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第四章 整式的乘除 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1．冪的有關(guān)運(yùn)算 ★★ 2．整式的乘法 ★ 3．乘法公式(平方差公式、完全平方公式) ★★★ 4．整式的除法 ★ 3～9分 5．因式分解 ★★★ 6．整式的混合運(yùn)算 ★★ 知能圖譜  同底數(shù)冪的乘法 字母表示：(，都是正整數(shù)) 冪的乘方 字母表示：(，都是正整數(shù)) 冪的運(yùn)算 積的乘方 字母表示：(是正整數(shù)) 同底數(shù)冪的除法 字母表示：(，，都是 正整數(shù)，并且) 零指數(shù)冪 字母表示： 負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 字母表示：(，為正整數(shù)) 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相系，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪別相乘，對(duì)于 整式的乘法 只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為的一個(gè)因式 整式的乘除 單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再 把所得的積相加 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的 多項(xiàng)式乘 多項(xiàng)式 每—項(xiàng)，再把所得的積相加 乘法公式 平方差公式： 完全平方公式 聯(lián)系 整式的混合運(yùn)算 整式的除法 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 轉(zhuǎn)化 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 因式分解的意義 因式分解 整式乘法 因式分解的方法 因式分解的步驟 一般步驟：一提、二套、三分組、四徹底 利用因式分解解決相關(guān)問(wèn)題 第7講 冪的運(yùn)算性質(zhì) 知識(shí)能力解讀 知能解讀 (一)同底數(shù)冪的乘法 同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即(，都是正整數(shù))． 注意：(1)在學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法過(guò)程中，不僅要記住結(jié)論?更重要的是掌握結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程． (2)這一運(yùn)算性質(zhì)可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘，如(，，都是正整數(shù))． (3)運(yùn)算性質(zhì)可以逆用，如(，都是正整數(shù))． (4)冪的底數(shù)可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，如，． (5)當(dāng)冪指數(shù)為l時(shí)，不要誤以為指數(shù)為0，如，而不是． (二)冪的乘方 冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即(，都是正整數(shù))． 注意：(1)不要把冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆．冪的乘方運(yùn)算，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算(底數(shù)不變)；同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算(底數(shù)不變)． (2)根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可推出結(jié)論： (3)此性質(zhì)可以逆用：，如． (三)積的乘方 積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即(是正整數(shù))． 注意：(1)同理，三個(gè)或三個(gè)以上的因數(shù)(或因式)的積的乘方，也具備這一性質(zhì)，如(為正整數(shù))． (2)此性質(zhì)可以逆用：，如． (3)積的乘方公式中，，可以表示數(shù)，也可以表示含有字母的代數(shù)式． (四)同底數(shù)冪的除法 同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即(，，都是正整數(shù)，并月)． 注意：(1)當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì)，如(，，，都是正整數(shù)，且)． (2)底數(shù)不能為0，若為0，則除數(shù)為0，除法就沒(méi)有意義了． (3)注意指數(shù)為“1”的情況，如，不能把的指數(shù)當(dāng)成“0”． (4)該法則可以逆用，即(，，都是正整數(shù)，且)． (五)零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 (1)零指數(shù)冪的意義：任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，即． (2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義：任何不等于零的數(shù)的(為正整數(shù))次冪，等于這個(gè)數(shù)的次冪的倒數(shù)，即( ，為正整數(shù))． 在中，當(dāng)時(shí)，規(guī)定． 當(dāng)時(shí)，規(guī)定，如． (3)零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的注意事項(xiàng)： ①在中，底數(shù)不等于零，否則無(wú)意義．底數(shù) 可以是不等于0的數(shù)或式子． ②學(xué)習(xí)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到了整數(shù)指數(shù)冪． 如：；；；等． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)同底數(shù)冪的乘法、除法運(yùn)算解題技巧 同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，無(wú)論是乘法法則，還是除法法則，只適用于同底數(shù)冪的乘除，當(dāng)?shù)讛?shù)不同時(shí)要看能否化為同底，若不能化為同底，則不能用上述法則． (二)冪的乘方、積的乘方運(yùn)算解題技巧 運(yùn)用冪的乘方時(shí)，一定要注意底數(shù)的符號(hào)；在進(jìn)行積的乘方運(yùn)算時(shí)，應(yīng)把底數(shù)的各因式分別乘方，不要忽略任何一項(xiàng)．