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1、本章練習(xí)題： 3—1叮用口國=°衛(wèi)=1的高斯隨機變量，試確定隨機變量 V=cX+d的概率密度函數(shù) fW , ，-/J 其中'均為常數(shù)。 (2U°①'的一維分布密度函數(shù)f{y)； (2U°①'的一維分布密度函數(shù)f{y)； 查看參考答案 *因為高斯隨機變啓過鏡f舉換后仍是諭型，所以F也是高 丁的均值：E[F]=￡[Mr]* T的方差: D[f]=Z[(F=￡Kcr)a]=c^KT)2]=￡=?宀e F的槻率密度函數(shù): 3—2□設(shè)一個隨機過程冷可表示成 (2U°①'的一維分布密度函數(shù)f{y)； (2U°

2、①'的一維分布密度函數(shù)f{y)； 式中，&是一個離散隨機變量，且 卩〔日=")=%試求眄⑴ 查看參考答案 ?在i=l時』的均值: ￡;{1)=￡[2cd5(1^1-&J\.:=2￡[co或It-(0J?>(.]}：]=￡[2cdb5?2hjs(2.7_的]= ￡[-??亍呵=-cos'O'1_2如亍三[=) '匕匕4' 3—3．設(shè)隨機過程 7(；)=X、cos-X2sin①憶 ，口"iU是彼此獨立且均值為 0、方差 為L的高斯隨機

3、變量，試求: 町嚴(yán)①] (2U°①'的一維分布密度函數(shù)f{y)； (3□職U□月(d3)。 查看參考答案 墀(1) ￡[Y(f]=￡[Jf.M3時3-X,?in^]= cosfi?J?￡[恵J_sinflJ#*E[-J]]=3砂?]=E[(X.,cos如-X2sin切]= 彰-耐?珥疋「]一汕2^?/!$兀]—池；％i亂兀訂 因?qū)濕?和疋:相互獨立'所以 E肉與=F[JC:j-￡[.rj 又因￡[X]=E[jr1]=c,所ia E[JC.：}=￡L-r;l=J 故 Z[F2(j：)J=(cci2-rsin2my)十=L 的方差 D[T{ty\=￡ir:{1)

4、1-E-[F(^J=cr1 (2)因為疋:和疋丄服從高斯分布J⑺是疋:和用，的線性組合， 所旦?、僖卜母咚狗植迹谝痪S槻率密度函數(shù) (35 丘憶並；?=亂也；?珥：匸]= cosa?詁：_XqsiiicosfijJ；,-X2miti)]= c-[cos%屯cos少土-sin%t,_sin%ij= T'COS04(/1一“：=-7'COS(!%{?-/)= w1cosar 其中=<-::= 那:，心=丘?占「己[訴旬?￡[理. 因^A[z(f]=o,所ia 3—4叮UX"打卩①是統(tǒng)計獨立的平穩(wěn)隨機過程，且它們的均值分別為 ，自相關(guān)函 數(shù)分別為

5、 (1)試求乘積 的自相關(guān)函數(shù)。 E0)=X0)+FG)的自相關(guān)函數(shù)。 (2)試求之和 查看參考答案 班用財疋込)?盹尹也習(xí)?￡[】衛(wèi)匹電)]理」獨立〕 RX罰七)?蒼膽出；=選國心⑷3J平穩(wěn)： (2) 5上.=￡[/?)*2(^)1= 珂就J-Fg][無@：+F〔Q]}= ^[^(1,)^0,)-y(iL)5'0j-Y(i.}x(o-『￡/-&：]= {巧+a^aT—aTa^—^r(r；=心{『：一丘『(r)-丄理號 評注：兩平獨立的平穩(wěn)隨機過程，其舷的自相關(guān)函數(shù)等于它們各 自的自*朕函數(shù)的乘積;其和的自相羔函數(shù)等于它f門各自的自相關(guān)函 數(shù)的之和，并外加兩者

6、均值之積的2倍° Z(f)=m(X)cos(尬暑+6) 3—5叮知隨機過程 ，其中，用①是廣義平穩(wěn)過程，且其自相關(guān)函 數(shù)為 -1

