《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第40講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第40講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題練習(xí) 理（含解析）新人教A版（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第40講　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 夯實基礎(chǔ)　【p86】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．會從實際情境中抽象出二元一次不等式組，了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． 2．掌握確定平面區(qū)域的方法；理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，注意線性規(guī)劃問題與其他知識的綜合． 【基礎(chǔ)檢測】 1．以下不等式所表示的平面區(qū)域中包含原點的是(　　) A．x－y＋1<0 B．2x＋3y－6>0 C．2x＋5y－10≥0 D．4x－3y≤12 【解析】將點(0，0)分別代入四個選項，驗證可知答案為D. 【答案】D

2、 2．已知變量x，y滿足約束條件則z＝3x＋y的最大值為(　　) A．2 B．6 C．8 D．11 【解析】作出變量x，y滿足約束條件的可行域，如圖， 由z＝3x＋y知，y＝－3x＋z， 所以動直線y＝－3x＋z的縱截距z取得最大值時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值． 由得A(3，2)， 結(jié)合可行域可知當(dāng)動直線經(jīng)過點A(3，2)時， 目標(biāo)函數(shù)取得最大值z＝3×3＋2＝11. 【答案】D 3．(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面區(qū)域為(　　) 【解析】由題得或 先作出不等式組對應(yīng)的可行域，是選項B中上面的一部分， 再作出對應(yīng)的可行域，是選項B中下面的一部分

3、，故選B. 【答案】B 4．某公司計劃明年用不超過6千萬元的資金投資于本地養(yǎng)魚場和遠(yuǎn)洋捕撈隊．經(jīng)過對本地養(yǎng)魚場年利潤率的調(diào)研，其結(jié)果是平均年利潤率0.3，對遠(yuǎn)洋捕撈隊的調(diào)研結(jié)果是：平均年利潤率0.4，為確保本地的鮮魚供應(yīng)，市政府要求該公司對遠(yuǎn)洋捕撈隊的投資不得高于本地養(yǎng)魚場的投資的2倍．根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，該公司如何分配投資金額，明年兩個項目的利潤之和最大________千萬． 【解析】根據(jù)題意，設(shè)本地養(yǎng)魚場投資額為x千萬元，遠(yuǎn)洋捕撈隊投資額為y千萬元，則 目標(biāo)函數(shù)z＝0.3x＋0.4y， 畫出線性約束條件的可行域如圖所示： 由圖可知，當(dāng)經(jīng)過點M(2，4)時，截距最大， 此時z＝0

4、.3×2＋0.4×4＝2.2， 所以最大利潤為2.2千萬元． 【答案】2.2 【知識要點】 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 (1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)，__不包括__邊界直線． 不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)__包括__邊界直線． (2)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線Ax＋By＋C＝0(B不為0)及點P(x0，y0)， ①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，則點P(x0，y0)在直線的上方，此時不等式Ax＋By＋C>0表示直線Ax＋By＋C＝0的上方的區(qū)域． ②若B>

5、0，Ax0＋By0＋C<0，則點P(x0，y0)在直線的下方，此時不等式Ax＋By＋C<0表示直線Ax＋By＋C＝0的下方的區(qū)域． ③若是二元一次不等式組，則其平面區(qū)域是所有平面區(qū)域的公共部分． 2．線性規(guī)劃相關(guān)概念 名稱 意義 約束條件 目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組 線性約束 條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(或方程)組 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的函數(shù)__解析式__ 可行解 滿足線性約束條件的解 可行域 所有可行解組成的集合 線性目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù) 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得__最大值或最小值__的可行解 線性規(guī)劃

6、問題 在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的__最大值__或__最小值__ 3.常見簡單的二元線性規(guī)劃實際問題 一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們完成最多的任務(wù)；二是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù)． 解線性規(guī)劃問題的一般步驟： 審題、設(shè)元——__列出約束條件__(通常為不等式組)——建立__目標(biāo)函數(shù)__——作出__可行域__——求__最優(yōu)解__． 典例剖析　【p86】 考點1　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 (1)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為Ω1，直線y＝k分平面區(qū)域Ω1為面積相等的兩部分，則k＝_______

