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第十九章 解直角三角形 考 情 分 析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.勾股定理 ★★ 8～12分 2.勾股定理的逆定理 ★ 3.銳角三角函數(shù)的概念 ★★ 4.特殊角的銳角三角函數(shù) ★★★ 5.解直角三角形 ★★ 6.解直角三角形的應(yīng)用 ★★★ 7.解非直角三角形 ★★ 知能圖譜 第44講 勾股定理 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）勾股定理及其驗(yàn)證方法 （1）勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，，斜邊長(zhǎng)為，那么。 （2）勾股定理的驗(yàn)證。 勾股定理的驗(yàn)證方法常見(jiàn)于中考命題。 勾股定理的驗(yàn)證方法很多，可以用測(cè)量計(jì)算，可以用代數(shù)式的變形，可以用幾何證明，也可以用面積（拼圖）證明，其中拼圖法是最常見(jiàn)的一種方法，驗(yàn)證如下： 現(xiàn)有四塊直角邊長(zhǎng)為，，斜邊長(zhǎng)為的直角三角形紙板，請(qǐng)從中取出若干塊進(jìn)行拼圖（需畫(huà)出所拼的圖形），證明勾股定理。 證法1：如圖所示， ∵， ∴，∴。 證法2：如圖所示， ∵， ∴， 整理，得。 證法3：如圖所示， ∵， ∴，整理，得。 知能解讀（二）勾股定理的應(yīng)用 勾股定理揭示了直角三角形的三邊關(guān)系，其應(yīng)用有：（1）已知兩邊求第三邊；（2）證明三角形中的某些線段的平方關(guān)系；（3）作長(zhǎng)為的線段。 知能解讀（三）勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 點(diǎn)撥 勾股定理的逆定理是判定三角形是直角三角形的一個(gè)依據(jù)。 知能解讀（四）勾股數(shù) 一般地，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正常數(shù)稱為勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，下列各組數(shù)都是常見(jiàn)勾股數(shù)：，，，，等。如當(dāng)時(shí)，是一組勾股數(shù)：當(dāng)時(shí)，也是一組勾股數(shù)。 點(diǎn)撥 求勾股數(shù)的方法：（1）如果是大于1的奇數(shù)，，是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且有，則，，是一組勾股數(shù)；（2）如果，，為一組勾股數(shù)，則，，也是一組勾股數(shù)，其中為自然數(shù)。 方法技巧歸納 方法技巧（一）利用勾股定理直接求直角三角形的第三邊的方法 利用勾股定理求直角三角形的第三邊時(shí)，應(yīng)先明確哪條是直角邊，哪條邊是斜邊。 點(diǎn)撥 本題考查勾股定理及平行線分線段成比例定理，由條件得出為的中點(diǎn)，進(jìn)而利用三角形中位線定理解題。 方法技巧（二）利用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀的方法 如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且為斜邊長(zhǎng)，所對(duì)的角為直角。 勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，通過(guò)計(jì)算，判定三角形的形狀。 點(diǎn)撥 已知三角形的三邊長(zhǎng)，可以運(yùn)用勾股定理的逆定理判定這個(gè)三角形是否為直角三角形，其方法是：先比較三邊的大小找出最長(zhǎng)邊，只是較短兩邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，這個(gè)三角形就是直角三角形。 方法技巧（三）勾股定理及其逆定理的應(yīng)用 勾股定理在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用比較廣泛，但歸結(jié)起來(lái)主要有以下兩方面：一是根據(jù)勾股定理求某些線段的長(zhǎng)度；二是利用其逆定理判斷三角形的形狀。 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 把握不好勾股定理適用的范圍：只適用于直角三角形，而不適用于其他的三角形。 易混易錯(cuò)（一）利用勾股定理直角三角形某條邊時(shí)，未分情況討論出現(xiàn)漏解 易混易錯(cuò)（二）忽略勾股定理存在的條件致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 勾股定理及其逆定理是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)之一，主要考查利用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題及利用其逆定理判定三角形的形狀等，題型多樣，填空題、選擇題、解答題均有，常與解直角三角形、三角函數(shù)、四邊形、圓等知識(shí)綜合在一起進(jìn)行考查。 中考試題（一）利用勾股定理運(yùn)算求解 中考試題（二）利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形 中考試題（三）應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題 中考試題（四）勾股定理的證明 點(diǎn)撥 證明勾股定理是用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，列出含有的等式，利用整式的運(yùn)算法則把等式整理后得到。 