7、r,)］ 由題意可知j曲⑴的均值為常數(shù)；.個-=：：所厲 可見，的均值與詵鄭自相關(guān)函數(shù)權(quán)與時間間隔:有關(guān)，故 解1黴證隨機過程瑋:廠義平穩(wěn)，只誡證二⑴的均值與時間 無關(guān)I自相關(guān)函數(shù)牧與時間間隔二有關(guān)即可- ￡［瓦也=￡［曲他唏卻十旳=￡［謐｝］?￡［迪｛祐十礙］固肯心獨站= E[wt?]?f切￡(硯+叭命甬=0 眾饑G=￡［迤加.］= cos｛fi?ci,+&》?加彳一電”co虬申h：= 應(yīng)[溉0\)?ffl(i/]4i[ctJ5(GJCj\-to^i5J0L-7J= *55隔仏 2 0 國si言連文變；遼:，茅:云芳 其波形如圖3-1所示° 苴他

8、 啲 0J 〔跖因為珂）廣義平穩(wěn)，所以苴功率譜密度巴何口足；?由 圖滬1可見…龍用的波形可視為余弦函數(shù)與三角波贛楓利用博 里葉變換的頻域卷積性質(zhì)丿可得 平均功率 "I 3-6．已知噪聲 -中I 2 的自相關(guān)函數(shù)為 □氐為常數(shù)） （1）試求其功率譜密度 （2）試畫出 的圖形。 2 旻37&匕；廻巴｛門茅岳瑙 查看參考答案 懈[1：對于平穩(wěn)過程霞“>有巳倔；'O広遼>因此 不=&｛也=2 （2）W和此⑺的圖形如圖3-2所示-

9、 3—7口一個均值為*，自相關(guān)函數(shù)為n的平穩(wěn)隨機過程通過一個線性系統(tǒng)后的輸出過程 為 (丁為延遲時間) F〔r)=x(t')+x(t-V) (1) 試畫出該線性系統(tǒng)的框圖； (2) 試U的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 查看參考答案 墀11)線性鏘框團如圖A3所示° (2)糧據(jù)平穏過程疋遼：通過線性系統(tǒng)后瞬出過程?、埔彩? 平穩(wěn)的，畑由錐纟一一辛欽定理可知丟遼O片〔曲碼德口耳〔酹° F1D的自相關(guān)函數(shù)宵 V- 1 P J b

10、 雯2-:耗主忌託，2 也何=E[F詢邇-唄=型國站離—莎注V+A母巧A ￡[擅工丙f+7)++7-l)+X(t-r)X(t+7)一忍一T}X戲-7-Z)]= RQ-Ktn+&f1-打-&?⑵=-^2-(r)-Kt(r-J)+尺左-打功率譜密度為 P紳=::巴{冊-巳.{fi拓-訶-巳血=2(1-00泅訃巳(磚另一種方法:利公式&(皿=|趨斫煜住求解該丟統(tǒng)的單位[幗!響應(yīng) 用(0=s(f)+j(t~r) 苴相應(yīng)的倍遞函數(shù) _.廿占-少rT--妙 H(a)}='.-e~=e，T(e:+e，T；=2cos^-5〒 所以耳0)=間＞講-約⑷)=其-《?泗7HX嘲 =2R^:+

11、RX^-F-R^-T) 3—4所示。假設(shè)輸入是均值為零、功率 3—8.一個中心頻率為&、帶寬為呂的理想帶通濾波器如圖 譜密度為皿的高斯白噪聲，試叮 3—7口一個均值為*，自相關(guān)函數(shù)為n的平穩(wěn)隨機過程通過一個線性系統(tǒng)后的輸出過程 3—7口一個均值為*，自相關(guān)函數(shù)為n的平穩(wěn)隨機過程通過一個線性系統(tǒng)后的輸出過程 圖3-4 （1）濾波器輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)； （2）濾波器輸出噪聲的平均功率； （3）輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)。 查看參考答案 ft: （1）已知高斯白噪聲的功率譜密度，所以濾波器輸出噪聲％:;的功率諳密度

12、P.Af>-討區(qū)⑺「- 上苴他 盼門=匚此、w譽=匚吝嚴(yán)齒_爛斜P= n^BSa2怒二 C2）^{1的平均的功滓 N.-E&、::-%遲 或 R：-匚㈣零嚀 （3）高斯過程通過踐性裁后的輸出仍宵高斯過程，且有 ei^}]^E[^y\?”$；?=? 因此，輸出噪聲％;的一維槻率密度函數(shù) 3-9.一個RC低通濾波器如圖3—5所示，假設(shè)輸入是均值為零、功率譜密度為叫血的高斯白噪聲， 試求： （1）輸出噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)； （2）輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)。 ???????—芻? — ...-.i-.V.- 圖3-5 查看參考答案 可電豈鑾化匸