冪的乘方和積的乘方法則均可逆用． (三)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的解題技巧 (四)利用冪的運(yùn)算性質(zhì)比較數(shù)的大小的解題技巧(拓展) 當(dāng)所給冪的指數(shù)、底數(shù)均不相同，且指數(shù)較大時(shí)，可利用冪的乘方性質(zhì)化為同指數(shù)冪，根據(jù)底數(shù)大小關(guān)系確定原來(lái)三個(gè)冪的大小關(guān)系． 比較幾個(gè)冪的大小時(shí)，可以將它們逆用冪的乘方法則，化成同底數(shù)或同指數(shù)的冪再比較大?。? 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1．同底數(shù)冪的乘法法則與合并同類項(xiàng)法則容易混淆． 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，如；而合并同類項(xiàng)的法則是只把系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)都不變，如．此處易犯的錯(cuò)誤．故解題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，看清題目是什么運(yùn)算，然后準(zhǔn)確選用法則． 2．冪的乘方法則與同底數(shù)冪的乘法法則容易混淆． 冪的乘方運(yùn)算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算(底數(shù)不變)，同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算(底數(shù)不變)．在運(yùn)算時(shí)，特別注意二者的區(qū)別，如的運(yùn)算順序?yàn)橄瘸朔?，再乘法，不要出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤． 易混易錯(cuò) (一)在運(yùn)用積的乘方法則時(shí)，沒(méi)有把每個(gè)因式分別乘方，忽略某些因式的乘方，或符號(hào)山錯(cuò) (二)對(duì)同底數(shù)冪的除法法則理解不透導(dǎo)致出錯(cuò) (三)忽略零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪底數(shù)不為0的條件 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的考點(diǎn)主要有同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方和冪的乘方運(yùn)算以及零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，題型以選擇題、填空題為主，也有簡(jiǎn)單的解答題． 中考試題 (一)同底數(shù)冪的乘法 (二)冪的乘方和積的乘方 (三)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 (四)冪的綜合運(yùn)算 第8講 整式的乘法 知識(shí)能力解讀 知能解讀 (一)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式． 如：． 注意：(1)對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘，法則仍然適用． (2)由法則可知，在用法則解題時(shí)，可按三步進(jìn)行：①系數(shù)相乘——確定積的系數(shù)，相乘時(shí)注意符號(hào)；②相同字母的冪相乘——底數(shù)不變，指數(shù)相加；③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母——連同字母的指數(shù)寫(xiě)在積中，不要漏掉這個(gè)因式． 記憶口訣：系數(shù)乘系數(shù)，字母乘字母． (二)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即． 注意：(1)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用分配律將其轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式． (2)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，結(jié)果仍是多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同． (3)計(jì)算時(shí)注意符號(hào)，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，根據(jù)這一特點(diǎn)確定乘積中每一項(xiàng)的符號(hào)． (4)運(yùn)算結(jié)果中有同類項(xiàng)時(shí)要合并同類項(xiàng)，從而得到最簡(jiǎn)結(jié)果． (三)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加． 即． (1)要用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，不要漏乘項(xiàng)． (2)注意多項(xiàng)式中的符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，計(jì)算時(shí)要細(xì)心． (四)乘法公式 1．平方差公式 (1)公式：． (2)意義：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．這個(gè)公式叫作平方差公式． 記憶口訣：和乘差，平方差． (3)特征： ①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)； ②右邊是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)的平方差(相同項(xiàng)的平方減相反項(xiàng)的平方)； ③公式中的和可以是具體的數(shù)，也可以是含有字母的代數(shù)式． (4)公式的幾何背景：如圖所示，最上層的矩形的面積為，它等于大正方形的面積與小正方形的面積的差，即． 2．完全平方公式 (1)公式：；． (2)意義：兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)它們的積的2倍． (3)特征： ①左邊是—個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍．可簡(jiǎn)記為“首平方，尾平方，積的2倍在中央”． ②公式中的，可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式． (4)公式的幾何背景：如圖所示，用圖形面積表示圖①的幾何意義為，表示圖②的幾何意義為． (五)特殊乘法公式(拓展) (，是常數(shù))．(利用多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則可從左邊得到右邊) 公式特征： (1)相乘的兩個(gè)因式都只含有一個(gè)相同的字母．