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(課標通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標系與參數(shù)方程 第2講 參數(shù)方程檢測 文

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1、第2講 參數(shù)方程 [基礎(chǔ)題組練] 1.在平面直角坐標系中,以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,并在兩坐標系中取相同的長度單位.已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cos θ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為直線的傾斜角). (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程; (2)若直線l與曲線C有唯一的公共點,求角α的大小. 解:(1)當α=時,直線l的普通方程為x=-1; 當α≠時,直線l的普通方程為y=(x+1)tan α. 由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ, 所以x2+y2=2x, 即為曲線C的直角坐標方程. (2)把x=-1+tcos α,y=ts

2、in α代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcos α+3=0. 由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=, 所以cos α=或cos α=-, 故直線l的傾斜角α為或. 2.以極點為原點,以極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系,已知曲線C的極坐標方程為ρ=10,曲線C′的參數(shù)方程為(α為參數(shù)). (1)判斷兩曲線C和C′的位置關(guān)系; (2)若直線l與曲線C和C′均相切,求直線l的極坐標方程. 解:(1)由ρ=10得曲線C的直角坐標方程為x2+y2=100, 由得曲線C′的普通方程為(x-3)2+(y+4)2=25. 曲線C表示以(0,0)為圓心,10為半徑的圓; 曲

3、線C′表示以(3,-4)為圓心,5為半徑的圓. 因為兩圓心間的距離5等于兩圓半徑的差,所以圓C和圓C′的位置關(guān)系是內(nèi)切. (2)由(1)建立方程組 解得可知兩圓的切點坐標為(6,-8),且公切線的斜率為, 所以直線l的直角坐標方程為y+8=(x-6), 即3x-4y-50=0, 所以極坐標方程為3ρcos θ-4ρsin θ-50=0. 3.(2019·湘東五校聯(lián)考)平面直角坐標系xOy中,傾斜角為α的直線l過點M(-2,-4),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=2cos θ. (1)寫出直線l的參數(shù)方程(α為常數(shù))和曲線C的直

4、角坐標方程; (2)若直線l與C交于A,B兩點,且|MA|·|MB|=40,求傾斜角α的值. 解:(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), ρsin2θ=2cos θ,即ρ2sin2θ=2ρcos θ,將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得曲線C的直角坐標方程為y2=2x. (2)把直線l的參數(shù)方程代入y2=2x,得 t2sin2α-(2cos α+8sin α)t+20=0, 設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得,t1+t2=,t1t2=, 根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,得|MA|·|MB|=|t1t2|==40,得α=或α=. 又Δ

5、=(2cos α+8sin α)2-80sin2α>0, 所以α=. 4.(2019·湖北八校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α是參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsin=. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程; (2)設(shè)P為曲線C1上的動點,求點P到C2的距離的最大值,并求此時點P的坐標. 解:(1)曲線C1的普通方程為+y2=1, 由ρsin=,得ρsin θ+ρcos θ=2,得曲線C2的直角坐標方程為x+y-2=0. (2)設(shè)點P的坐標為(cos α,sin α), 則點P到C2的距離為

6、 =, 當sin=-1,即α+=-+2kπ(k∈Z),α=-+2kπ(k∈Z)時,所求距離最大,最大值為2, 此時點P的坐標為. [綜合題組練] 1.(2019·鄭州市第一次質(zhì)量測試)在平面直角坐標系xOy中,直線l過點(1,0),傾斜角為α,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρ=. (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程; (2)若α=,設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點,求△AOB的面積. 解:(1)由題知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 因為ρ=,所以ρsin2θ=8cos θ,所以ρ2sin2θ=8ρcos θ,即y2=8x.

7、 (2)法一:當α=時,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 代入y2=8x可得t2-8t-16=0, 設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=8,t1·t2=-16, 所以|AB|=|t1-t2|==8. 又點O到直線AB的距離d=1×sin=, 所以S△AOB=|AB|×d=×8×=2. 法二:當α=時,直線l的方程為y=x-1, 設(shè)M(1,0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由得y2=8(y+1), 即y2-8y-8=0, 由根與系數(shù)的關(guān)系得 S△AOB=|OM||y1-y2|=×1×=×=×4=2. 2.(2018·高考全國卷Ⅲ)在平面直角坐

8、標系xOy中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過點(0,-)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點. (1)求α的取值范圍; (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程. 解:(1)⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1. 當α=時,l與⊙O交于兩點. 當α≠時,記tan α=k,則l的方程為y=kx-.l與⊙O交于兩點當且僅當<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈. 綜上,α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),<α<). 設(shè)A,B,P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=,且tA,tB滿足t2-2tsin α+1=0. 于是tA+tB=2sin α,tP=sin α.

9、 又點P的坐標(x,y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 (α為參數(shù),<α<). 3.(2019·惠州市第二次調(diào)研)已知曲線C:(α為參數(shù))和定點A(0,),F(xiàn)1,F(xiàn)2是此曲線的左、右焦點,以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求直線AF2的極坐標方程; (2)經(jīng)過點F1且與直線AF2垂直的直線l交曲線C于M,N兩點,求||MF1|-|NF1||的值. 解:(1)曲線C:可化為+=1,故曲線C為橢圓, 則焦點F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0). 所以經(jīng)過點A(0,)和F2(1,0)的直線AF2的方程為x+=1,即x+y-=0, 所以直線AF2的極坐標方程為

10、ρcos θ+ρsin θ=. (2)由(1)知,直線AF2的斜率為-,因為l⊥AF2,所以直線l的斜率為,即傾斜角為30°,所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 代入橢圓C的方程中,得13t2-12t-36=0. 因為點M,N在點F1的兩側(cè),所以||MF1|-|NF1||=|t1+t2|=. 4.(綜合型)(2019·南昌市第一次模擬)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1過點P(a,1),其參數(shù)方程為(t為參數(shù),a∈R).以O(shè)為極點,x軸非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ+4cos θ-ρ=0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程; (

11、2)已知曲線C1與曲線C2交于A,B兩點,且|PA|=2|PB|,求實數(shù)a的值. 解:(1)因為曲線C1的參數(shù)方程為, 所以其普通方程為x-y-a+1=0. 因為曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ+4cos θ-ρ=0, 所以ρ2cos2θ+4ρcos θ-ρ2=0, 所以x2+4x-x2-y2=0, 即曲線C2的直角坐標方程為y2=4x. (2)設(shè)A,B兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 由, 得2t2-2t+1-4a=0. Δ=(2)2-4×2(1-4a)>0, 即a>0,由根與系數(shù)的關(guān)系得 根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|=2|t1|,|PB|=2|t2|, 又|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|, 即t1=2t2或t1=-2t2. 所以當t1=2t2時,有, 解得a=>0,符合題意. 當t1=-2t2時,有, 解得a=>0,符合題意. 綜上所述,實數(shù)a的值為或. 6

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