6、?兩圓__相交__；
有兩組相同的實數(shù)解?兩圓__相切__；
無實數(shù)解?兩圓__相離__或__內(nèi)含__．
5．直線被圓截得的弦長
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(x0，y0)的圓的切線方程是__x0x＋y0y＝r2__．
(2)幾何方法：運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構成直角三角形計算．
(3)代數(shù)方法：運用根與系數(shù)關系及弦長公式|AB|＝|xA－xB|＝.
典例剖析 【p149】
考點1 直線與圓的位置關系
(1)若直線l：y＝kx＋1(k＜0)與圓C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關系是( )
A
7、．相交B．相切
C．相離D．不確定
【解析】因為直線l：y＝kx＋1(k＜0)與圓C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，所以＝，解得k＝±1，因為k<0，所以k＝－1，所以l的直線方程為x＋y－1＝0，圓D的圓心(2，0)到直線的距離d＝＝＜，所以直線l與圓D相交．
【答案】A
(2)已知直線3x－4y＋m＝0與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，其中O為坐標原點，C為圓外一點，若四邊形OACB是平行四邊形，則實數(shù)m的取值范圍是__________．
【解析】如圖所示，四邊形OACB是平行四邊形，且OA＝OB，
∴平行四邊形OACB是菱形；
設OC，AB相交于點E，
∴
8、OC⊥AB，AE＝BE，OE＝CE，
∴圓心O到直線3x－4y＋m＝0的距離為
OE＝＝，
∴OC＝；
又C在圓外，∴1＜＜2，
解得5＜m＜10或－10＜m＜－5，
∴實數(shù)m的取值范圍是(－10，－5)∪(5，10)．
【答案】(－10，－5)∪(5，10)
(3)已知圓心在x軸負半軸上的圓C與y軸和直線x－y－6＝0均相切，直線x＋y－m＝0與圓C相交于M，N兩點，若點P(0，1)滿足PM⊥PN，則實數(shù)m＝________．
【解析】設圓C的圓心是(－a，0)(a>0)，根據(jù)題意可知圓的半徑是a，
根據(jù)題意有圓心到直線的距離等于半徑，得到＝a，解得a＝6，
所以圓C的
9、方程是(x＋6)2＋y2＝36，即x2＋y2＋12x＝0，
與直線x＋y－m＝0聯(lián)立，化簡得2x2＋(12－2m)x＋m2＝0，
Δ＝(12－2m)2－8m2＝－4m2－48m＋144>0，
解得－6－6＜m＜－6＋6，
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以x1＋x2＝m－6，x1x2＝，
因為PM⊥PN，所以·＝0，
即(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝0，
從而有m2＋5m－5＝0，
解得m＝＝，經(jīng)檢驗，兩個值都可以．
【答案】
【點評】判斷直線與圓的位置關系的常見方法
(1)幾何法：利用d與r的關系．
(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
(3)點
10、與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．
上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題．
考點2 弦長問題
已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；
(2)求直線l被圓C截得的最短弦長．
【解析】法一：(1)由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因為Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0，
所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點．
(2)設直線與圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，
則直線l被圓C截得的弦長
11、|AB|＝2
＝2＝2，
令t＝，則tk2－4k＋(t－3)＝0，
當t＝0時，k＝－，當t≠0時，因為k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值為4，此時|AB|最小為2.
法二：(1)直線l過定點E(0，1)，且點E在圓C內(nèi)，故不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點．
(2)易知當l垂直于CE時，弦長最短，
∵kCE＝＝－2，
∴k＝，l：y＝x＋1，
圓心到直線距離d＝.
|AB|＝2＝2＝2.
【點評】處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構成直角三角形．
考點3 圓的切線問題
(1)過
12、點P(2，4)引圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為__________________．
【解析】當直線的斜率不存在時，直線方程為x＝2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；
當直線的斜率存在時，設直線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，即d＝＝＝1，
解得k＝，
∴所求切線方程為x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
綜上，切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0.
【答案】x＝2或4x－3y＋4＝0
(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切
13、線方程．
①與直線l1：x＋y－4＝0平行；
②與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；
③過切點A(4，－1)．
【解析】①設切線方程為x＋y＋b＝0，
則＝，∴b＝1±2，
∴切線方程為x＋y＋1±2＝0；
②設切線方程為2x＋y＋m＝0，
則＝，∴m＝±5，
∴切線方程為2x＋y±5＝0；
③∵kAC＝＝，
∴過切點A(4，－1)的切線斜率為－3，
∴過切點A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
【點評】圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關系解決問題．
考點4 圓與圓的位置關系
(1)若圓C1：x2＋y
14、2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，則ab的最大值為( )
A.B．2C．4D．2
【解析】圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)，
化為(x－a)2＋y2＝9，圓心坐標為(a，0)，半徑為3.
圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化為x2＋(y＋b)2＝1，圓心坐標為(0，－b)，半徑為1，
∵圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，
∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.