7、_． 【解析】作出可行域如圖所示： 直線y＝k恒過定點，要使直線y＝k分平面區(qū)域Ω1為面積相等的兩部分，則直線必過線段AB的中點C，故k＝kCD＝－. 【答案】－ (2)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為________． 【解析】兩直線方程分別為x－2y＋2＝0與x＋y－1＝0. 由(0，0)點在直線x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0， 又(0，0)點在直線x＋y－1＝0左下方，可知x＋y－1≥0， 即為陰影部分所表示的可行域． 【答案】 【點評】確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法： (1)“直線定界，特殊點定域”，即先作直線，再

8、取特殊點代入不等式組．若滿足不等式組，則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對應(yīng)于特殊點異側(cè)的平面區(qū)域． (2)當(dāng)不等式中帶等號時，邊界為實線；不帶等號時，邊界應(yīng)畫為虛線，特殊點常取原點． 考點2　求目標(biāo)函數(shù)的最值 已知求： (1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值； (3)z＝的取值范圍； (4)z＝的取值范圍． 【解析】作出可行域如圖所示的陰影部分，求出頂點的坐標(biāo)A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)． (1)易知可行域內(nèi)各點均在直線x＋2y－4＝0的上方， 故x＋2y－4＞0，將C(7，9)代入得z

9、的最大值為21. (2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域內(nèi)任一點(x，y)到定點M(0，5)的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，故z的最小值是|MN|2＝＝. (3)z＝2·表示可行域內(nèi)任一點(x，y)與定點Q連線的斜率的兩倍，因為kQA＝，kQB＝， 故z的取值范圍為. (4)z＝＝1＋，由(3)知，z的取值范圍為. 【點評】充分理解目標(biāo)函數(shù)并將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義，如截距、點到直線的距離、過已知點的直線的斜率等是本例求解的關(guān)鍵和切入點． (1)若實數(shù)x，y滿足不等式組且x＋y的最大值為9，則實數(shù)m＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2

10、【解析】令z＝x＋y，則y＝－x＋z，z表示斜率為－1的直線在y軸上的截距． 當(dāng)z最大值為9時，y＝－x＋z過點A，因此x－my＋1＝0過點A，所以m＝1. 【答案】C (2)已知實數(shù)x，y滿足若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a的值為________． 【解析】依題意，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．要使目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則直線z＝y(tǒng)－ax必平行于直線y－x＋1＝0，于是a＝1. 【答案】1 【點評】線性規(guī)劃問題是在約束條件是線性的、目標(biāo)函數(shù)也是線性的情況下的一類最優(yōu)解問題，在約束條件是線性的情況下，線性目標(biāo)函數(shù)

11、只在可行域的頂點或者邊界上取得最值；當(dāng)求解目標(biāo)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件． 考點3　線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 學(xué)生的體質(zhì)與學(xué)生飲食的科學(xué)性密切相關(guān)，營養(yǎng)學(xué)家指出，高中學(xué)生良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白質(zhì)，0.06 kg的脂肪．已知1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白質(zhì)，0.14 kg脂肪，花費28元；1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白質(zhì)，0.07 kg脂肪，花費21元．為了滿足高中學(xué)生日常飲食的營養(yǎng)要求，每天合理搭配食物A和食物B，則最低花費是______元． 【解析】

12、設(shè)每天食用x kg食物A，y kg食物B，總花費為z元，則目標(biāo)函數(shù)為z＝28x＋21y. 其中x，y滿足的約束條件為 即 作出可行域如圖所示： 將目標(biāo)函數(shù)z＝28x＋21y變形為y＝－x＋，顯然，當(dāng)直線y＝－x＋過點M時，縱截距最?。? 由，得M. 所以每天同時食用kg食物A和kg食物B的花費最小，為zmin＝28×＋21×＝16(元)． 【答案】16 【點評】解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟可歸納為： (1)審題——仔細(xì)閱讀，明確有哪些限制條件，目標(biāo)函數(shù)是什么； (2)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)； (3)求解——關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率

