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專題六 圖形與變換 第十六章 對稱、平移與旋轉(zhuǎn) 考情分析 高頻考點 考查頻率 所占分值 1.軸對稱圖形的識別 ★★★ 3～5分 2.軸對稱的性質(zhì) ★★ 3.直角坐標系中點的軸對稱 ★ 4.平移的性質(zhì)及作圖 ★★ 5.平移與坐標變化 ★ 6.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ★ 7.旋轉(zhuǎn)與坐標變化 ★ 8.中心對稱圖形 ★★★ 9.中心對稱的性質(zhì) ★★ 知能圖譜 第36講 軸對稱 知識能力解讀 知能解讀（一）軸對稱圖形的概念 如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫作軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸. 注意 （1）一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只要一條，如圖（b）（c）中各有兩條，如圖1-36-1（d）中有4條.（2）軸對稱圖形需注意：①一個圖形；②沿一條直線對折，對折的兩部分能完全重合（即重合到自身上）；③對稱軸是一條直線. 知能解讀（二）軸對稱的概念 把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫作對稱軸.折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫作對稱點（如圖所示）. 注意 兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系： 名稱 兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱 軸對稱圖形 圖形 區(qū)別 （1）兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個圖形； （2）只有一條對稱軸 （1）軸對稱圖形是指一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言； （2）至少有一條對稱軸 聯(lián)系 把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形.把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關(guān)于這條對稱軸成軸對稱 知能解讀（三）軸對稱的性質(zhì) （1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形. （2）如果兩圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線. 注意 全等的圖形不一定是成軸對稱的，成軸對稱的圖形一定是全等的，所以成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等. 知能解讀（四）軸對稱作（畫）圖 1畫圖形的對稱軸 （1）如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，因此我們只要找到一對對應(yīng)點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這個圖形的對稱軸. （2）對于軸對稱圖形，只要找到任意一對對應(yīng)點，作出對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸. 注意 找對稱點時，所找對稱點最好是圖形的頂點或拐點，這樣作出的圖形更準確. 2畫軸對稱圖形 （1）由一個平面圖形可以得到與它關(guān)于一條直線對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同；新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關(guān)于直線的對稱點；連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分. （2）幾何圖形都可以看作是由點組成.對于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點（如線段的端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形. （3）畫軸對稱圖形的步驟； ①確定原圖形的特殊點； ②作出所有特殊點關(guān)于對稱軸的對稱點； ③按原圖形的順序順次連接相應(yīng)的對稱點. 注意 “特殊點”是指能確定圖形形狀、大小及位置的關(guān)鍵點.如果是多邊形，這些點就是指所有的頂點；如果是線段，這些點就是指線段的兩個端點等. 知能解讀（五）設(shè)計軸對稱圖案 應(yīng)用軸對稱知識，設(shè)計美觀大方的圖形，有利于增強對軸對稱知識的理解，提高審美能力和創(chuàng)作設(shè)計能力.以圖中的（a）為例進行說明. 