《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第18講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)集訓(xùn) 文（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第18講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)集訓(xùn) 文（含解析）新人教A版（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第18講　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題 考 點(diǎn) 集 訓(xùn)　【p187】 A組 1．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是(　　) A．150 B．200 C．250 D．300 【解析】由題意可得，當(dāng)年產(chǎn)量為x時(shí)， 總成本為C(x)＝20 000＋100x， ∴總利潤(rùn)P(x)＝ 則P′(x)＝ 令P′(x)＝0得x＝300， 因?yàn)楫?dāng)0≤x＜300時(shí)，P′(x)＞0， 當(dāng)x＞300時(shí)，P′(x)＜0， 所以當(dāng)x＝300時(shí)，利潤(rùn)最大，故選D. 【答案】D

2、 2．若對(duì)于R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有(　　) A．f(0)＋f(2)＜2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)＞2f(1) 【解析】當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)≥0，f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)x＜1時(shí)，f′(x)≤0，f(x)在(－∞，1)上是減函數(shù)，故f(x)的最小值為f(1)，必有f(0)＋f(2)≥2f(1)；若函數(shù)y＝f(x)為常數(shù)函數(shù)，則f′(x)＝0，則f(0)＋f(2)＝2f(1)．故選C. 【答案】C 3．已知函數(shù)f＝kx2－ln x，若f>0在函數(shù)定義域內(nèi)恒

3、成立，則k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】由題意得f>0在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立， 即kx2－ln x>0在(0，＋∞)上恒成立， 即k>在(0，＋∞)恒成立， 設(shè)g＝，則g′＝＝， 當(dāng)x∈(0，)時(shí)，函數(shù)g單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，函數(shù)g單調(diào)遞減， 所以當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)g取得最大值，此時(shí)最大值為g＝， 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是，故選D. 【答案】D 4．把長(zhǎng)為60 m的鐵絲圍成矩形，當(dāng)長(zhǎng)為______________m，寬為____________m時(shí)，矩形的面積最大． 【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，則寬為(30－x)m， 矩形面積S＝30x

4、－x2(0

5、∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________． 【解析】因?yàn)?xln x≥－x2＋ax－3對(duì)任意x∈(0，＋∞)恒成立， 則a≤2ln x＋x＋， 設(shè)h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)， 則h′(x)＝. 當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h′(x)＜0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增． 所以h(x)min＝h(1)＝4. 所以a≤h(x)min＝4. 【答案】(－∞，4] 7．已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋2x＋5. (1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(3，f(3))處的切線方程； (2)若曲線y＝f(x)與y＝2x－m

6、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解析】(1)∵函數(shù)f(x)＝x3－x2＋2x＋5， ∴f′(x)＝x2－3x＋2. ∴f′(3)＝2，f(3)＝. ∴f(x)在(3，f(3))處的切線方程是y－＝2(x－3)， 即4x－2y＋1＝0. (2)令f(x)＝2x－m，即x3－x2＋2x＋5＝2x－m， ∴x3－x2＋5＝－m. 設(shè)g(x)＝x3－x2＋5，則g′(x)＝x2－3x. ∵曲線y＝f(x)與y＝2x－m有三個(gè)不同的交點(diǎn)， ∴函數(shù)y＝g(x)與y＝－m有三個(gè)不同的交點(diǎn)， 令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝3， 當(dāng)x<0或x>3時(shí)，g′(x)>0， 當(dāng)0

7、0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 若a＜0，則當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0；

8、 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0. 故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． (2)由(1)知，當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在x＝－取得最大值， 最大值為f＝ln－1－. 所以f(x)≤－－2等價(jià)于ln－1－≤－－2， 即ln＋＋1≤0. 設(shè)g(x)＝ln x－x＋1，則g′(x)＝－1. 當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)<0. 所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減． 故當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為g(1)＝0. 所以當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)≤0， 從而當(dāng)a＜0時(shí)，ln＋＋1≤0，即f(x)≤－－2. B組 1．已知

9、函數(shù)f＝x＋，若對(duì)任意x∈R, f>ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】由題可知：>x恒成立，設(shè)g＝，h＝x，如圖所示，則h(x)要恒在g(x)下方， g′＝－，且過(guò)其圖象上點(diǎn)P的切線方程為： y－y0＝－，過(guò)原點(diǎn)，故x0＝－1，所以斜率為：－e，所以應(yīng)滿足a－1>－ea>1－e，又a－1≤0a≤1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 【答案】B 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f(x0)<0，則a的取值范圍是_________________________________________

10、_______________________________． 【解析】f(x)<0ex(2x－1)－時(shí)，g′(x)>0， 因此當(dāng)x＝－時(shí)，g(x)取得極小值也是最小值g＝－2e－，又g(0)＝－1，g(1)＝e>0， 直線y＝ax－a過(guò)點(diǎn)(1，0)且斜率為a， 故解得≤a<1. 【答案】 3. 某公司為一家制冷設(shè)備廠，設(shè)計(jì)生產(chǎn)某種型號(hào)的長(zhǎng)方形薄板，其周長(zhǎng)為4 m．這種薄板須沿其對(duì)角線折

11、疊后使用．如圖所示，ABCD(AB＞AD)為長(zhǎng)方形薄板，沿AC折疊后AB′交DC于點(diǎn)P.當(dāng)△ADP的面積最大時(shí)最節(jié)能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時(shí)制冷效果最好． (1)設(shè)AB＝x m，用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫出x的取值范圍； (2)若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？ (3)若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？【解析】(1)由題意，AB＝x，BC＝2－x. 因?yàn)閤＞2－x＞0，故1＜x＜2.設(shè)DP＝y(tǒng)，則PC＝x－y. 因?yàn)椤鰽DP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y. 由PA2＝AD2＋DP2，得(x－y)2＝(2－x)2＋y2， y＝2，1＜x＜2. (2)

12、記△ADP的面積為S1，則 S1＝(2－x)＝3－≤3－2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝∈(1，2)時(shí)，S1取得最大值． 故當(dāng)薄板長(zhǎng)為 m，寬為 m時(shí)，節(jié)能效果最好． (3)記多邊形ACB′PD的面積為S2，則 S2＝x(2－x)＋(2－x)＝3－，1＜x＜2. 于是S2′＝－＝， 令S2′＝0，得x＝. 關(guān)于x的函數(shù)S2在上遞增，在上遞減． 所以當(dāng)x＝時(shí)，S2取得最大值． 故當(dāng)薄板長(zhǎng)為 m，寬為 m時(shí)，制冷效果最好． 4．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax，a∈R. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，且≥e2，求證：(x1－x2)f′(x

13、1＋x2)>. 【解析】(1)函數(shù)f(x)＝ln x＋ax，a∈R的定義域?yàn)?，則f′(x)＝＋a. 當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)＝＋a>0，得0－， ∴f(x)在上單調(diào)遞減． (2)由題意，得ln x1＋ax1＝0，ln x2＋ax2＝0， ∴l(xiāng)n x2－ln x1＝a(x1－x2)． ∴(x1－x2)f′(x1＋x2)＝(x1－x2) ＝＋a(x1－x2) ＝＋ln ＝＋ln. 令＝t≥e2，令φ(t)＝＋ln t，則φ′(t)＝>0， ∴φ(t)在上單調(diào)遞增， ∴φ(t)≥φ(e2)＝1＋>1＋＝， 即(x1－x2)f′(x1＋x2)>. - 7 -