13、間的關(guān)系； (4)作答——就應(yīng)用題提出的問題作出回答． 體現(xiàn)考綱中要求會從實際問題中抽象出二元線性規(guī)劃．來年需要注意簡單的線性規(guī)劃求最值問題． 方法總結(jié)　　【p87】 1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域確定的方法 第一種：若用y＝kx＋b表示的直線將平面分成上下兩部分 不等式 區(qū)　域 y＞kx＋b 表示直線上方的半平面區(qū)域 y＜kx＋b 表示直線下方的半平面區(qū)域 第二種：用Ax＋By＋C＝0(B≠0)表示的直線將平面分成上下兩部分(B＝0讀者完成) 不等式 B＞0 B＜0 Ax＋By＋C＞0 表示直線上方的半平面區(qū)域 表示直線下方的半平面區(qū)域 Ax＋B

14、y＋C＜0 表示直線下方的半平面區(qū)域 表示直線上方的半平面區(qū)域 聯(lián)系：將Ax＋By＋C＝0表示的直線轉(zhuǎn)化成y＝kx＋b的形式即是第一種． 第三種：選特殊點判定(如原點)，取一點坐標(biāo)代入二元一次不等式(組)，若成立，則平面區(qū)域包括該點，反之，則不包括． 2．線性規(guī)劃問題求解策略 (1)解決線性規(guī)劃問題時，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，一般步驟如下： ①作：確定約束條件，并在坐標(biāo)系中作出可行域； ②移：由z＝ax＋by變形為y＝－x＋，所求z的最值可以看成是求直線y＝－x＋在y軸上的截距的最值(其中a，b是常數(shù)，z隨x，y的變化而變化)，將直線ax＋by＝0平移，在可行域中觀察使最

15、大(或最小)時所經(jīng)過的點； ③求：求出取得最大值或最小值的點的坐標(biāo)，并將其代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值和最小值； ④答：寫出最后結(jié)論． (2)可行域可以是一個一側(cè)開放的平面區(qū)域，也可以是一個封閉的多邊形，若是一個多邊形，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在多邊形的某個頂點處取得． (3)若要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而通過圖象求得的是非整數(shù)解，這時應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線最近的整點，或者用“調(diào)整優(yōu)值法”去尋求最優(yōu)解． 走進(jìn)高考　　【p88】 1．(2018·全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為__________． 【解析】作出可行域如圖所示，作出直線3

16、x＋2y＝0，并平移該直線，當(dāng)直線過點A(2，0)時，目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6. 【答案】6 2．(2018·浙江)若x，y滿足約束條件則z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________． 【解析】由題可得，該約束條件表示的平面區(qū)域是以A(2，2)，B(1，1)，C(4，－2)為頂點的三角形及其內(nèi)部區(qū)域(如圖)． 由線性規(guī)劃知識可知，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y在點A(2，2)處取得最大值，在點C(4，－2)處取得最小值，則最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmin＝2＋6＝8. 【答案】－2；8 考點集訓(xùn)　　【p220】

17、 A組題 1．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y的最大值為(　　) A．7 B．8 C．9 D．14 【解析】作可行域，如圖所示，直線z＝3x＋y過點A(2，3)時z取最大值9. 【答案】C 2．已知實數(shù)x，y滿足線性約束條件則其表示的平面區(qū)域的面積為(　　) A.B. C．9 D. 【解析】作出滿足約束條件的可行域，如圖所示： 可知1≤x≤4范圍擴大，實際只有0≤x≤3，其平面區(qū)域表示的陰影部分是一個三角形，其面積為S＝×3＝. 【答案】B 3．若x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(1，0)處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是(　　

18、) A．(－4，2) B．(－4，1) C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－4)∪(1，＋∞) 【解析】如圖，z＝ax＋2y，∴y＝－x＋僅在點(1，0)處在y軸上的截距最小，∴－1<－<2，∴－4