步驟如下： （1）準備一張圓形紙片； （2）在圓形紙片上畫兩條互相垂直的直徑，如圖（b）； （3）如圖（c），在其中畫出四邊形； （4）如圖（d），在其中畫出四邊形關(guān)于鉛直對稱軸的對稱四邊形； （5）如圖（e），畫出圖（d）中的圖形關(guān)于水平對稱軸的對稱圖形； （6）在圖（e）中圖上顏色. 這樣就完成這幅軸對稱圖案了. 知能解讀（六）關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標關(guān)系 在直角坐標系中，點關(guān)于軸的對稱點是，關(guān)于軸的對稱點是； 關(guān)于坐標軸成軸對稱的點的坐標特征； （1）關(guān)于軸（橫軸）對稱的點：橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，即“橫同縱反”； （2）關(guān)于軸（縱軸）對稱的點：縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，即“縱同橫反”. 方法技巧歸納 方法技巧（一）軸對稱圖形及其對稱軸的識別方法 判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，可以用折紙的方法按照軸對稱圖形的概念，看是否能找到一條直線，將圖形沿其折疊，使直線兩旁的部分能夠完全重合（即用軸對稱圖形的定義進行識別）. 點撥 識別軸對稱圖形的關(guān)鍵是找到作為對稱軸的直線，沿直線折疊后兩邊的部分能夠重合，有時這樣的直線能夠找到多條，說明這個軸對稱圖形有多條對稱軸. 方法技巧（二）利用軸對稱圖形的性質(zhì)求角的度數(shù)或線段的長的方法 由于軸對稱圖形沿對稱軸翻折后兩邊互相重合，而重合的邊或角存在相等關(guān)系，所以根據(jù)這一特點可以進行線段或角的計算. 點撥 解此類題的關(guān)鍵是找準折疊后重合的角、重合的邊，利用存在的相等關(guān)系解決問題. 點撥 利用軸對稱的性質(zhì)時，關(guān)鍵是找對應(yīng)點，這樣問題就能化解難為易，化繁為簡. 方法技巧（三）軸對稱作圖 利用軸對稱的性質(zhì)時，可以確定成軸對稱的圖形的對稱軸，也可以作出一個圖形關(guān)于一條直線的軸對稱圖形. 點撥 點在對稱軸上時，它關(guān)于對稱軸的對稱點也在對稱軸上；點在對稱軸一側(cè)時，它關(guān)于對稱軸的對稱點在對稱軸的另一側(cè). 方法技巧（四）生活中的軸對稱 解決平面內(nèi)最短（最小）距離問題，可以利用軸對稱對作出其中一點關(guān)于直線的對稱點，轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”來解決. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.軸對稱與軸對稱圖形 區(qū)別：軸對稱是對兩個圖形來說的，它是兩個全等圖形之間的一種位置關(guān)系，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的，它是一個圖形所具備的一種特征. 2.判斷成軸對稱時，誤以為只要兩個圖形就可以. 易混易錯 找成軸對稱的圖形時，由于對稱軸對稱的概念理解不正確而致誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 中考中對稱軸對稱的考查主要以識別軸對稱圖形和點在坐標系中的軸對稱為主，也考查利用軸對稱求最短路線的應(yīng)用，題型以填空題、選擇題為主，也有作圖題. 中考試題（一）識別軸對稱圖形 點撥 利用軸對稱圖形的定義判斷，沿某條直線折疊看直線兩旁的部分能否完全重合. 中考試題（二）點關(guān)于坐標軸的對稱點的坐標 中考試題（三）用軸對稱求最短路線問題 第37講 平移與旋轉(zhuǎn) 知識能力解讀 知能解讀（一）平移的概念和特征 1平移的概念 把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動，叫作平移. 點撥 （1）圖形平移的兩個要素：一是平移的方向；二是平移的距離； （2）圖形平移的方向不限于是水平的. 2平移的特征 （1）平移后得到的新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同. （2）新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點，連接各組對應(yīng)點的線段平行（或在同一條直線上）且相等. 注意 （1）由平移性質(zhì)可知：連接對應(yīng)點線段的長度就是圖形平移的距離. （2）區(qū)分對應(yīng)點的連續(xù)和對應(yīng)線段，在平移過程中對應(yīng)線段和對應(yīng)點的連線都有可能在同一條直線上. 知能解讀（二）畫平移后的圖形的步驟方法 （1）確定平移的方向；（2）確定平移的距離；（3）畫出決定圖形大小和形狀的對應(yīng)點、對應(yīng)角或?qū)?yīng)線段；（4）按原來圖形的連接方式補充完整圖形. 知能解讀（三）平面直角坐標系匯總的平移 一般地，在平面直角坐標系中，將點向右或左平移個單位長度，可以得到對應(yīng)點或；將點向上或下平移個單位長度，可以得到對應(yīng)點或. 