方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，解題時(shí)一定要注意兩者的區(qū)別. 方法技巧（二）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系不僅提供了方程兩根與系數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也為我們處理有關(guān)一元二次方程問題提供了重要思路和方法. 方法技巧（三）根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.利用實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)確定字母的取值范圍時(shí)忽略. 2.關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的大前提是原方程為一元二次方程，所以必須保證二次項(xiàng)系數(shù)，這個(gè)隱含條件常常成為命題設(shè)置的“陷阱在應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)易出錯(cuò). 要注意其成立的兩個(gè)前提條件：（1)在一元二次方程條件下，注意二次項(xiàng)系數(shù)；(2)存在實(shí)數(shù)根的條件下，注意根的判別式.兩者缺一不可.解題時(shí)，常常因?yàn)楹雎阅骋环矫鎸?dǎo)致出錯(cuò). 易混易錯(cuò)(一)根據(jù)一元二次方程根的情況確定未知系數(shù)取值范圍時(shí)忽略“”的條件） 易錯(cuò)易混（二）二次項(xiàng)系數(shù)或考慮不周致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的主要考點(diǎn)有根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系的簡單應(yīng)用，近年來，直接考查根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系的題目明顯增加，題型以選擇題、填空題為主，有時(shí)出現(xiàn)與解直角三角形、四邊形、二次函數(shù)有關(guān)的綜合題，題型有解答題和開放探究題. 中考試題（一）利用判別式方程根的情況 中考試題（二）根據(jù)方程根的情況求字母的取值范圍 中考試題（三）已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及字母的值 中考試題（四）求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值 中考試題（五）已知兩根關(guān)系，求某個(gè)字母的值 中考試題（六）一元二次方程的綜合應(yīng)用 第21講實(shí)際問題與一元二次方程（實(shí)踐與探究） 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）列一元一次方程解應(yīng)用題得方法步驟 列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的拓展，兩者的解題方法類似,但由于一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，所以要注意檢驗(yàn)得出的方程的 解是否符合實(shí)際意義. 其步驟如下： （1）審：讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的等量關(guān)系. （2）設(shè)：選用適當(dāng)?shù)姆绞皆O(shè)未知數(shù)(直接設(shè)未知數(shù)或間接設(shè)未知數(shù))，不要漏寫單位，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題目中涉及的量. （3）列：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，列出含未知數(shù)的等式.注意等號(hào)兩邊量的單位必須一致. （4）解：解所列方程，求出未知數(shù)的值. （5）驗(yàn)：一是檢驗(yàn)得到的未知數(shù)的值是否為方程的解，二是檢驗(yàn)方程的解是否符合題意. （6）答：怎么問就怎么答，注意不要漏寫單位. 知能解讀(二)主要題型 列一元二次方程解應(yīng)用題在日常生活、生產(chǎn)、科技等方面有著廣泛的應(yīng)用，如增長率(降低率)問題、利息問題、數(shù)字問題、利潤問題、動(dòng)點(diǎn)問題等. 方法技巧歸納 方法技巧（一）增長率（降低率）問題的解題方法 （1）增長量=原產(chǎn)量增長率；（2）增產(chǎn)后的產(chǎn)量=原產(chǎn)量（1+增長率）. 點(diǎn)撥 增長率問題：若設(shè)基數(shù)為，平均增長率為，則增長次后的值為. 方法技巧（二）利息問題的解題方法 解答此類問題的關(guān)鍵是理解實(shí)際生活中的一些概念，如本金、利率、利息等. 注意 對于存款利息問題，解題時(shí)一定要注意每次增長的基礎(chǔ)量是否相同. 方法技巧（三）數(shù)字問題的解題方法 解答此類問題的關(guān)鍵是掌握好數(shù)的表示方法和設(shè)法.如：（1）兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字，三位數(shù)=百位數(shù)字100+十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字；（2）三個(gè)連續(xù)整數(shù)可設(shè)為，三個(gè)連續(xù)奇數(shù)（或偶數(shù)）可設(shè)為等. 點(diǎn)撥 （1）解決有關(guān)多位數(shù)的問題時(shí)，一般不直接設(shè)出這個(gè)多位數(shù)，而是間接設(shè)某個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，再用代數(shù)式表示其余數(shù)位上的數(shù)字. （2）正確列出方程的關(guān)鍵是熟練掌握用未知數(shù)表示多位數(shù)的方法，如：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字. 方法技巧（四）利潤問題的解題方法 解決利潤問題的關(guān)鍵是弄清標(biāo)價(jià)、售價(jià)、成本價(jià)的實(shí)際意義及利潤的兩個(gè)等量關(guān)系： （1）利潤=售價(jià)-成本價(jià)（進(jìn)貨價(jià)）；（2）利潤率=100%. 點(diǎn)撥 利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，所以每千克核桃降價(jià)元后獲利元，每天賣出核桃千克，這是解題的關(guān)鍵，注意根據(jù)最大讓利原則應(yīng)取6，而不取4. 方法技巧（五）動(dòng)點(diǎn)問題的解題方法 動(dòng)點(diǎn)問題關(guān)鍵是根絕動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的起點(diǎn)和終點(diǎn)等條件列出方程求解. 點(diǎn)撥 通過分析這類問題，可以培養(yǎng)同學(xué)們的抽象思維能力.用“靜”的方法來處理“動(dòng)”的問題是解決運(yùn)動(dòng)型數(shù)學(xué)問題的基本思維技巧.如此題中的“靜”就是指的長度為. 方法技巧（六）圖形面積問題的解題方法 圖形面積問題多涉及三角形全等、勾股定理、三角形三邊關(guān)系及各種規(guī)則圖形的面積公式，多考查矩形面積問題. 點(diǎn)撥 （1）列方程解應(yīng)用題得關(guān)鍵是認(rèn)真讀題，找出題中的等量關(guān)系.（2）本題中的墻的長度對于方程的解有限制作用. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 忽略檢驗(yàn)，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤. 列一元二次方程解決實(shí)際問題，是一元二次方程的一個(gè)重要應(yīng)用.由于一般情況下一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，所以應(yīng)注意檢驗(yàn)得到的未知數(shù)的值是否符合題意及實(shí)際問題的意義. 易混易錯(cuò)（一）列一元二次方程解應(yīng)用題時(shí)因忽視隱含條件而致誤 易混易錯(cuò)（二）在解決有關(guān)比賽等問題時(shí)，因理解題意而致誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的主要考點(diǎn)有列一元二次方程解決圖形面積問題、增長率（降低率）問題和與市場經(jīng)濟(jì)有關(guān)的利潤問題等實(shí)際問題.題型有選擇題、填空題和解答題. 中考試題(一）圖形面積問題 中考試題(二）增長率（降低率）問題 點(diǎn)撥 (1)有關(guān)百分率的問題常應(yīng)用公式求解，其中是基數(shù)，是增長率或降低率，是變化次數(shù)，是經(jīng)過次變化后的結(jié)果.（2)應(yīng)用一元二次方程解應(yīng)用題時(shí)要注意舍去不合題意的解. 中考試題(三）利潤問題 點(diǎn)撥 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵.此題要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.