13、 功率譜密度為 3-10.一個LR低通濾波器如圖 3-6所示，假設(shè)輸入是均值為零、 的高斯白噪聲， 圖3-6 查看參考答案 圖3-6 查看參考答案 試求： （1）輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)； （2）輸出噪聲的方差。 圖3-6 查看參考答案 ISC1HS通濾波器的倍輸函數(shù) 可得輸出噪聲的自相關(guān)函議 〔2）輸出卿的方差---R.㈣-《?蘭 根據(jù)&迂）4期昭>并利用

14、 幾，脈沖幅度取的概 3-11．設(shè)有一個隨機二進(jìn)制矩形脈沖波形，它的每個脈沖的持續(xù)時間為 率相等?，F(xiàn)假設(shè)任一間隔 內(nèi)波形取值與任何別的間隔內(nèi)取值統(tǒng)計無關(guān)， 且具有寬平穩(wěn)性，試證： 1-|中兀 （1）自相關(guān)函數(shù) |和 （2）功率譜密度 3-12．圖3-7為單個輸入、兩個輸出的線性濾波器，若輸入過程 曲）是平穩(wěn)的，求 互功率密度的表達(dá)式。 圖3-7 查看參考答案 舞由題意可知?謖是一個陳發(fā)送的戒

15、極性矩形脈沖序列b可參菴?通信原第E版）的第E童138頁式C6.1-2&）和13頁【例 &-2L不難證明 根據(jù)錐納一一報定理：緯佃：O兀匹，利用心函數(shù)U門函數(shù)』兩牛泡函數(shù)相乘口兩個門函數(shù)卷札可口證明自*咲函數(shù)為一空 證明過程省曙. 2的功率譜密度為 卩3，其自相關(guān)函數(shù)為 瓦⑵。試求功率譜密度為 3-13．設(shè)平穩(wěn)過程 所對應(yīng)的過程的自相關(guān)函數(shù)（其中， 叫 °為正常數(shù)） 所對應(yīng)的過捽的柑X淸數(shù)t其中??為iF甬我 解：所求為 扣"+如+耳⑷一％”] R（f+和+人（/一/UWF 呎（/”用煎+尺（/）4”和0""曲 -如2才人r「P￡」w

16、"F J—h 3-14U“①是功率譜密度為 3—8所示的系統(tǒng)。 P（r>Zfv（f）coS￡yHr 的平穩(wěn)隨機過程，該過程通過圖 圖3—8 （1）輸出過程 卩①是否平穩(wěn)? (2)求」的功率譜密度。 查看參考答案 ?(1)因為線性鏘的輸入X｛二是平穩(wěn)過程，所以其輸出過程 了*:也是平穩(wěn)的° C2)該冊的隹輸函數(shù) -(L-￡-r)*JdJ-2CSS-^-i FCD的功率諳密度 Pj：期-邱◎「P”(cuj-1(1+ooiciT)?6rPv(cy； 3-15.設(shè) 巾是平穩(wěn)隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)皿 -1,1)上為 恥TTE，是

17、周期為 2的周期 性函數(shù)。試求 忑⑷的功率譜密度 F3，并用圖形表示。 查看參考答案 ?設(shè)瓦仗〕在區(qū)間(-1,1)上的截短函數(shù)為毎②>即 苴他 則周期t捌自*朕函數(shù)可表示為 利用 客〔觀=三》詁少_；；!芝：=工藝訊田_；閔r=2 并根據(jù)二｛巧0復(fù)〔:和傅里葉變換的時域卷積定理，可得忑百的 F3=F3?齢(砂=曲［歲?功率趣吃初導(dǎo)g； 其圖形如圖3T所示(團中只畫了正頻率部分「負(fù)頻率部分關(guān)于縱 軸對稱人 3-16DU%①與心迫為零值且互不相關(guān)的平穩(wěn)隨機過程，經(jīng)過線性時不變系統(tǒng)，其輸出分別為 /）與曲），試證口丸畑應(yīng)）也是互不相關(guān)的。 查看參考答案 i￡開因為 所以 ￡匡好孔述習(xí)=年]剛沐工-曲血L/<5稔電-$潭j= ,L吆渤P）瓦、:他並_：6誡確=0即二工與V也是互不相關(guān)的.