一般地，在平面直角坐標系中，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個正數(shù)，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加上（或減去）一個正數(shù)，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移個單位長度. 知能解讀（四）旋轉(zhuǎn)的概念和特征 1旋轉(zhuǎn)的概念 把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點轉(zhuǎn)動一個角度，叫作圖形的旋轉(zhuǎn).點叫作旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫作旋轉(zhuǎn)角.如圖形上的點經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化點，那么這兩個點叫作這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點. 如圖所示，是繞定點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，其中點與點叫作對應(yīng)點，線段與線段叫作對應(yīng)線段，與叫作對應(yīng)角，點叫作旋轉(zhuǎn)中心，（或）的度數(shù)叫作旋轉(zhuǎn)的角度.圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)的角度所決定. 點撥 圖形旋轉(zhuǎn)的三要素是旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角. 2旋轉(zhuǎn)的特征 （1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； （2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角； （3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等. 注意 （1）旋轉(zhuǎn)角與對應(yīng)角不同，旋轉(zhuǎn)角是指圖形旋轉(zhuǎn)過的角，而不是圖形中的角；對應(yīng)角是指圖形旋轉(zhuǎn)前后能夠重合的角，它是圖形中的角.（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離與對應(yīng)線段的長度不同，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離是圖形上的點到旋轉(zhuǎn)中心的距離；對應(yīng)線段則是圖形上的線段. 3旋轉(zhuǎn)作圖的步驟方法 （1）確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；（2）找出圖形上的關(guān)鍵點；（3）連接圖形上的關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到關(guān)鍵點的對應(yīng)點；（4）按原圖的順序連接這些對應(yīng)點，即得旋轉(zhuǎn)后的圖形. 知能解讀（五）平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱的關(guān)系 變換 異同 平 移 旋 轉(zhuǎn) 對稱軸 不同點 平移變換前后，兩個圖形的對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上），對應(yīng)角的兩邊分別平行（或在同一條直線上）且方向一致 旋轉(zhuǎn)變換前后，兩個圖形后，兩個圖形的任意一個對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都是旋轉(zhuǎn)角 若成軸對稱的兩個圖形的對應(yīng)線段或其延長線段相交，則其交點在對稱軸上；成軸對稱的兩個圖形的對應(yīng)點所連線段被稱對稱軸垂直平分 相同點 （1）都是在平面進行的圖形變換； （2）都是只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，即變換前后圖形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，兩圖形全等； （3）都是把一個已知圖形變換后得到另一個圖形 知能解讀（六）中心對稱與中心對稱圖形的概念 1中心對稱 把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)，如圖它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個U形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫作對稱中心（簡稱中心）.這兩個圖形再旋轉(zhuǎn)后能重合的對應(yīng)點叫作關(guān)于對稱中心的對稱點.如圖，繞著點旋轉(zhuǎn)后，與完全重合，則稱和關(guān)于點對稱，點是點關(guān)于點的對稱點. 2中心對稱圖形 把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫作中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心. 