第45講 銳角三角函數(shù) 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）正弦、余弦、正切的概念 如圖所示，在中，。 （1）銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫作的正弦， 記作， 即。 （2）銳角的鄰邊與斜邊的比叫作的余弦，記作，即。 （3）銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫作的正切，記作，即。 銳角的正弦、余弦、正切都是的三角函數(shù)。 注意 （1）正弦、余弦、正切的概念都是直角三角形中給出的，應(yīng)用時(shí)要避免對(duì)任意的三角形隨便套用。 （2）不是與的乘積，是三角函數(shù)記號(hào)，是一個(gè)整體?！啊北硎疽粋€(gè)比值，其他兩個(gè)三角形函數(shù)記號(hào)也是一樣的。 （3）銳角三角函數(shù)值與三角形三邊長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與銳角的大小有關(guān)。 （4）在范圍內(nèi)：，，。 知能解讀（二）特殊角的三角函數(shù)值 特殊角有角，它們的三角函數(shù)值如下表： 三角函數(shù)值 1 知能解讀（三）知識(shí)拓展 1 銳角三角函數(shù)值的變化情況 當(dāng)時(shí)，的正弦值、正切值隨角的度數(shù)的增大而增大，即若，且均為銳角，則； 的余弦值隨角的度數(shù)的增大而減小，即若，且均為銳角，則. 2 同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系 （1）平方關(guān)系：為銳角，即同一銳角的正弦和余弦的平方和等于1. （2）商的關(guān)系：為銳角，即同一銳角的正弦與余弦的商等于正切. 3 互為余角的角的三角函數(shù)之間的關(guān)系 若，則. 即任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值. 知能解讀（四）用計(jì)算器計(jì)算三角函數(shù)值 用計(jì)算器求已知銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的銳角是必須掌握的. 注意 由三角函數(shù)值求角的度數(shù)時(shí)，要用到sin cos tan鍵的第二功能鍵，要注意按鍵的順序. 知能解讀（五）直角三角形的性質(zhì) 在直角三角形中，角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半. 方法技巧歸納 方法技巧（一）三角函數(shù)值的求法 銳角三角函數(shù)值是直角三角形中各邊之間的比值，要求某一銳角的某三角函數(shù)值，應(yīng)明確是哪些邊之間的比值，一定要依據(jù)各自的定義進(jìn)行計(jì)算. 方法技巧（二）特殊角的三角函數(shù)值的有關(guān)計(jì)算 特殊角的三角函數(shù)值的有關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵是熟記角的各種三角函數(shù)值，將對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可. 點(diǎn)撥 本題需掌握“幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)的值分別為0”的性質(zhì)，并需熟記特殊角的三角函數(shù)值。 方法技巧（三）銳角三角函數(shù)增減性的應(yīng)用 點(diǎn)撥 解答此題的關(guān)鍵首先是明確銳角的余弦函數(shù)值是隨角的度數(shù)的增大而減少的，其次是熟記特殊角（30，45，60角）的余弦值。 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.沒(méi)有明確三角形的形狀直接求銳角三角函數(shù)，導(dǎo)致出錯(cuò). 銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，因此在解答問(wèn)題之前，必須看銳角是否在直角三角形中. 2.特殊角的三角函數(shù)值. 進(jìn)行計(jì)算時(shí)，記錯(cuò)角的各種三角函數(shù)值. 易混易錯(cuò)（一）未判斷三角形形狀，亂用條件致錯(cuò) 易混易錯(cuò)（二）忽視銳角三角函數(shù)的取值范圍致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 直角三角形的邊角關(guān)系——三角函數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想的最直觀的體現(xiàn)，是中考的必考內(nèi)容之一，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)值的求法及特殊角的三角函數(shù)值的有關(guān)運(yùn)算，多為中、低檔題. 中考試題（一）對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解 中考試題（二）構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)值 中考試題（三）特殊角的三角函數(shù)值的綜合計(jì)算 第46講 解直角三角形 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）直角三角形的邊角關(guān)系 如圖所示，直角三角形ABC的邊角關(guān)系可以從以下三個(gè)方面加以歸納： （1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）. （2）兩銳角之間的關(guān)系：. （3）邊角之間的關(guān)系：. 