∴ab的最大值為2.
【答案】B
15、
(2)求過兩圓x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交點的圓中面積最小的圓的方程．
【解析】由
①－②得2x－y＝0，代入①得x1＝－，x2＝－1，
∴兩圓的兩個交點為，(－1，－2)．
過兩交點的圓中，以，(－1，－2)為端點的線段為直徑的圓，面積最?。?
∴該圓圓心為，
半徑為＝，
圓方程為＋＝.
【點評】圓的公共弦方程是兩個圓的方程化為二次系數(shù)一致時相減而得到的，以公共弦為直徑的圓的方程利用過兩圓交點的圓系方程的圓心坐標適合公共弦方程而確定待定系數(shù)．
方法總結 【p150】
1．處理直線與圓、圓與圓的位置關系常用幾何法，即利用圓心到直線的距離
16、，兩圓心連線的長與半徑和、差的關系判斷求解．
2．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程：
(1)幾何方法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，切線方程即可求出．
(2)代數(shù)方法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓方程，得一個關于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出．
(以上兩種方法只能求斜率存在的切線，斜率不存在的切線，可結合圖形求得)．
3．求直線被圓截得的弦長
(1)幾何方法：運用弦心距、半徑及弦的一半構成的直角三角形，計算弦長|AB|＝2·.
(2)
17、代數(shù)方法：運用韋達定理．
弦長|AB|＝.
4．注意利用圓的幾何性質(zhì)解題．如：圓心在弦的垂直平分線上，切線垂直于過切點的半徑，切割線定理等，在考查圓的相關問題時，常結合這些性質(zhì)一同考查，因此要注意靈活運用圓的性質(zhì)解題．
走進高考 【p150】
1．(2018·天津)已知圓x2＋y2－2x＝0的圓心為C，直線(t為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點，則△ABC的面積為__________．
【解析】直線的普通方程為x＋y－2＝0，圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝1，圓心為C(1，0)，半徑為1，點C到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝，所以S△ABC＝××＝.
【答案】
18、
2．(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線x軸交于C，D兩點，若|AB|＝2，則|CD|＝________．
【解析】法一：直接法
圓x2＋y2＝12的圓心為O，半徑為2.由點到直線的距離公式得＝3，
解得m＝－，從而直線l的斜率k＝－m＝，因此直線l的傾斜角為30°，
據(jù)題意畫出右圖，可知|CD|＝＝4.
法二：幾何法
由題意解得m＝－(同法一)，
從而直線l的方程為－x＋y－2＝0，
聯(lián)立方程
解得xA＝－3，xB＝0.
從而B(0，2)，又直線l的斜率k＝－m＝，直線k＝－m＝與BD與l
19、垂直，
所以直線的方程為y＝－x＋2，
令y＝0，解得xD＝2，
由下圖易知點C與點D關于點O對稱，所以xC＝2，因此
|CD|＝|xD－xC|＝4.
法三：解析法
如下圖，
∵直線l與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，且|AB|＝2，
d＝＝3，
∴＝3，解得m＝－.
直線l即：x－y＋6＝0.
聯(lián)立
解得或
即A(－3，)，B(0，2)，
直線AC的方程為：x＋y＋2＝0，
令y＝0得C(－2，0)，
同理得D(2，0)，∴|CD|＝4.
考點集訓 【p261】
A組題
1．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2＋2x＝0的位置關系是( )
20、A．相離B．相交C．內(nèi)切D．內(nèi)含
【解析】將圓x2＋y2－4＝0和圓x2＋y2＋2x＝0寫成標準方程為：x2＋y2＝4和(x＋1)2＋y2＝1，兩圓心的距離為1，兩半徑分別為1和2，圓心距等于半徑之差，故內(nèi)切，選C.
【答案】C
2．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝( )
A.B．2C．2D．4
【解析】化圓x2＋y2＋2y－3＝0為x2＋(y＋1)2＝4，
可得圓心坐標為(0，－1)，半徑為2，
圓心到直線y＝x＋1的距離d＝＝，
∴|AB|＝2＝2.
【答案】B
3．圓x2＋y2－2x－5＝0和圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交
21、點為A、B，則線段AB的垂直平分線方程為( )
A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝0
【解析】圓x2＋y2－2x－5＝0的圓心為M(1，0)，圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圓心為N(－1，2)，兩圓的相交弦AB的垂直平分線即為直線MN，其方程為＝，即x＋y－1＝0.
【答案】A
4．設圓心在x軸上的圓C與直線l1：x－y＋1＝0相切，且與直線l2：x－y＝0相交于兩點M，N，若|MN|＝，則圓C的半徑為( )
A.B.C．1D.
【解析】圓心在x軸上的圓C與直線l1：x－y＋1＝0相切，
且與直線l2：x－y＝0相交于兩點M，N
22、，
兩條直線平行，平行線之間的距離d＝＝，
設圓C的半徑為r，由|MN|＝，
可得r2＝＋，解得r＝1，
故圓C的半徑為1.