19、，y滿足則z＝＋的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】由于表示可行域內(nèi)的點(x，y)與原點(0，0)的連線的斜率，如圖，求出可行域的頂點坐標(biāo)A(3，1)，B(1，2)，C(4，2)，則kOA＝，kOB＝2，kOC＝，可見∈，結(jié)合函數(shù)的圖象，得z∈. 【答案】D 6．設(shè)變量x，y滿足約束條件若使z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則實數(shù)a的取值集合是________． 【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示． 易知直線z＝ax＋y與x－y＝2或3x＋y＝14平行時取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，即－a＝1或－a＝－3，∴a＝－1或a＝3. 【

20、答案】{－1，3} 7．已知D是以點A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界與內(nèi)部)． (1)寫出表示區(qū)域D的不等式組； (2)設(shè)點B(－1，－6)，C(－3，2)在直線4x－3y－a＝0的異側(cè)，求a的取值范圍． 【解析】(1)直線AB，AC，BC的方程分別為7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原點(0，0)在區(qū)域D內(nèi)，故表示區(qū)域D的不等式組為 (2)根據(jù)題意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0，即(14－a)(－18－a)＜0. 解得－18＜a＜14. 故a的取值范圍是(－18，14)．

21、 8．電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示： 連續(xù)劇播放時長 (分鐘) 廣告播放時長 (分鐘) 收視人次 (萬) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)． (1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域； (2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連

22、續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？ 【解析】(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為即 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分． (2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z＝60x＋25y. 考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時，z的值最大．又因為x，y滿足約束條件，所以由圖2可知，當(dāng)直線z＝60x＋25y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大． 解方程組得點M的坐標(biāo)為(6，3)． 所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多． B組題 1．已知變量x

23、，y滿足約束條件若z＝x－2y的最大值與最小值分別為a，b，且方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間(b，a)上有兩個不同實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－6，－2) B．(－3，2) C.D. 【解析】作出可行域(如圖所示陰影部分)， 則目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y在點(1，0)處取得最大值1，在點(－1，1)處取得最小值－3，∴a＝1，b＝－3，從而可知方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間(－3，1)上有兩個不同實數(shù)解．令f(x)＝x2－kx＋1，則?－

24、　) A.B. C.D. 【解析】由線性約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如右圖陰影部分，要使平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，只要點A在直線x－2y－2＝0下方，所以－m－2m－2>0，求得m<－. 【答案】C 3．設(shè)M為不等式組所表示的平面區(qū)域，N為不等式組所表示的平面區(qū)域，其中t∈[0，4]，在M內(nèi)隨機取一點A，記點A在N內(nèi)的概率為P. (1)若t＝1，則P＝________． (2)P的最大值是________． 【解析】(1)由題意可得，當(dāng)t＝1時，滿足的面積為×8×4＝16， t＝1時，滿足的面積為2×3＝6， 所以P＝＝. (2)如圖，當(dāng)2

25、t(4－t)取得最大值時，即t＝2時P最大， 當(dāng)t＝2時，滿足的面積為×8×4＝16， t＝2時，滿足的面積為2×4＝8， 所以P的最大值為＝. 【答案】(1)；(2) 4．已知x，y∈R，且滿足若存在θ∈R使得xcos θ＋ysin θ＋1＝0成立，則點P構(gòu)成的區(qū)域面積為________． 【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：對應(yīng)的區(qū)域為△OAB， 若存在θ∈R使得xcos θ＋ysin θ＋1＝0成立， 則＝－1， 令sin α＝，則cos α＝， 則方程等價為sin＝－1， 即sin＝－， ∵存在θ∈R使得xcos θ＋ysin θ＋1＝0成立， ∴≤1，即x2＋y2≥1， 則對應(yīng)的區(qū)域為單位圓的外部， 由解得即B， A(4，0)，則△OAB的面積S＝×4×2＝4， 直線y＝x的傾斜角為， 則∠AOB＝，即扇形的面積為， 則P(x，y)構(gòu)成的區(qū)域面積為S＝4－. 【答案】4－ 備課札記 18