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2016-2017學(xué)年山東省泰安市新泰市青云中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1．如圖，在矩形、銳角三角形、正五邊形、直角三角形的外邊加一個寬度一樣的外框，保證外框的邊與原圖形的對應(yīng)邊平行，則外框與原圖一定相似的有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，如果a2+b2=c2，那么下列結(jié)論正確的是（　?。? A．bcosB=c B．csinA=a C．a(chǎn)tanA=b D． 3．利用反證法證明“直角三角形至少有一個銳角不小于45”，應(yīng)先假設(shè)（　　） A．直角三角形的每個銳角都小于45 B．直角三角形有一個銳角大于45 C．直角三角形的每個銳角都大于45 D．直角三角形有一個銳角小于45 4．若關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一個根為1，則另一個根為（　?。? A．2 B．﹣1 C． D． 5．如圖，?ABCD中，E是AD延長線上一點，BE交AC于點F，交DC于點G，則下列結(jié)論中錯誤的是（　　） A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF 6．用配方法解一元二次方程2x2﹣x﹣l=0時，配方正確的是（　?。? A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2= D．（x+）2= 7．⊙O過點B，C，圓心O在等腰直角△ABC內(nèi)部，∠BAC=90，OA=1，BC=6，則⊙O的半徑為（　?。? A． B．2 C． D．3 8．如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連．若AB=10米，則旗桿BC的高度為（　　） A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米 9．如圖，⊙O△ABC的三條邊所得的弦長相等，則下列說法正確的是（　?。? A．點O是△ABC的內(nèi)心 B．點O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形 10．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有兩個相等的實數(shù)根，則銳角α等于（　?。? A．15 B．30 C．45 D．60 11．如圖，四邊形BDCE內(nèi)接于以BC為直徑的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30，則線段DE的長是（　?。? A． B．7 C．4+3 D．3+4 12．如圖，△ABC中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標(biāo)是（1，0），以點C位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點B的橫坐標(biāo)是a，則點B的對應(yīng)點B′的橫坐標(biāo)是（　?。? A．﹣2a B．2a﹣2 C．3﹣2a D．2a﹣3 13．如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，OP交⊙O于點C，連接BC．若∠P=20，則∠B的度數(shù)是（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=8，BC=4，分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為（　　） A．10π﹣8 B．10π﹣16 C．10π D．5π 15．我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：y=kx+4與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB=30，點P在x軸上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA上運動時，使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 16．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于G，E為AD的中點，連接BE交AC于F，連接FD，若∠BFA=90，則下列四對三角形：①△BEA與△ACD；②△FED與△DEB；③△CFD與△ABG；④△ADF與△EFD，其中相似的為（　　） A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③④ 17．股票每天的漲、跌幅均不能超過10%，即當(dāng)漲了原價的10%后，便不能再漲，叫做漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后兩天時間又漲回到原價．若這兩天此股票股價的平均增長率為x，則x滿足的方程是（　　） A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x= 18．將一副三角板如下圖擺放在一起，連接AD，則∠ADB的正切值為（　　） A． B． C． D． 19．彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如圖所示的方式放置．