【答案】C
5．已知點A，B，若圓C：＋＝r2(r>0)與以線段AB為直徑的圓相外切，則實數(shù)r的值是__________．
【解析】A，B，則＝＝2，AB中點為：.
以線段AB為直徑的圓的圓心為，半徑為.
圓C與以線段AB為直徑的圓相外切，所以圓心距＝5＝r＋.
所以r＝5－.
【答案】5－
6．過點P(1，)作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則·＝________．
【解析】由題意，圓心為O(0，0)，半徑為1.如圖所示．
23、
∵P(1，)，∴PA⊥x軸，PA＝PB＝.
∴△POA為直角三角形，其中OA＝1，AP＝，則OP＝2，
∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.
∴·＝||||·cos∠APB＝××cos60°＝.
【答案】
7．已知曲線C：x＝－，直線l：x＝6，若對于點A(m，0)，存在C上的點P和l上的點Q使得＋＝0，則m的取值范圍為________．
【解析】曲線C：x＝－，是以原點為圓心，2為半徑的半圓，并且xP∈[－2，0]，對于點A(m，0)，存在C上的點P和l上的點Q使得＋＝0，
說明A是PQ的中點，Q的橫坐標x＝6，
∴m＝∈[2，3]．
【答案】[2，3]
8．已知圓
24、C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點；
(2)求直線被圓截得的弦長最小時l的方程，并求此時的弦長．
【解析】(1)將l的方程整理為(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.
由得∴直線l過定點A(3，1)．
∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，
∴點A在圓C的內(nèi)部，故直線l與圓恒有兩個交點．
(2)圓心為O(1，2)，當截得的弦長最小時，l⊥AO.
由kAO＝－，得l的方程為y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.
此時的弦長為2＝4.
B組題
1．圓：
25、x2＋y2＋2ax＋a2－9＝0和圓：x2＋y2－4by－1＋4b2＝0有三條公切線，若a∈R，b∈R，且ab≠0，則＋的最小值為( )
A．1B．3C．4D．5
【解析】由題意得，因為兩圓有三條公切線，所以兩圓相外切，又圓x2＋y2＋2ax＋a2－9＝0的圓心坐標C1(－a，0)，半徑為R＝3，圓x2＋y2－4by－1＋4b2＝0的圓心坐標C2(0，2b)，半徑為r＝1，所以圓心距為|C1C2|＝＝3＋1?a2＋4b2＝16，所以＋＝×(a2＋4b2)＝≥×＝1，
當且僅當a＝2b時等號成立，所以＋的最小值為1.
【答案】A
2．已知直線l：x－y＝1與圓M：x2＋y2－2x＋2
26、y－1＝0相交于A，C兩點，點B，D分別在圓M上運動，且位于直線AC兩側，則四邊形ABCD面積的最大值為________．
【解析】把圓M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化為標準方程：
(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圓心(1，－1)，半徑r＝.
直線與圓相交，由點到直線的距離公式得弦心距d＝＝，
由勾股定理得半弦長＝＝，
所以弦長|AC|＝2×＝.
又B，D兩點在圓上，并且位于直線l的兩側，四邊形ABCD的面積可以看成是兩個三角形△ABC和△ACD的面積之和，
如圖所示，
當B，D為如圖所示位置，即BD為弦AC的垂直平分線時(即為直徑時)，兩三角形的面積之和最大，即四邊形
27、ABCD的面積最大，
最大面積為：S＝|AC|×|BE|＋|AC|×|DE|＝|AC|×|BD|＝××2＝.
【答案】
3．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若直線l過點(－2，0)且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；
(2)從圓C外一點P向圓C引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．
【解析】(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
當直線l的斜率不存在時，其方程為x＝－2，易求直線l與圓C的交點為A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合題意；
當直線l的斜率存在時，設其方程
28、為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，則圓心C到直線l的距離d＝＝1，
解得k＝，
所以直線l的方程為3x－4y＋6＝0.
綜上，直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.
(2)如圖，PM為圓C的切線，連接MC，PC，則CM⊥PM，
所以△PMC為直角三角形，
所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.
設P(x，y)，由(1)知C(－1，2)，|MC|＝，
因為|PM|＝|PO|，
所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，
化簡得點P的軌跡方程為2x－4y＋3＝0.
求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原點O到直線2x－4y＋3＝0的距離，
29、代入點到直線的距離公式可求得|PM|的最小值為.
4．已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．
(1)求k的取值范圍；
(2)若·＝12，其中O為坐標原點，求|MN|.
【解析】(1)易知圓心坐標為(2，3)，半徑r＝1，
由題設，可知直線l的方程為y＝kx＋1，
因為l與C交于兩點，所以<1.
解得
（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第65講 直線與圓、圓與圓的位置關系練習 理（含解析）新人教A版