中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系： 中心對稱 中心對稱圖形 區(qū)別 （1）是針對兩個圖形而言的. （2）是指兩個圖形的（位置）關(guān)系. （3）對稱點在兩個圖形上. （4）對稱中心在兩個圖形之間. （1）是針對一個圖形而言的. （2）是指具有某種性質(zhì)的一個圖形. （3）對稱點在一個圖形上. （4）對稱中心在圖形上. 聯(lián)系 （1）都是通過把圖形旋轉(zhuǎn)重合來定義的.（2）兩者可以相互轉(zhuǎn)化，如果把中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這“一個圖形”就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成兩個圖形，那么這“兩個圖形”中心對稱 知能解讀（七）中心對稱的性質(zhì) （1）中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分； （2）中心對稱的兩個圖形是全等圖形. 知能解讀（八）作中心對稱圖形的一般步驟 （1）作出已知圖形各頂點（或決定圖形形狀的關(guān)鍵點）關(guān)于中心的對稱點——連接關(guān)鍵點和中心，并延長一倍確定關(guān)鍵的對稱點. （2）把各對稱點按已知圖形的連接方式依次連接起來，則所得到的圖形就是已知圖形關(guān)于對稱中心對稱的圖形. 知能解讀（九）找對稱中心的方法和步驟 對于中心對稱圖形和關(guān)于某一點對稱的兩個圖形，它們的對稱中心非常重要，找不對稱中心是解決先關(guān)問題的關(guān)鍵.由中心對稱的特征可知，對稱中心為對應(yīng)點連線的中點或兩組相對應(yīng)點連線的交點，因此找對稱中心的步驟如下： 方法1：連接兩個對應(yīng)點，取對應(yīng)點連線的中點，則中點為對稱中心. 方法2：連接兩個對應(yīng)點，在連接兩個對應(yīng)點，兩組對應(yīng)點連線的交點為對稱中心. 方法技巧歸納 方法技巧（一）平移現(xiàn)象的識別方法 識別時應(yīng)把握兩點：一是平移是沿直線進行的；而是平移只改變位置，不敢變形狀和大小 . 點撥 （1）平移是由平移的方向和距離決定的（即平移的兩個要素）. （2）平移不改變圖形的形狀和大小，只改變位置. 方法技巧（二）圖形的平移與坐標 將直角坐標系中的點向右（或向左）平移個單位長度，點的縱坐標不變，橫坐標增加（或減少）個單位.將直角坐標系中的點向上（或向下）平移個單位長度，點的橫坐標不變，縱坐標增加（或減少）個單位. 點撥 圖形向左（或向右）平移，則橫坐標減去（或加上）某一個數(shù)，縱坐標不變；圖形向上（或向下）平移，則縱坐標加上（或減去）某一個數(shù)，橫坐標不變. 方法技巧（三）選擇性質(zhì)的應(yīng)用技巧 一個圖形旋轉(zhuǎn)后得到一個新圖形，只是位置發(fā)生改變，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，利用其性質(zhì)可進行相關(guān)計算. 方法技巧（四）中心對稱圖形的識別 對中心對稱圖形的理解應(yīng)注意以下三點：（1）圍繞某點；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）與本身重合.這是判定一個圖形是不是中心對稱圖形的重要依據(jù). 方法技巧（五）綜合運用軸對稱、平移與宣戰(zhàn)作圖的方法 首先要熟練掌握它們各自的作法，然后對照題目中的具體要求一步一步進行操作. 點撥 平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱作圖時，只需把多邊形的各個頂點等關(guān)鍵點的對應(yīng)點作出，再順次連成對變形即可. 易混易錯辨析 易混易錯知識 中心對稱和中心對稱圖形的區(qū)別： （1）中心對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，而中心對稱圖形是指具有某種性質(zhì)的圖形；（2）成中心對稱的兩個圖形的對稱點分別在兩個圖形上，而中心非常圖形的對稱點在一個圖形上；（3）中心對稱圖個的對稱中心一定在這個圖形的內(nèi)部，而成中心對稱的兩個圖形的對稱中心可以在這兩個圖形的外部，也可以在這兩個圖形的內(nèi)部，還可以在它們的公共邊上. 易混易錯（一）對平移的性質(zhì)理解不透而出錯 易混易錯（二）旋轉(zhuǎn)方向不清楚易出現(xiàn)漏解 中考試題研究 中考命題規(guī)律 近幾年來，平移與旋轉(zhuǎn)越來越受重視，因為它與“實際應(yīng)用”聯(lián)系密切，同時又非常簡單的證明方法.新課程標準又強化了對平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱等知識的考場，縱觀近兩年各地中考題，此類內(nèi)容所占比例大大增加. 中考試題（一）軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別 中考試題（二）平移與旋轉(zhuǎn)中的有關(guān)計算 中考試題（三）平移或旋轉(zhuǎn)作圖