都是一次二項(xiàng)式，并且一次項(xiàng)的系數(shù)為1． (2)乘積是二次三項(xiàng)式，二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是兩常數(shù)項(xiàng)之和，常數(shù)項(xiàng)等于兩個(gè)因式中的常數(shù)項(xiàng)之積． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的解題方法 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的順序是：(1)系數(shù)相乘；(2)同底數(shù)的冪相乘；(3)只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)一起寫(xiě)在積中．故正確進(jìn)行冪的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵；要先確定符號(hào)，再計(jì)算． (二)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的解題方法 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律，計(jì)算時(shí)注意運(yùn)算順序，不要漏項(xiàng)． (三)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的解題方法 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，其主要方法是分項(xiàng)輪乘，依次轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，不要漏乘項(xiàng)． (四)整式乘法的綜合創(chuàng)新題 整式乘法的綜合創(chuàng)新題主要考查整式乘法法則的運(yùn)用能力，一般是由特殊情況推測(cè)一般規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新能力． (五)利用乘法公式計(jì)算的解題技巧 乘法公式是一種特殊形式的乘法法則，它通過(guò)多項(xiàng)式的乘法法則，把特殊多項(xiàng)式的運(yùn)算結(jié)果寫(xiě)成公式形式并加以應(yīng)用．運(yùn)用公式計(jì)算可使多項(xiàng)式相乘變得方便簡(jiǎn)捷，但運(yùn)用時(shí)要掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，只要符合公式結(jié)構(gòu)特征就可以運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算，否則不能用．公式中的字母可以是具體數(shù)，也可以是含有字母的代數(shù)式． 1．直接應(yīng)用公式計(jì)算 2．開(kāi)放探究題 3．乘法公式巧變形 (六)整式的混合運(yùn)算 整式的混合運(yùn)算一般應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)將多項(xiàng)式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的運(yùn)算；(2)確定符號(hào)；(3)確定運(yùn)算順序與運(yùn)算類型；(4)盡量運(yùn)用乘法公式簡(jiǎn)化多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算． 1．混合運(yùn)算 2．化簡(jiǎn)求值 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1．在整式乘法法則的運(yùn)用上易出錯(cuò)． 錯(cuò)誤有：(1)漏乘多項(xiàng)式的某些項(xiàng)；(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤(多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，還要注意單項(xiàng)式的符號(hào))． 2．對(duì)平方差公式理解不透導(dǎo)致出錯(cuò)． (1)分不清哪一項(xiàng)相當(dāng)于公式中的，哪一項(xiàng)相當(dāng)于公式中的，導(dǎo)致誤用． (2)對(duì)不具備平方差公式特征的運(yùn)算誤用了平方差公式．如出現(xiàn)之類的錯(cuò)誤，實(shí)際上本題應(yīng)該用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算：． 3．混淆完全平方公式與平方差公式． 運(yùn)用完全平方公式時(shí)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤有： (1)與平方差公式混淆，誤寫(xiě)成； (2)弄錯(cuò)中間項(xiàng)“積的2倍”的符號(hào)． 易混易錯(cuò) (一)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式時(shí)易漏乘或弄錯(cuò)符號(hào) (二)錯(cuò)用乘法公式 (三)運(yùn)用乘法公式時(shí)易弄錯(cuò)符號(hào) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的考點(diǎn)主要是整式的乘法，它是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是有理數(shù)乘法和冪的運(yùn)算法則的綜合，是代數(shù)式變形、化簡(jiǎn)、求值、因式分解等的重要基礎(chǔ)，題型以填空題、選擇題、計(jì)算題為主，有的為化簡(jiǎn)求值題，多與其他知識(shí)(分式、根式、方程(組)、不等式(組)等)綜合命題，有時(shí)也會(huì)聯(lián)系幾何知識(shí)綜合命題，一般為容易題和中等難度題． 中考試題 (一)考查運(yùn)算法則和完全平方公式的運(yùn)用 (二)考查運(yùn)算法則與平方差公式的運(yùn)用 (三)整式乘法的綜合應(yīng)用 (四)利用整式乘法化簡(jiǎn)求值 第9講 整式的除法 知識(shí)能力解讀 知能解讀 (一)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則 單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式． 注意：對(duì)法則的理解應(yīng)注意三點(diǎn)：(1)兩個(gè)單項(xiàng)式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除即可．(2)只在被除式里含有的字母不要漏掉．如．(3)在單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式中只研究整除的情況，因此，在除式中所出現(xiàn)的一切字母，在被除式中不僅也要出現(xiàn)，而且其指數(shù)要分別都不小于除式中同一字母的指數(shù)．