點A1，A2，A3，…，和點C1，C2，C3，…，分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸上，已知點B1、B2的坐標(biāo)分別為（1，2），（3，4），則Bn的坐標(biāo)是（　　） A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n） C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1） 20．圖1是用鋼絲制作的一個幾何探究工具，其中△ABC內(nèi)接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB=6，AC=2．現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖2），然后點A在射線OX上由點O開始向右滑動，點B在射線OY上也隨之向點O滑動（如圖3），當(dāng)點B滑動至與點O重合時運動結(jié)束． 在整個運動過程中，點C運動的路程是（　?。? A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4 　 二、填空題 21．sin260+cos260﹣tan45=　?。? 22．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣1的解是　?。? 23．如圖所示，小華從一個圓形場地的A點出發(fā)，沿著與半徑OA夾角為α的方向行走，走到場地邊緣B后，再沿著與半徑OB夾角為α的方向折向行走．按照這種方式，小華第五次走到場地邊緣時處于弧AB上，此時∠AOE=56，則α的度數(shù)是　?。? 24．設(shè)△ABC的面積為1，如圖①，將邊BC、AC分別2等分，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等分，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S2；…，依此類推，則Sn可表示為　?。ㄓ煤琻的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)） 　 三、解答題（25題8分，26-29每小題8分，共48分） 25．如圖，已知：AP2=AQ?AB，且∠ABP=∠C，試說明△QPB∽△PBC． 26． 2015年4月25日14時11分，尼泊爾發(fā)生8.1級地震，震源深度20千米．中國救援隊火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測出某建筑物廢墟下方點C處有生命跡象．在廢墟一側(cè)某面上選兩探測點A、B，AB相距2米，探測線與該面的夾角分別是30和45（如圖）．試確定生命所在點C與探測面的距離．（參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73） 27．為滿足市場需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購進價格為3元/個的某品牌粽子，根據(jù)市場預(yù)測，該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定，該品牌粽子售價不能超過進價的200%，請你利用所學(xué)知識幫助超市給該品牌粽子定價，使超市每天的銷售利潤為800元． 28．如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E． （1）求證：直線EF是⊙O的切線； （2）求cos∠E的值． 29．在Rt△ABC中，∠BAC=90，過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AD交MN于點E，連接AE． （1）如圖①，當(dāng)∠ABC=45時，求證：AD=DE； （2）如圖②，當(dāng)∠ABC=30時，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由； （3）當(dāng)∠ABC=α?xí)r，請直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系．（用含α的三角函數(shù)表示） 　  2016-2017學(xué)年山東省泰安市新泰市青云中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．如圖，在矩形、銳角三角形、正五邊形、直角三角形的外邊加一個寬度一樣的外框，保證外框的邊與原圖形的對應(yīng)邊平行，則外框與原圖一定相似的有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】相似圖形． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)相似多邊形的判定定理對各個選項進行分析，從而確定最后答案． 【解答】解：矩形不相似，因為其對應(yīng)角的度數(shù)一定相同，但對應(yīng)邊的比值不一定相等，不符合相似的條件； 銳角三角形、直角三角形的原圖與外框相似，因為其三個角均相等，三條邊均對應(yīng)成比例，符合相似的條件； 正五邊形相似，因為它們的邊長都對應(yīng)成比例、對應(yīng)角都相等，符合相似的條件． 故選C． 【點評】邊數(shù)相同、各角對應(yīng)相等、各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形是相似多邊形． 　 2．△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，如果a2+b2=c2，那么下列結(jié)論正確的是（　?。? A．bcosB=c B．csinA=a C．a(chǎn)tanA=b D． 【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理． 【分析】由于a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到正確選項． 