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第十四章 投影與試圖 考情分析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.中心投影的有關(guān)計(jì)算 ★ 3～8分 2.平行投影的有關(guān)計(jì)算 ★ 3.判斷物體的三視圖 ★★★ 4.由三視圖判斷幾何體 ★★ 5.根據(jù)三視圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算 ★★ 6.三視圖的畫法 ★ 知能圖譜 第32講 投 影 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）投影及相關(guān)概念 一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫作物體的投影，照射光線叫作投影線，投影所在的平面叫作投影面. 知能解讀（二）平行投影與中心投影 （1）平行投影：由平行光線形成的投影叫作平行投影.如物體在太陽(yáng)的照射下形成的影子（簡(jiǎn)稱日影）就是平行投影. （2）中心投影：由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫作中心投影.如物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子就是中心投影. 知能解讀（三）正投影 （1）正投影：投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫作正投影.正投影是平行投影的特殊情形.在實(shí)際制圖時(shí)，經(jīng)常應(yīng)用投影. （2）線段的正投影：①當(dāng)線段平行于投影面時(shí)，它的正投影； ②當(dāng)線段傾斜于投影面時(shí)，它的正投影； ③當(dāng)線段垂直于投影面時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn). （3）正方形的正投影； ①當(dāng)正方形平行于投影面時(shí)，它的正投影與它本身形狀、大小一樣； ②當(dāng)正方形傾斜于投影面時(shí)，它的正投影與它本身形狀、大小不無(wú)安全一樣； ③當(dāng)正方形垂直于投影面時(shí)，它的正投影成為一條線段. （4）當(dāng)物體的某個(gè)面平行于投影面時(shí)，這個(gè)面的正投影與這個(gè)面的形狀、大小完全相同. 點(diǎn)評(píng) 物體證投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān). 知能解讀（四）燈光下的影子與太陽(yáng)光下的影子的區(qū)別 （1）太陽(yáng)光線是平行的，太陽(yáng)光下的影子與物體的高度成比例；燈光光線是發(fā)散的，燈光下的影子與物體的高度不成比例. （2）同一時(shí)刻，太陽(yáng)光下的影子都在同一方向，而燈光下的影子都在同一方向，而燈光下的影子則不一定. （3）燈光是從一點(diǎn)發(fā)出的，所有物體的頂端和影子的頂端所直線必過(guò)發(fā)光點(diǎn)；而太陽(yáng)光是平行光. 方法技巧歸納 方法技巧（一）投影的區(qū)分與識(shí)別的方法 根據(jù)兩種物體的影子判斷是在燈光下還是在太陽(yáng)光下的投影，關(guān)鍵是看這兩種物體的頂端和其影子的頂端的連線是平行還是相交，若平行則是在太陽(yáng)光下的投影，若相交則是在燈光下的投影. 點(diǎn)撥 若光線是平行的，則是太陽(yáng)光線，并且影子的方向是一致的；若光線相交于一點(diǎn)，則為燈光的光線. 方法技巧（二）看投影時(shí)間 注意 本題在觀察影子的位置變化情況時(shí)應(yīng)注意與地理坐標(biāo)相結(jié)合：上北、下南、左西、右東. 方法技巧（三）確定中心投影的光源 識(shí)別中心投影，關(guān)鍵看相應(yīng)的光線位置關(guān)系，如果相應(yīng)光線相交于同一點(diǎn)，這種投影就是中心投影.反過(guò)來(lái)，我們可以利用這一特點(diǎn)確定中心投影的光源. 方法技巧（四）物體正投影的畫法 平面圖形、立體圖形的正投影作圖是點(diǎn)、線段的正投影作圖的綜合，因此，平面圖形、立體圖形的正投影作圖可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)、線段的正投影作圖，點(diǎn)、線段在投影上面的作法如下表： 名稱 內(nèi)容 作空間在投影面上的正投影 過(guò)空間點(diǎn)作投影面的垂線，垂線與投影面的交點(diǎn)就是空間點(diǎn)在投影面上的正投影 作線段在投影面上的正投影 分別作出線段的兩個(gè)端點(diǎn)在投影面上的正投影，然后連接兩投影點(diǎn)即可 注意 側(cè)棱在投影面上的投影應(yīng)為這這條線段，因?yàn)槟芸吹?，所以畫成?shí)線，不要畫成虛線或漏畫. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 平行投影與中心投影. 平行投影是物體在太陽(yáng)光線照射下形成的投影，其特征是形成影子的光線是平行的；中心投影是物體在燈光照射下形成的投影，其特征是形成影子的光線交于一點(diǎn). 易混易錯(cuò)（一）不能正確表示太陽(yáng)光線致錯(cuò) 易混易錯(cuò)（二）混淆中心投影與平行投影致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講在中考中主要考查平行投影與中心投影的識(shí)別及應(yīng)用，通常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn). 中考試題（一）平行投影的應(yīng)用 中考試題（二）中心投影的應(yīng)用 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）試圖的概念及特點(diǎn) （1）視圖：當(dāng)我們從某一個(gè)方向觀察一個(gè)物體時(shí)，所看到的平面圖形叫作物體的一個(gè)視圖.