在這個(gè)前提下，單項(xiàng)式相除，可以按系數(shù)、相同字母、被除式單獨(dú)有的字母這幾部分進(jìn)行． (二)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則 一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加． 如：． 注意：(1)這個(gè)法則的適用范圍必須是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，反之，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這樣計(jì)算的．例如：． (2)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)． (3)計(jì)算時(shí)不要漏項(xiàng)． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的解題技巧 單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除，其運(yùn)算順序?yàn)椋菏紫葘⑾禂?shù)相除，然后將同底數(shù)冪相除，最后將被除式中單獨(dú)有的字母連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式，系數(shù)相除時(shí)要注意先確定商的符號(hào)． (二)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的解題技巧 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，除掌握法則外，還應(yīng)注意：(1)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式所得商的項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，在計(jì)算時(shí)不要漏項(xiàng)；(2)計(jì)算時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)要包括它前面的符號(hào)，注意符號(hào)的變化． 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤． (1)忽略系數(shù)的符號(hào)；(2)當(dāng)某一字母指數(shù)為1時(shí)容易忽略該指數(shù)． 2．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤． (1)漏項(xiàng)；(2)符號(hào)錯(cuò)誤． 易混易錯(cuò) (一)審題、計(jì)算不認(rèn)真致錯(cuò) (二)除式的系數(shù)忘記變成其倒數(shù) (三)由于對(duì)法則理解不透或粗心致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的考點(diǎn)主要是整式的除法，它是數(shù)學(xué)中的重要基礎(chǔ)知識(shí)．單獨(dú)考查時(shí)，以填空題、選擇題為主，也常與其他知識(shí)綜合考查，題型以解答題為主． 中考試題 整式的綜合運(yùn)算 第10講 因式分解 知識(shí)能力解讀 知能解讀 (一)因式分解的意義 化為 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫作這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，即多項(xiàng)式 幾個(gè)整式的積． 因式分解是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過(guò)程．要求把每個(gè)因式都分解到不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，怎樣才算不能再分解呢?這要看題目的要求，若指出在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，則就符合要求，若指出在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，則才符合要求． 注意：(1)因式分解時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： ①結(jié)果一定是積的形式，分解的對(duì)象是多項(xiàng)式； ②每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于或等于原多項(xiàng)式的次數(shù)； ③分解因式必須分解到不能再分解為止． (2)因式分解與整式乘法是兩種不同的變形過(guò)程，它們是互逆關(guān)系． 如 (二)公因式的定義 多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的公共的因式，叫作這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．如中，各項(xiàng)都含有因式，故叫作這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．公因式可以是一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母，也可以是含有字母的代數(shù)式，如中，公因式是． 公因式的構(gòu)成如下：(1)系數(shù)——取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)字母——取各項(xiàng)都含有的字母；(3)次數(shù)——取相同字母的最低指數(shù)． (三)因式分解的方法 1．提公因式法 (1)定義：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法．如，這個(gè)變形就是用提公因式法分解因式．這里的可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，稱為公因式． (2)提公因式法的步驟： 第一步：確定公因式； 第二步：提出公因式并確定另一個(gè)因式，提出公因式時(shí)，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個(gè)因式， 注意：提公因式法是因式分解的最基本的方法，因式分解必須首先考慮多項(xiàng)式各項(xiàng)之間是否存在公因式，因此關(guān)鍵是確定公因式，為了準(zhǔn)確迅速地找出公因式，必須做到“五看”． (1)看系數(shù) 公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)． (2)看字母 公因式中的字母應(yīng)是各項(xiàng)中的相同字母． (3)看字母的指數(shù) 公因式中字母的指數(shù)是各項(xiàng)中相同字母的最低指數(shù)． (4)看整體 有時(shí)在多項(xiàng)式中，如果各項(xiàng)都含有相同的“多項(xiàng)式”，就應(yīng)把它作為一個(gè)“整體”提出來(lái)． 尤其要注意，有時(shí)多項(xiàng)式的符號(hào)相反時(shí)，變號(hào)后再提出． (5)看首項(xiàng)符號(hào) 如果多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)提出“－”，或用加法交換律使首項(xiàng)的符號(hào)為正． 