【解答】解：∵a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90， ∴sinA=， 即csinA=a， ∴B選項正確． 故選B． 【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的逆定理． 　 3．利用反證法證明“直角三角形至少有一個銳角不小于45”，應(yīng)先假設(shè)（　?。? A．直角三角形的每個銳角都小于45 B．直角三角形有一個銳角大于45 C．直角三角形的每個銳角都大于45 D．直角三角形有一個銳角小于45 【考點】反證法． 【分析】熟記反證法的步驟，從命題的反面出發(fā)假設(shè)出結(jié)論，直接得出答案即可． 【解答】解：用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不小于45”時，應(yīng)先假設(shè)直角三角形的每個銳角都小于45． 故選：A． 【點評】此題主要考查了反證法的步驟，熟記反證法的步驟：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立． 　 4．若關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一個根為1，則另一個根為（　?。? A．2 B．﹣1 C． D． 【考點】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的解． 【分析】首先把x=1代入方程，即可求得k的值，代入k的值，解方程即可求得． 【解答】解：根據(jù)題意得：21﹣31﹣k=0 ∴k=﹣1 ∴方程為：2x2﹣3x+1=0 解得：x1=1，x2=． 故選C． 【點評】此題考查了方程解的定義．還應(yīng)注意根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解題時會更簡單． 　 5．（易錯題）如圖，?ABCD中，E是AD延長線上一點，BE交AC于點F，交DC于點G，則下列結(jié)論中錯誤的是（　?。? A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF 【考點】相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】本題中可利用平行四邊形ABCD中兩對邊平行的特殊條件來進行求解． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB∥CD ∴∠EDG=∠EAB ∵∠E=∠E ∴△ABE∽△DGE（第一個正確） ∵AE∥BC ∴∠EDC=∠BCG，∠E=∠CBG ∴△CGB∽△DGE（第二個正確） ∵AE∥BC ∴∠E=∠FBC，∠EAF=∠BCF ∴△BCF∽△EAF（第三個正確） 第四個無法證得，故選D 【點評】考查相似三角形的判定定理： （1）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似； （2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似； （3）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似； （4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似． 　 6．用配方法解一元二次方程2x2﹣x﹣l=0時，配方正確的是（　?。? A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2= D．（x+）2= 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】在本題中，化二次項系數(shù)為1后，把常數(shù)項﹣移項，應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣的一半的平方． 【解答】解：由原方程，得 x2﹣x=， x2﹣x+=+， （x﹣）2=， 故選：A． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步驟： （1）把常數(shù)項移到等號的右邊； （2）把二次項的系數(shù)化為1； （3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方． 選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)． 　 7．⊙O過點B，C，圓心O在等腰直角△ABC內(nèi)部，∠BAC=90，OA=1，BC=6，則⊙O的半徑為（　　） A． B．2 C． D．3 【考點】垂徑定理；勾股定理；等腰直角三角形． 【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：若過A作BC的垂線，設(shè)垂足為D，則AD必垂直平分BC；由垂徑定理可知，AD必過圓心O；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，易求出BD、AD的長，進而可求出OD的值；連接OB根據(jù)勾股定理即可求出⊙O的半徑． 【解答】解：過A作AD⊥BC，由題意可知AD必過點O，連接OB； ∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC， ∴BD=CD=AD=3； ∴OD=AD﹣OA=2； Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理，得： OB==． 故選C． 【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 　 8．如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連．