視圖可以看作是物體在某一方向光線下的正投影機(jī). （2）三視圖：用三個(gè)互相垂直的平面作為投影面，其中正對(duì)著我們的平面叫作正面，下方的平面叫作水平面，右邊的平面叫作水平面，右邊的平面叫作側(cè)面.一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)分別進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫作主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫作俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫作左視圖. 將三個(gè)投影面展開在一個(gè)平面內(nèi)，得到這一物體的三視圖.三視圖中，主視圖與俯視圖可以表示同一個(gè)物體的長(zhǎng)，主視圖和左視圖可以表示同一個(gè)物體的高，左視圖與俯視圖可以表示同一個(gè)物體的寬. 知能解讀（二）常見幾何體的三視圖 視圖 幾何體 主視圖 左視圖 俯視圖 知能解讀（三）畫立體圖形的三視圖 畫三視圖時(shí)，三個(gè)視圖都要放在正確的位置上（主視圖在左邊，它的正下方是俯視圖，左視圖在主視圖的右邊），并注意：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)這正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等. 畫圖時(shí)還規(guī)定：看的見部分的輪廓線畫成實(shí)線，因被其他部分遮擋而看不見部分的輪廓線化成虛線. 注意 畫立體圖形時(shí)要循序漸進(jìn)，不妨從熟悉的圖形出發(fā)，于點(diǎn)一般的立體圖形要先仔細(xì)觀察和想象，再畫它的三視圖. 知能解讀（四）由視圖到立體圖形 由視圖現(xiàn)象實(shí)物時(shí)不像由實(shí)物到視圖那樣唯一確定，要借助于三個(gè)視圖綜合分析、想象，僅僅一個(gè)方向的視圖只能了解物體的部分信息.由一個(gè)視圖往往可以想象出多種形狀的物體，根據(jù)視圖只能描述物體的形狀. 注意 三個(gè)視圖的作用：由視圖描述物體的形狀，三個(gè)視圖可以提供不同的信息. （1）主視圖：由主視圖可以分清物體的長(zhǎng)和高，主要提供正面的形狀. （2）左視圖：由左視圖可以分清物體的高和寬. （3）俯視圖：由俯視圖看不出高度，這一點(diǎn)認(rèn)識(shí)很重要.由俯視圖可以分清物體的長(zhǎng)和寬. 方法技巧歸納 方法技巧（一）三視圖的識(shí)別 在識(shí)別時(shí)一是要認(rèn)識(shí)常見幾何體的三視圖，二是要有空間想象能力，三是要善于觀察生活中的物體. 點(diǎn)撥 掌握集中簡(jiǎn)單幾何體的三視圖是畫幾何體的視圖的基礎(chǔ).日常生活中看到的很多物體，它們的形狀不很規(guī)則，但是它們一般可以看作是由一些基本幾何體（棱柱、棱臺(tái)、棱錐、圓柱、圓臺(tái)、圓錐、球等）組合或切割而成的. 方法技巧（二）三視圖的畫法 三視圖的具體畫法：（1）確定主觀視圖的位置，畫出主視圖；（2）在主觀視圖正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；（3）在主視圖正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”. 注意 畫立體圖形的三視圖時(shí)，一是注意三視圖的位置；二是避免斜視幾何體. 方法技巧（三）由三視圖還原立體圖形的方法 由三視圖描述幾何體，一般先根據(jù)各視圖想象從各個(gè)方向看到的幾何體形狀，然后綜合起來(lái)確定幾何體的形狀，再根據(jù)三視圖“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的關(guān)系，確定輪廓線的位置以及各個(gè)面的尺寸. 點(diǎn)撥 由三視圖來(lái)判斷實(shí)際幾何體的形狀時(shí)，關(guān)鍵在于找到三視圖之間的關(guān)系以及對(duì)一些簡(jiǎn)單幾何體三視圖的熟練掌握. 方法技巧（四）由三視圖求幾何體的表面積的方法 由三視圖求幾何體的表面積時(shí)，首先要根據(jù)三視圖描述幾何體（或畫出表面展開圖），再根據(jù)三視圖“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的關(guān)系和輪廓線的位置確定各條線段的尺寸，然后應(yīng)面積公式求出表面積. 點(diǎn)撥 由三視圖求幾何體的表面積關(guān)鍵是確定幾何體的形狀. 技巧方法（五）根據(jù)視圖判斷小正方體的個(gè)數(shù) 由三視圖判斷幾何體的形狀，首先，分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，再綜合起來(lái)考查. 點(diǎn)撥 主視圖表示幾何體的上、下、左、右，俯視圖表示幾何體的左、右、前、后，左視圖表示幾何體的上、下、前、后，據(jù)此可判斷搭建一個(gè)幾何體所需要的正方體的個(gè)數(shù). 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 畫視圖時(shí)虛線與實(shí)現(xiàn)混淆. 在三視圖中，看不到的輪廓線要求畫成虛線，同學(xué)們?nèi)菀资韬龆鴮⑵洚嫵蓪?shí)線. 易混易錯(cuò)（一）由三視圖還原立體圖形時(shí)因忽視其中的條件而致誤 易混易錯(cuò)（二）畫視圖時(shí)將看不見的棱畫成實(shí)線而致誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講在中考中主要考查基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球等）的三視圖，會(huì)判斷簡(jiǎn)單物體的三視圖，會(huì)利用空間想象能力作圖或識(shí)圖，通常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). 中考試題（一）判斷物體的三視圖 中考試題（二）由三視圖判斷幾何體 中考試題（三）利用三視圖計(jì)算