2．公式法 如果把乘法公式反過(guò)來(lái)用，就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫作公式法． (1)逆用平方差公式：； (2)逆用完全平方公式：． 注意：(1)公式中的字母，可代表一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式． (2)逆用平方差公式分解因式的特點(diǎn) ①左邊是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都是平方的形式且符號(hào)相反； ②右邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積． (3)逆用完全平方公式分解因式的特點(diǎn) ①左邊是三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是兩個(gè)數(shù)(或式子)的平方，且這兩項(xiàng)的符號(hào)都為正，中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式子)的積的2倍，符號(hào)正負(fù)均可． ②右邊是兩個(gè)數(shù)(或式子)的和(或差)的平方，當(dāng)左邊中間的乘積項(xiàng)與首末兩項(xiàng)的符號(hào)相同時(shí)，是和的平方；當(dāng)左邊中間的乘積項(xiàng)與首未兩項(xiàng)的符號(hào)相反時(shí)，是差的平方． (4)選用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式，應(yīng)考慮逆用平方差或立方和(差)公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮逆用完全平方公式．然后觀察各項(xiàng)系數(shù)、次數(shù)是否符合公式特征運(yùn)用公式的關(guān)鍵是將多項(xiàng)式改寫(xiě)成符合公式的形式． 3．分組分解法(拓展) 分組分解法是把各項(xiàng)適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分解因式在各組之間進(jìn)行．分組時(shí)用到添括號(hào)，添括號(hào)時(shí)要注意各項(xiàng)符號(hào)的變化． 注意：當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)比較多時(shí)，可將多項(xiàng)式進(jìn)行合理分組．分組方法不一定唯一． 4．型式子的因式分解(拓展) 利用把二次三項(xiàng)式分解因式，也叫“十字相乘法”． 注意：(1)十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘的和等于一次項(xiàng)系數(shù)． (2)不是所有的二次三項(xiàng)式都能用“十字相乘法”分解因式． (四)因式分解的—般步驟及注意問(wèn)題 因式分解的步驟概括為“一提”“二套”“三分組”“四徹底”．一提：若多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提公因式．二套：多項(xiàng)式各項(xiàng)沒(méi)有公因式時(shí)，如果是二項(xiàng)式就考慮能否逆用平方差公式或立方和(差)公式，如果是三項(xiàng)式就考慮能否逆用完全平方公式或二次三項(xiàng)式的因式分解．三分組：若是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法．四徹底：分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止．因式分解的結(jié)果，必須是幾個(gè)整式的積．例如，雖然這里的右邊是乘積的形式，但不是整式，所以不是因式分解． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)因式分解與整式乘法的識(shí)別 判斷一個(gè)變形是不是因式分解，主要看這個(gè)變形是否符合因式分解的意義，故只有當(dāng)左邊是“和、差”的形式，而右邊是積的形式的時(shí)候才可以判斷自左向右的變形可能是因式分解．當(dāng)然，變形前后，等號(hào)兩邊的式子必須都是整式且相等． (二)提公因式法分解因式的規(guī)律 提公因式法是因式分解最基本、最常用的方法，其實(shí)質(zhì)是逆用了分配律．運(yùn)用這個(gè)方法，關(guān)鍵是確定公因式，然后提公因式并確定另一個(gè)因式． (三)公式法分解因式的規(guī)律 運(yùn)用公式法的關(guān)鍵是熟悉各公式的形式的特點(diǎn)． (四)因式分解中的特殊方法 因式分解除了提公因式法和公式法之外，分組分解法、十字相乘法等盡管不作要求，但應(yīng)用很方便． 1．分組分解法 2．型式子的因式分解(十字相乘法) (五)利用因式分解化簡(jiǎn)求值 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1．因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別， (1)因式分解和整式乘法是互逆變形，多項(xiàng)式的因式分解是把和差的形式化為積的形式，而整式乘法是把積的形式化為和差的形式，都是恒等變形，但它們是互逆的兩個(gè)過(guò)程，如是因式分解，而反過(guò)來(lái)，是整式乘法． (2)鑒于因式分解與整式乘法是互逆變形，因此可用將因式分解的結(jié)果還原成一個(gè)多項(xiàng)式的方法檢驗(yàn)因式分解是否正確，同時(shí)，這也是一種逆向思維的訓(xùn)練．若混淆了因式分解與整式乘法，易犯“循環(huán)分解”的錯(cuò)誤，例如分解因式，誤寫(xiě)成原式． 2．因式分解不徹底． 因式分解的最終結(jié)果必須分解到每個(gè)因式不能再分解為止． 易混易錯(cuò) (一)因式分解結(jié)果不徹底 (二)錯(cuò)在漏項(xiàng) (三)因式分解走回頭路 (四)運(yùn)用公式出錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的考點(diǎn)主要是因式分解，它是一種重要的恒等變形，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)分式運(yùn)算、解方程、函數(shù)變形及其他數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，它與代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、整式的乘法及今后學(xué)習(xí)的分式、一元二次方程等許多內(nèi)容密切相關(guān)，故中考試題都以直接或間接的方式進(jìn)行考查，常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，綜合題以解答題為主． 中考試題 (一)公因式的確定 (二)分解因式 (三)利用因式分解求值 (四)因式分解的綜合創(chuàng)新 (五)實(shí)際問(wèn)題中的因式分解