若AB=10米，則旗桿BC的高度為（　?。? A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米 【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題． 【分析】設(shè)CD=x，則AD=2x，根據(jù)勾股定理求出AC的長，從而求出CD、AC的長，然后根據(jù)勾股定理求出BD的長，即可求出BC的長． 【解答】解：設(shè)CD=x，則AD=2x， 由勾股定理可得，AC==x， ∵AC=3米， ∴x=3， ∴x=3米， ∴CD=3米， ∴AD=23=6米， 在Rt△ABD中，BD==8米， ∴BC=8﹣3=5米． 故選A． 【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣坡度坡角問題，找到合適的直角三角形，熟練運用勾股定理是解題的關(guān)鍵． 　 9．如圖，⊙O△ABC的三條邊所得的弦長相等，則下列說法正確的是（　?。? A．點O是△ABC的內(nèi)心 B．點O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形 【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心． 【分析】過O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF，根據(jù)垂徑定理和已知求出DM=KQ=FN，根據(jù)勾股定理求出OM=ON=OQ，根據(jù)三角形內(nèi)心的定義求出即可． 【解答】解： 過O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF， 由垂徑定理得：DM=DE，KQ=KH，F(xiàn)N=FG， ∵DE=FG=HK， ∴DM=KQ=FN， ∵OD=OK=OF， ∴由勾股定理得：OM=ON=OQ， 即O到三角形ABC三邊的距離相等， ∴O是△ABC的內(nèi)心， 故選A． 【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的內(nèi)心的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等． 　 10．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有兩個相等的實數(shù)根，則銳角α等于（　?。? A．15 B．30 C．45 D．60 【考點】根的判別式；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】由方程有兩個相等的實數(shù)根，結(jié)合根的判別式可得出sinα=，再由α為銳角，即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有兩個相等的實數(shù)根， ∴△=﹣4sinα=2﹣4sinα=0， 解得：sinα=， ∵α為銳角， ∴α=30． 故選B． 【點評】本題考查了根的判別式以及特殊角的三角形函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是求出sinα=．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根的個數(shù)結(jié)合根的判別式得出方程（不等式或不等式組）是關(guān)鍵． 　 11．如圖，四邊形BDCE內(nèi)接于以BC為直徑的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30，則線段DE的長是（　?。? A． B．7 C．4+3 D．3+4 【考點】解直角三角形；圓周角定理． 【分析】在Rt△CDB和Rt△CBE中，通過解直角三角形易求得BD、BE的長． 過B作BF⊥DE于F，由圓周角定理知∠BCE=∠BDE，∠BED=∠BCD． 根據(jù)這些角的三角函數(shù)值以及BD、BE的長，即可求得DF、EF的值，從而得到DE的長． 【解答】解：過B作BF⊥DE于F． 在Rt△CBD中，BC=10，cos∠BCD=， ∴BD=8． 在Rt△BCE中，BC=10，∠BCE=30， ∴BE=5． 在Rt△BDF中，∠BDF=∠BCE=30，BD=8， ∴DF=BD?cos30=4． 在Rt△BEF中，∠BEF=∠BCD，即cos∠BEF=cos∠BCD=，BE=5， ∴EF=BE?cos∠BEF=3． ∴DE=DF+EF=3+4， 故選D． 【點評】此題主要考查的是圓周角定理和解直角三角形的綜合應(yīng)用，難度適中． 　 12．如圖，△ABC中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標(biāo)是（1，0），以點C位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點B的橫坐標(biāo)是a，則點B的對應(yīng)點B′的橫坐標(biāo)是（　?。? A．﹣2a B．2a﹣2 C．3﹣2a D．2a﹣3 【考點】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】設(shè)點B′的橫坐標(biāo)為x，然后表示出BC、B′C的橫坐標(biāo)的距離，再根據(jù)位似比列式計算即可得解． 【解答】解：設(shè)點B′的橫坐標(biāo)為x， 則B、C間的橫坐標(biāo)的長度為a﹣1，B′、C間的橫坐標(biāo)的長度為﹣x+1， ∵△ABC放大到原來的2倍得到△A′B′C， ∴2（a﹣1）=﹣x+1， 解得：x=﹣2a+3， 故選：C． 【點評】本題考查了位似變換，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似比的定義，利用兩點間的橫坐標(biāo)的距離等于對應(yīng)邊的比列出方程是解題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，OP交⊙O于點C，連接BC．