知能解讀（二）解直角三角形的概念及基本類型 （1）概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程.叫作解直角三角形.利用“知能解讀（一）”中直角三角形的邊角關(guān)系，知道其中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出其余三個(gè)未知元素. （2）解直角三角形的四種基本類型：①已知兩直角邊；②已知一直角邊和斜邊；③已知一銳角和一直角邊；④已知一銳角和斜邊. 拓展 在非直角三角形的問(wèn)題中，往往是通過(guò)作三角形的高，構(gòu)造直角三角形來(lái)解決，而作高時(shí)，常從非特殊角的頂點(diǎn)作高.對(duì)于較復(fù)雜的圖形，往往通過(guò)“補(bǔ)形”或“分割”的方法構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的方法實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的有機(jī)轉(zhuǎn)化. 點(diǎn)撥 解直角三角形的方法：“有斜（斜邊）用弦（正弦、余弦），無(wú)斜用切（正切），寧乘毋除，取原避中”.這幾句話的意思是當(dāng)已知或求解中有斜邊時(shí)，就用正弦或余弦，無(wú)斜邊時(shí)，就用正切；當(dāng)所求的元素既可用乘法又可用除法求解時(shí)，則用乘法，不用除法，既可由已知數(shù)據(jù)又可由中間數(shù)據(jù)求解時(shí)，則用已知數(shù)據(jù)，盡量避免用中間數(shù)據(jù). 知能解讀（三）實(shí)際問(wèn)題中常用的概念 1　仰角、俯角 在測(cè)量時(shí)，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角，在水平線下方的叫俯角，如圖所示. 2　坡度、坡角 如圖所示，坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫坡度，，坡面與水平面的夾角叫坡角.實(shí)際上，坡度就是坡角的正切值. 點(diǎn)撥 坡度經(jīng)常寫(xiě)成的形式，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之坡度越小，坡角越小，坡面越緩. 3　方位角 從正北方向線或正南方向線到目標(biāo)方向線所成的小于的角，叫作方位角，如圖所示，OA是表示北偏東方向的一條射線. 知能解讀（四）應(yīng)用直角三角形解實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程 （1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）； （2）根據(jù)問(wèn)題中的條件，選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)解直角三角形； （3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案； （4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案. 方法技巧歸納 方法技巧（一）已知兩邊解直角三角形的方法 已知兩邊解直角三角形，一般是先由勾股定理求出第三邊，再由三角函數(shù)求出其中的一個(gè)銳角，最后利用兩銳角互余求出另一個(gè)銳角. 方法技巧（二）已知一銳角、一邊解直角三角形的方法 已知一銳角和一邊解直角三角形時(shí)，先由兩銳角互余求出另一個(gè)銳角，然后利用恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)求出另外兩條邊；或利用三角函數(shù)求出一條邊后，再利用勾股定理求出第三邊. 點(diǎn)撥 本題也可求出一條邊后，利用勾股定理求出第三條邊。 方法技巧（三）非直角三角形的解法 非直角三角形的解法，通常是根據(jù)題目的特點(diǎn)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，將非直角三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題.作輔助線時(shí)常用非特殊角的頂點(diǎn)作高. 方法技巧（四）利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題 1　仰角、俯角問(wèn)題 點(diǎn)撥 解非直角三角形問(wèn)題一般通過(guò)作高構(gòu)造直角三角形求解。 2　方位角問(wèn)題 3　坡度、坡角問(wèn)題 點(diǎn)撥 與坡度、坡角有關(guān)的問(wèn)題，通常與勾股定理、銳角三角函數(shù)綜合考查。 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 審題不清，對(duì)名詞術(shù)語(yǔ)理解不透，如仰角、俯角等在圖中找不準(zhǔn)致錯(cuò)。 易混易錯(cuò)對(duì)名詞術(shù)語(yǔ)不理解導(dǎo)致錯(cuò)誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 解直角三角形知識(shí)是中考中不可缺少的考查內(nèi)容，從題型上看，有選擇題、填空題、解答題、選擇題、填空題主要考查解直角三角形的概念等簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)性題目，多為低檔題；解答題主要考查靈活運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，多以中檔題為主，也有中檔以上有一定難度的題目。 中考試題（一）利用解直角三角形求解 中考試題（二）利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題