若∠P=20，則∠B的度數(shù)是（　?。? A．20 B．25 C．30 D．35 【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】根據(jù)切線性質(zhì)得AB⊥AP，再根據(jù)圓周角定理即可求出． 【解答】解：連接AC， 根據(jù)切線的性質(zhì)定理得AB⊥AP， ∴∠AOP=70， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=55； ∵AB是直徑， ∴∠ACB=90， ∴∠B=35． 故選D． 【點評】熟練運用切線的性質(zhì)定理和圓周角定理的推論． 　 14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=8，BC=4，分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為（　?。? A．10π﹣8 B．10π﹣16 C．10π D．5π 【考點】扇形面積的計算． 【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：陰影部分的面積=兩個半圓的面積﹣直角三角形的面積． 【解答】解：設(shè)各個部分的面積為：S1、S2、S3、S4、S5， 如圖所示： ∵兩個半圓的面積和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面積是S3+S4+S5，陰影部分的面積是：S1+S2+S4， ∴圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積減去三角形的面積． 即陰影部分的面積=π16+π4﹣84=10π﹣16． 故選：B． 【點評】本題考查了扇形面積的計算，解題的關(guān)鍵是看出圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積﹣三角形的面積． 　 15．我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：y=kx+4與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB=30，點P在x軸上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA上運動時，使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 【考點】切線的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)直線的解析式求得OB=4，進而求得OA=12，根據(jù)切線的性質(zhì)求得PM⊥AB，根據(jù)∠OAB=30，求得PM=PA，然后根據(jù)“整圓”的定義，即可求得使得⊙P成為整圓的點P的坐標(biāo)，從而求得點P個數(shù)． 【解答】解：∵直線l：y=kx+4與x軸、y軸分別交于A、B， ∴B（0，4）， ∴OB=4， 在RT△AOB中，∠OAB=30， ∴OA=OB==12， ∵⊙P與l相切，設(shè)切點為M，連接PM，則PM⊥AB， ∴PM=PA， 設(shè)P（x，0）， ∴PA=12﹣x， ∴⊙P的半徑PM=PA=6﹣x， ∵x為整數(shù)，PM為整數(shù)， ∴x可以取0，2，4，6，8，10，6個數(shù)， ∴使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是6． 故選：A． 【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，含30角的直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 　 16．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于G，E為AD的中點，連接BE交AC于F，連接FD，若∠BFA=90，則下列四對三角形：①△BEA與△ACD；②△FED與△DEB；③△CFD與△ABG；④△ADF與△EFD，其中相似的為（　?。? A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③④ 【考點】相似三角形的判定． 【分析】根據(jù)判定三角形相似的條件對選項逐一進行判斷． 【解答】解：①根據(jù)題意得：∠BAE=∠ADC=∠AFE=90 ∴∠AEF+∠EAF=90，∠DAC+∠ACD=90 ∴∠AEF=∠ACD ∴①中兩三角形相似； ②∵∠AEB=∠FEA，∠AFE=∠EAB=90， ∴△AFE∽△BAE， ∴=， 又∵AE=ED， ∴= 而∠BED=∠BED， ∴△FED∽△DEB． 故②正確； ③∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠GCD， ∵∠ABE=∠DAF，∠EBD=∠EDF，且∠ABG=∠ABE+∠EBD， ∴∠ABG=∠DAF+∠EDF=∠DFC； ∵∠ABG=∠DFC，∠BAG=∠DCF， ∴△CFD∽△ABG，故③正確； ④∵△FED∽△DEB， ∴∠EFD=∠EDB， ∵AG=DG， ∴∠DAF=∠ADG， ∴∠DAF=∠EFD， ∴△ADF∽△EFD； 所以相似的有①②③④． 故選：D． 【點評】此題考查了相似三角形的判定： ①有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似； ②有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似； ③三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似． 　 17．股票每天的漲、跌幅均不能超過10%，即當(dāng)漲了原價的10%后，便不能再漲，叫做漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后兩天時間又漲回到原價．若這兩天此股票股價的平均增長率為x，則x滿足的方程是（　?。? A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x= 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【專題】增長率問題． 【分析】股票一次跌停就跌到原來價格的90%，再從90%的基礎(chǔ)上漲到原來的價格，且漲幅只能≤10%，所以至少要經(jīng)過兩天的上漲才可以．設(shè)平均每天漲x，每天相對于前一天就上漲到1+x． 【解答】解：設(shè)平均每天漲x． 則90%（1+x）2=1， 即（1+x）2=， 故選B． 【點評】此題考查增長率的定義及由實際問題抽象出一元二次方程的知識，這道題的關(guān)鍵在于理解：價格上漲x%后是原來價格的（1+x）倍． 　 18．將一副三角板如下圖擺放在一起，連接AD，則∠ADB的正切值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】解直角三角形． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】過點A構(gòu)造∠ADB所在的直角三角形，設(shè)AE為1，得到DE的值，相除即可． 【解答】解：作AE⊥BD，交DB的延長線于點E． 由題意可得：∠ABE=∠CBD=45， 設(shè)AE=1，則AB= ∴BC=， ∵Rt△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=， ∴DE=1+， ∴tan∠ADB=1（+1）=． 故選D． 【點評】考查解直角三角形的知識；構(gòu)造出所求角所在的直角三角形是解決本題的難點． 　 19．彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如圖所示的方式放置．點A1，A2，A3，…，和點C1，C2，C3，…，分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸上，已知點B1、B2的坐標(biāo)分別為（1，2），（3，4），則Bn的坐標(biāo)是（　?。? A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n） C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1） 【考點】相似多邊形的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征． 【專題】規(guī)律型． 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點A1、A2的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出k、b，從而得到一次函數(shù)解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出A3的坐標(biāo)，然后求出B3的坐標(biāo)，…，最后根據(jù)點的坐標(biāo)特征的變化規(guī)律寫出Bn的坐標(biāo)即可． 【解答】解：∵B1（1，2）， ∴相似矩形的長是寬的2倍， ∵點B1、B2的坐標(biāo)分別為（1，2），（3，4）， ∴A1（0，2），A2（1，4）， ∵點A1，A2在直線y=kx+b上， ∴， 解得， ∴y=2x+2， ∵點A3在直線y=2x+2上， ∴y=23+2=8， ∴點A3的坐標(biāo)為（3，8）， ∴點B3的橫坐標(biāo)為3+8=7， ∴點B3（7，8）， …， Bn的坐標(biāo)為（2n﹣1，2n）． 故選A． 【點評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)點A的系列坐標(biāo)判斷出相應(yīng)矩形的長，再求出寬，然后得到點B的系列坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 　 20．圖1是用鋼絲制作的一個幾何探究工具，其中△ABC內(nèi)接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB=6，AC=2．現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖2），然后點A在射線OX上由點O開始向右滑動，點B在射線OY上也隨之向點O滑動（如圖3），當(dāng)點B滑動至與點O重合時運動結(jié)束． 在整個運動過程中，點C運動的路程是（　?。? A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4 【考點】三角形的外接圓與外心；勾股定理；圓周角定理；弧長的計算． 【專題】壓軸題；動點型． 【分析】由于在運動過程中，原點O始終在⊙G上，則弧AC的長保持不變，弧AC所對應(yīng)的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，故點C在與x軸夾角為∠ABC的射線上運動．頂點C的運動軌跡應(yīng)是一條線段，且點C移動到圖中C2位置最遠(yuǎn)，然后又慢慢移動到C3結(jié)束，點C經(jīng)過的路程應(yīng)是線段C1C2+C2C3． 【解答】解：如圖3，連接OG． ∵∠AOB是直角，G為AB中點， ∴GO=AB=半徑， ∴原點O始終在⊙G上． ∵∠ACB=90，AB=6，AC=2，∴BC=4． 連接OC．則∠AOC=∠ABC，∴tan∠AOC==， ∴點C在與x軸夾角為∠AOC的射線上運動． 如圖4，C1C2=OC2﹣OC1=6﹣2=4； 如圖5，C2C3=OC2﹣OC3=6﹣4； ∴總路徑為：C1C2+C2C3=4+6﹣4=10﹣4． 故選：D． 【點評】主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解． 　 二、填空題 21．sin260+cos260﹣tan45=　0?。? 【考點】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解． 【解答】解：原式=（）2+（）2﹣1 =0． 故答案為：0． 【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值． 　 22．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣1的解是　x1=1，x2=3?。? 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計算題． 【分析】先移項得到（x﹣1）（x﹣2）﹣（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x﹣1）=0， （x﹣1）（x﹣2﹣1）=0， x﹣1=0或x﹣2﹣1=0， 所以x1=1，x2=3． 故答案為x1=1，x2=3． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 　 23．如圖所示，小華從一個圓形場地的A點出發(fā)，沿著與半徑OA夾角為α的方向行走，走到場地邊緣B后，再沿著與半徑OB夾角為α的方向折向行走．按照這種方式，小華第五次走到場地邊緣時處于弧AB上，此時∠AOE=56，則α的度數(shù)是　52?。? 【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】要求α的度數(shù)，只需求出∠AOB的度數(shù)，根據(jù)已知條件，易證∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度數(shù)． 【解答】解：連接OC、OD， ∵∠BAO=∠CBO=α， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE， ∵∠AOE=56， ∴∠AOB==76， ∴α==52． 故答案為：52． 【點評】本題考查了與圓有關(guān)的性質(zhì)，在圓中，半徑處處相等，由半徑和弦組成的三角形是等腰三角形，證明題目時要注意應(yīng)用． 　 24．設(shè)△ABC的面積為1，如圖①，將邊BC、AC分別2等分，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等分，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S2；…，依此類推，則Sn可表示為　?。ㄓ煤琻的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)） 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】連接D1E1，設(shè)AD1、BE1交于點M，先求出S△ABE1=，再根據(jù)==得出S△ABM：S△ABE1=（n+1）：（2n+1），最后根據(jù)S△ABM： =（n+1）：（2n+1），即可求出Sn． 【解答】解：如圖，連接D1E1，設(shè)AD1、BE1交于點M， ∵AE1：AC=1：（n+1）， ∴S△ABE1：S△ABC=1：（n+1）， ∴S△ABE1=， ∵==， ∴=， ∴S△ABM：S△ABE1=（n+1）：（2n+1）， ∴S△ABM： =（n+1）：（2n+1）， ∴Sn=． 故答案為：． 【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形的面積，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，得出相似三角形． 　 三、解答題（25題8分，26-29每小題8分，共48分） 25．如圖，已知：AP2=AQ?AB，且∠ABP=∠C，試說明△QPB∽△PBC． 【考點】相似三角形的判定． 【專題】證明題． 【分析】首先利用相似三角形的判定得出△APQ∽△ABP，進而得出∠APB=∠AQP，利用兩角相等得出△QPB∽△PBC． 【解答】證明：∵AP2=AQ?AB， ∴=， ∵∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABP， ∴∠APB=∠AQP， 又∵∠ABP=∠C， ∴△QPB∽△PBC． 【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用已知得出△APQ∽△ABP得出∠APB=∠AQP是解題關(guān)鍵． 　 26． 2015年4月25日14時11分，尼泊爾發(fā)生8.1級地震，震源深度20千米．中國救援隊火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測出某建筑物廢墟下方點C處有生命跡象．在廢墟一側(cè)某面上選兩探測點A、B，AB相距2米，探測線與該面的夾角分別是30和45（如圖）．試確定生命所在點C與探測面的距離．（參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73） 【考點】解直角三角形的應(yīng)用． 【分析】首先過C作CD⊥AB，設(shè)CD=x米，則DB=CD=x米，AD=CD=x米，再根據(jù)AB相距2米可得方程x﹣x=2，再解即可． 【解答】解：過C作CD⊥AB， 設(shè)CD=x米， ∵∠ABE=45， ∴∠CBD=45， ∴DB=CD=x米， ∵∠CAD=30， ∴AD=CD=x米， ∵AB相距2米， ∴x﹣x=2， 解得：x=+1≈2.73，． 答：命所在點C與探測面的距離2.73米． 【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確分析出CD、AD、BD的關(guān)系． 　 27．為滿足市場需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購進價格為3元/個的某品牌粽子，根據(jù)市場預(yù)測，該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定，該品牌粽子售價不能超過進價的200%，請你利用所學(xué)知識幫助超市給該品牌粽子定價，使超市每天的銷售利潤為800元． 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】銷售問題． 【分析】設(shè)每個粽子的定價為x元，由于每天的利潤為800元，根據(jù)利潤=（定價﹣進價）銷售量，列出方程求解即可． 【解答】解：設(shè)每個粽子的定價為x元時，每天的利潤為800元． 根據(jù)題意，得（x﹣3）（500﹣10）=800， 解得x1=7，x2=5． ∵售價不能超過進價的200%， ∴x≤3200%．即x≤6． ∴x=5． 答：每個粽子的定價為5元時，每天的利潤為800元． 【點評】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解． 　 28．如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E． （1）求證：直線EF是⊙O的切線； （2）求cos∠E的值． 【考點】切線的判定；勾股定理． 【專題】證明題． 【分析】（1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可； （2）根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得問題轉(zhuǎn)化為求cos∠CBG，進而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題． 【解答】（1）證明：如圖， 方法1：連接OD、CD． ∵BC是直徑， ∴CD⊥AB． ∵AC=BC． ∴D是AB的中點． ∵O為CB的中點， ∴OD∥AC． ∵DF⊥AC， ∴OD⊥EF． ∴EF是O的切線． 方法2：∵AC=BC， ∴∠A=∠ABC， ∵OB=OD， ∴∠DBO=∠BDO， ∵∠A+∠ADF=90 ∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90． 即∠EDO=90， ∴OD⊥ED ∴EF是O的切線． （2）解：連BG． ∵BC是直徑， ∴∠BDC=90． ∴CD==8． ∵AB?CD=2S△ABC=AC?BG， ∴BG===． ∴CG==． ∵BG⊥AC，DF⊥AC， ∴BG∥EF． ∴∠E=∠CBG， ∴cos∠E=cos∠CBG==． 【點評】本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可． 　 29．在Rt△ABC中，∠BAC=90，過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AD交MN于點E，連接AE． （1）如圖①，當(dāng)∠ABC=45時，求證：AD=DE； （2）如圖②，當(dāng)∠ABC=30時，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由； （3）當(dāng)∠ABC=α?xí)r，請直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系．（用含α的三角函數(shù)表示） 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）首先過點D作DF⊥BC，交AB于點F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可； （2）首先過點D作DG⊥BC，交AB于點G，進而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案； （3）首先過點D作DG⊥BC，交AB于點G，進而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案． 【解答】（1）證明：如圖1，過點D作DF⊥BC，交AB于點F， 則∠BDE+∠FDE=90， ∵DE⊥AD， ∴∠FDE+∠ADF=90， ∴∠BDE=∠ADF， ∵∠BAC=90，∠ABC=45， ∴∠C=45， ∵MN∥AC， ∴∠EBD=180﹣∠C=135， ∵∠BFD=45，DF⊥BC， ∴∠BFD=45，BD=DF， ∴∠AFD=135， ∴∠EBD=∠AFD， 在△BDE和△FDA中 ， ∴△BDE≌△FDA（ASA）， ∴AD=DE； （2）解：DE=AD， 理由：如圖2，過點D作DG⊥BC，交AB于點G， 則∠BDE+∠GDE=90， ∵DE⊥AD， ∴∠GDE+∠ADG=90， ∴∠BDE=∠ADG， ∵∠BAC=90，∠ABC=30， ∴∠C=60， ∵MN∥AC， ∴∠EBD=180﹣∠C=120， ∵∠ABC=30，DG⊥BC， ∴∠BGD=60， ∴∠AGD=120， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△BDE∽△GDA， ∴=， 在Rt△BDG中， =tan30=， ∴DE=AD； （3）AD=DE?tanα； 理由：如圖2，∠BDE+∠GDE=90， ∵DE⊥AD， ∴∠GDE+∠ADG=90， ∴∠BDE=∠ADG， ∵∠EBD=90+α，∠AGD=90+α， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△EBD∽△AGD， ∴=， 在Rt△BDG中， =tanα，則=tanα， ∴AD=DE?tanα． 【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△EBD∽△AGD是解題關(guān)鍵．